פנגייה

FLD1_007 אינרציה

משוואות וגבול האינרציה

גבול האינרציה

נביט במשוואות נאוויה-סטוקס המנורמלות:

נאמר שאנו נמצאים תחת גבול האינרציה כאשר האינרציה היא הגודל הפיזיקלי הכי דומיננטי:

מה שמשאיר אותנו עם:

והלחץ האופייני הוא:

משוואות אויילר

תחת גבול האינרציה, אנו מניחים שהאינרציה יותר דומיננטית מהצמיגות. במצב כזה, הצמיגות לא מופיעה לנו במשוואות נאוויה-סטוקס.

משפט:

משוואות האינרציה/אויילר קובעות כי עבור זורם תחת הגבול האינרצילי מתקיים:

כאשר הוא גרדיאנט הלחץ; הוא צפיפות הנוזל; הוא התאוצה כתוצאה מכוחות גוף על הנוזל; ו- הוא הנגזרת מלווה של שדה המהירות.

הזנחת תנאי האי-החלקה

במשוואות סטוקס, המד”ח היא מסדר שני, ולכן היינו צריכים שני סוגים של תנאי שפה - תנאי האי-חדירה ותנאי האי-החלקה. נשים לב שמשוואות אויילר הן משוואות מסדר ראשון, כך שאנו לא צריכים את שני התנאים. למעשה, עבור זרימה אינרציאלית, הנחת האי-החלקה כבר לא כל כך נכונה - הצמיגות זניחה, ולכן כמעט ואין חיכוך בין הזורם למוצק.
לפיכך, הנחת האי-החלקה לא תקפה עבור זרם אינרציאלי.

משוואת ברנולי

נעבור כעת למשוואת ברנולי, שהיא משוואה שנובעת ממשוואות אויילר, תחת הנחות מסוימות.

פיתוח:
נתחיל ממשוואות אויילר:

אם אנו במצב מתמיד, אז :

נוכל להשתמש בזהות הבאה:

ואז נקבל:

נפתח טיפה ונקבל:

אם גם נניח שכוח הכבידה הוא הכוח גוף היחיד שפועל

נקבל:

נוכל לשים הכל בתוך האופרטור:

נכפיל את שני האגפים ב- (שינוי קטן בוקטור מיקום):

אם , נקבל את משוואת ברנולי:


נותר לנו למצוא מתי . ניתן להראות כי תנאי זה יתקיים אם אחד מהתנאים (כלומר, לא חובה את שניהם) הבאים מתקיים:

  • מתקיים - כלומר אם המהירות מקבילה לשינוי במיקום של החלקיק. במילים אחרות, נוכל להשתמש במשוואת ברנולי לקווי זרם.
  • מתקיים - תנאי האי-סיבוביות (אי-רוטציוניות). אם חלקיקי הזורם לא מסתובבים סביב עצמם, אז נוכל להשתמש בברנולי בכל מקום - לא בהכרח רק על קווי זרם.

כלומר, תנאי האי-סיבוביות הוא תנאי יותר חזק מהתנאי קו זרם.

כיוון שאנו בזרימה בה הצמיגות זניחה, מספיק להראות שהזורם לא מסתובב (סביב עצמו) בתחילת התהליך כדי להסיק שהוא לא מסתובב בכלל בכל התהליך. בדו-ממד, ניתן לבדוק אם זורם לא מסתובב אם שדה המהירות שלו מקיים:

כלומר, אם מתקיימת משוואה זו, הזורם לא מסתובב, וניתן להשתמש במשוואת ברנולי עבור כל הזורם (בדו-ממד).

זרימה פוטנציאלית

זרימה פוטנציאלית היא מקרה פרטי של זרימה אינרציאלית, בו הזרימה גם אי-רוטציונית. כלומר, במקרה הדו-ממדי, מתקיים:

נוכל להכליל למקרה התלת ממדי:

הגדרה:

נגדיר עבור זורם תכונה הנקראת ערבוליות (vorticity) אשר מתארת את הסיבוב של אלמנט זורם סביב עצמו:

לכן, במקרה התלת ממדי, כדי שזרימה תהיה פוטנציאלית, נדרוש ש:

  1. הזרימה תחת הגבול האינרציאלי (בלתי דחיסה, צמיגות זניחה - ).
  2. הזרימה אי-רוטציונית - .

הסבר יותר טוב לערבוליות נמצא בויקיפדיה.

פוטנציאל מהירות

לפי מבחן לשדה משמר, אם , נוכל לומר ש- הוא שדה משמר, ולכן ניתן להגדיר עבורו פונקציית פוטנציאל, שנסמנה ב-:

הגדרה:

אם הזרימה פוטנציאלית, נוכל להגדיר פונקציה סקלרית , הנקראת פוטנציאל מהירות, כך ש:

במקרה הדו-ממדי:

בקואורדינטות פולאריות:

נוכל להעמיק את הדרישה על כדי שהיא תקיים גם את משוואת הרצף (עבור נוזל בלתי-דחיס) - :

כלומר, במקרים שאנו נתעסק בהם בקורס, פונקציית פוטנציאל המהירות מקיימת את משוואת לפלס. נשים לב שזוהי משוואה לינארית, כך שנוכל לבצע סופרפוזיציה בין פתרונות שונים שלה.

הערה:

בפיזיקה, דינמיקה, אנו מגדירים פונקציית פוטנציאל כך ש- . כלומר, שהיא שלילית ביחס לדיברגנץ של השדה. ההבדל בסימן הוא רק מבחירה, עניינים של סמנטיקה.
המשמעות של הבדל זה הוא שהזרימה תתבצע מפוטנציאל נמוך לפוטנציאל גבוה, לעומת פוטנציאל כבידתי, בו מסה תנוע מפוטנציאל גבוה לפוטנציאל נמוך.

במקרה הדו-ממדי, משוואת לפלס היא:

בקואורדינטות פולאריות:

פונקציית זרם

בקווי זרם הגדרנו את פונקציית הזרם במקרה הדו-ממדי כ:

בקואורדינטות פולאריות:

ערך קבוע לאורך קווי זרם, שהם משיקים לשדה המהירות בכל נקודה. מעצם הגדרתם, ניתן לראות ש- ו- הם וקטורים שניצבים אחד לשני:

משמעות תובנה זו, היא שקווי הגובה של כל אחת מהפונקציות האלו ניצבים. נקרא לקווים אלו קווי זרם וקווי פוטנציאל בהתאמה (לפעמים גם קווי שווי פוטנציאל, כי הפוטנציאל בכל נקודה עליהם שווה).

bookhue

קווי זרם (כחול) וקווי פוטנציאל (אדום) של זרימה מציפה (אחידה)

זרימות אלמנטריות

במקום שנפתור את משוואת לפלס מחדש עבור כל בעיה חדשה שניתקל בה (לכל בעיה יהיו תנאי שפה שונים, מה שידרוש פתירה מחדש של המשוואה), נוכל להיעזר בתכונת הלינאריות של המד”ח.
נראה מספר פתרונות אלמנטריים לבעיה, ובעזרת סופרפוזיציה נוכל לפתור בעיות יותר מסובכות.

זרימה מציפה

זרימה מציפה היא זרימה אחידה של זורם. נוכל לייצג אותה במרחב ע”י:

פונקציית הפוטנציאל של זרימה זו יחסית פשוטה למציאה. מהגדרת הפוטנציאל:

ולכן:

כאשר ניתן לקבוע לפי נקודת ייחוס (כמו באנרגיה פוטנציאלית כבידתית). לפיכך. אם קובעים את הראשית כ- , נקבל:

באותו אופן נוכל למצוא שפונקציית הזרם היא:

מקור ובור

מקור (או בור, ההבדל הוא בסימן), הוא נקודה ש”מייצרת” זרימה אקסיסימטרית בכיוון רדיאלי החוצה.
bookhue

קווי זרם (כחול) וקווי פוטנציאל (אדום) של מקור (או בור)

מבחינה פיזיקלית, ברור לנו שמצב כזה לא הגיוני - הרי מאיפה המסה מגיעה? אז במקרה הדו-ממדי, ניתן לחשוב על זרימה זו כזרימה שמגיעה מהממד השלישי - כמו זרם מברז שפוגע בתחתית הכיור, והכיור הוא המישור שלנו. בנקודה בה המקור ממוקם, תהיה לנו פשוט נקודת סינגולריות.

עבור מקור עם ספיקה (אם שלילי, נקבל בור במקום מקור) הממוקם בראשית נוכל לתאר את שדה המהירות שלו ע”י:

כלומר, הספיקה שלו מתפרסת בכיוון הרדיאלי, כך שככל שאנו מתרחקים מהראשית, המהירות יורדת (כך שהוא מקיים שימור מסה). נשים לב כי גם אין מהירות בכיוון המשיקי.

כאשר נפתור עבורו את פונקציות הפוטנציאל והזרם, נקבל:

אם הוא לא ממוקם בראשית, בקואורדינטות קרטזיות:

כאשר הוא מיקום המקור.

ערבול

ערבול אי-רוטוציוני -

בערבול אי רוטוציוני, הזורם סובב סביב נקודה מסוימת (בלי שהוא מסתובב סביב עצמו, כך שהוא מקיים אי-רוטציוניות).
bookhue

קווי זרם (כחול) וקווי פוטנציאל (אדום) של ערבול

נוכל להגדיר את עוצמת הערבול כ- , ואז שדה המהירות יהיה:

גם כאן, העוצמה יכולה להיות חיובית או שלילית, מה שיקבע את כיוון הערבול (לפי כלל יד ימין).
שדה מהירות זה מוביל לפונקציות הפוטנציאל והמהירות הבאות:

זוגן (דובלט)

זוגן הוא סופרפוזיציה של מקור ובור בעוצמה שווה ושואפת לאינסוף, שבמרחק ששואף לאינסוף בינהם.

כדי להבין את הייצור המתמטי הזה, נתחיל ממקור ובור שבמרחק אחד מהשני:

bookhue

קווי זרם (כחול) וקווי פוטנציאל (אדום) של מקור ליד בור

הערה:

בגלל ההקבלה העצומה בין פוטנציאל חשמלי, פוטנציאל כבידתי ופוטנציאל המהירות (כולם הם פונקציות פוטנציאל של שדות משמרים), נוכל להקביל את המקרה למשל למטען חיובי ליד מטען שלילי.

הפוטנציאל של מקור שנמצא ב- הוא:

הפוטנציאל של בור שנמצא ב- הוא:

לכן, מסופרפוזיציה, הפוטנציאל של הבור והמקור הוא:

נגדיר את עוצמת הזוגן כ:

בזוגן, אנחנו משאיפים את לאפס, ואת לאינסוף, כך שיוצא ש- סופי. כעת, נוכל לרשום את הפוטנציאל כ:

או בקואורדינטות פולאריות:

ולכן שדה הזרימה יהיה:

bookhue

קווי זרם (כחול) וקווי פוטנציאל (אדום) של זוגן

סופרפוזיציה של זרימות אלמנטריות

נוכל לסכום זרימות אלמנטריות כדי לקבל פונקציות פוטנציאל שמתארות זרימה של בעיה חדשה לחלוטין.

שיקוף - זרימה ליד קיר

נרצה למצוא את הפוטנציאל של הזרימה הבאה:

מקור ליד קיר

הבעיה כאן היא שהפתרון שמצאנו עבור מקור ובור לא תקפה כאן. אמנם פונקציית הפוטנציאל שמצאנו אכן מקיימת את משוואת לפלס , אבל היא לא מקיימת את תנאי השפה של המערכת הנ”ל - תנאי אי חדירה על הקיר.

אבל, מה שכן נוכל לעשות הוא להתעלם מהקיר, ולבנות מקור מדומה מצידו השני, במרחק ועוצמה שווה:

מקור מדומה מעבר לקיר

כעת פשוט נסכום את שני הפוטנציאלים המקורות:

מאחר ושני המקורות בעוצמה שווה, המהירות בקו הסימטריה בינהם מתאפסת- שזה שקול לתנאי אי-חדירה!
כמובן שהמקור המדומה הוא לא חלק מתחום ההגדרה המקורי שלנו, כך שפשוט נתעלם מכל מה שקורה מעבר לקיר. אבל, בצד של הקיר שאכפת לנו ממנו, קיבלנו פונקציית פוטנציאל שמתקיימת את משוואת לפלס, ואת התנאי שפה:

bookhue

קווי זרם ופוטנציאל של מקור ליד קיר

זרימה סביב גליל

כאשר נסכום פונקציית פוטנציאל של זוגן בעל עוצמה וזרימה מציפה בגודל (נניח בזווית ), נקבל פתרון של בעיה מאוד מעניינת:

במקרה הפרטי בו (כאשר הוא גודל שיקבל משמעות בהמשך):

נגזור לפי , מה שיניב לנו את המהירות בכיוון :

על המישור, בכל הנקודות בהן (כלומר, על מעגל ברדיוס ), נקבל ש:

זהו תנאי שפה של אי-חדירה! קיבלנו פתרון לשדה זרימה מסביב לגליל ברדיוס בזרימה מציפה! נוכל לרשום אותו בצורה הבאה:

שדה המהירויות יהיה:

bookhue

קווי זרם ופוטנציאל של גליל הנמצא תחת זרימה מציפה

זרימה של זורם בלתי דחיס, אינרציאלי סביב גליל. כהות הצבע הכחול מתארת את הלחץ (הכהה ביותר הוא הלחץ הגבוה ביותר).

כיוון שאנו בזרימה אינרציאלית, אי-רוטוציונית, נוכל להשתמש בברנולי כדי לקשר בין גודל המהירות לשדה הלחצים. על שפת הגליל נקבל ש:

כאשר הוא לחץ שרירותי שנקבע באינסוף.

bookhue

שדה הלחצים של זרימה מציפה על גליל. אדום מסמל לחץ גבוה, כחול מסמל לחץ נמוך.

זרימה סביב גליל מסתובב

נמשיך עם אותה הבעיה, אבל כעת ניתן לגליל להסתובב. נוכל להציג את סיבוב הגליל ע”י הוספה של ערבול לפוטנציאל כך ש:

ערבול זה לא משפיע על תנאי האי חדירה ב- , כך שאנו עדיין מקיימים את תנאי השפה של הבעיה.
נוכל מברנולי למצוא את הלחץ על השפה של הגליל:

bookhue

קווי זרם ופוטנציאל סביב גליל עומד (שמאל), וסביב גליל מסתובב עם כיוון השעון (ימין). כמו בקווי שדה חשמלי ככל שהקווים צפופים יותר, גודל שינוי הפוטנציאל (ולפיכך המהירות) גדול יותר.

אנו מקבלים שמעל הגליל ישנו לחץ נמוך יותר מאשר מתחת לגליל, כך שבעצם הגליל יעלה - מה שנקרא, כוח עילוי, שנעמיק עליו בפרק הבא.

תרגילים

שאלה 1

סטודנטים בקורס זרימה בנו מערכת ניסוי הכוללת פלטה, שולחן, קפיץ וקשית. הם חיברו את הפלטה המעגלית, בעלת רדיוס ומסה זניחה, לקפיץ לינארי, בעל קבוע , המחובר לתקרה, כמתואר באיור. הפלטה מוקמה מעל שולחן עם חריר אליו מושחלת קשית בעלת רדיוס , כך שמרכז הפלטה ממורכז מעל הקשית והמרווח ההתחלתי בין הפלטה לבין השולחן הינו . הסטודנטים החלו לנשוף אוויר דרך הקשית בספיקה קבועה , ובמצב מתמיד מדדו שהמרווח בין הפלטה לבין השולחן הינו . ידוע כי מחוץ לפלטה שורר לחץ אטמוספירי וניתן להזניח את כוח הכבידה. האוויר הינו בעל צפיפות וצמיגות קינמטית .
נתון כי:

לצורך פישוט מתמטי, ניתן להניח כי ובאזור מרכז הפלטה (), שורר לחץ אחיד .

bookhue

סכימת המערכת

סעיף א’

רשמו את התנאי הפיזיקלי על ספיקה נפחית , על מנת שניתן יהיה להזניח את איברי הצמיגות במשוואות הזרימה מתחת לפלטה. יש לרשום הן תשובה פרמטרית והן מספרית.

פתרון:
מאחר ו-, נוכל להשתמש בריינולדס המוקטן. כדי להזניח את הצמיגות, יש להתקיים :

נותר לנו למצוא את . נשים לב שמהספיקה, יש לנו שתי אפשרויות עבור . אחד עבור ה- בכניסה, ואחד עבור ה- ביציאה. משימור מסה, ניתן לראות כי:

נשים לב ש- , ולכן הוא המחמיר משניהם בתנאי על ריינולדס המוקטן. נציב אותו:

סעיף ב’

עבור הניסוי הראשון של הסטודנטים, הניחו שהתנאי של סעיף א’ מתקיים, והזרימה היא אי-רוטציונית. נא לבטא את תשובתכם רק בצורה פרמטרית:

ציירו באופן סכמתי את פרופיל המהירות בשלושה חתכים:

פתרון:

מאחר ומדובר בזרימה אינרציאלית, תנאי האי החלקה זניח - כלומר אין חיכוך של הזורם עם המוצק. לפיכך, בקצה, יש לזורם שפה חופשית:

כלומר, פרופיל המהירות אחיד בכיוון .
נשים לב גם שהחתכים ברדיוסים שונים, הם למעשה חתכים גליליים שונים. כלומר, שטח הפנים בכל חתך משתנה - הוא גדל. לפיכך, משימור מסה זריז, ניתן לראות כי המהירות קטנה ככל ש- גדל.

פרופילי המהירות בשלושה חתכים שונים

סעיף ג’

מצאו את הביטוי ללחץ במרכז הפלטה, .

פתרון:
נבחר שתי נקודות - אחת ברדיוס מהמרכז - כלומר ב-, והשנייה בקצה - כלומר ב-. מאחר והזרימה אינרציאלית ואי-רוטציונית, נוכל להשתמש במשוואת ברנולי.

נציב :

סעיף ד’

ציירו באופן סכמתי את פרופיל הלחץ כתלות במרחק .

פתרון:
מזל שחשבנו את כתלות ב-.

פרופיל הלחץ כתלות במרחק

סעיף ה’

מצאו את הכוח ההידרודינמי הכולל הפועל על הפלטה.

פתרון:
מדג”ח זריז על הפלטה, נוכל למצוא כי סך הכוח הפועל עליו הוא (גם מהלחץ האטמוספירי וגם מהלחץ מזרימת האוויר):

ולכן:

סעיף ו’

קבעו האם במצב זה ערכו של גדול, קטן או שווה לערכו ההתחלתי ?

פתרון:
נשים לב שגודל כוח זה שלילי, ולכן הדסקה נצמדת יותר כלפי מטה, כך ש- קטן.

סעיף ז’

לאחר מספר ימים הסטודנטים ביצעו ניסוי נוסף, אך הפעם בספיקה של .

האם במצב זה ערכו של גדול, קטן או שווה לערכו ההתחלתי .

פתרון:
בספיקה זו הזרימה היא צמיגה, וזרימה צמיגה זורמת בהכרח מלחץ גבוה ללחץ נמוך. לכן, סך הלחץ מתחת לדסקה גדול יותר מ-, כך שהדסקה תעלה.

שאלה 2

בתרומת ניר קרל:

מי הים והמים המתוקים לא מתערבבים. למי הים והמים המתוקים אותה צפיפות.

  1. מצא את הלחץ המקסימלי ומיקומו.
  2. מצאו ותארו סכימטית את הקו המפריד.
  3. מרחק מקסימלי מהקיר.

סעיף א

הנחות:

  1. מצב מתמיד - .
  2. בעיה דו-ממדית 2D.
  3. צפיפות וצמיגות קבועות - .
  4. גרביטציה זניחה.
  5. נוזל ניוטוני.
  6. זרימה אינרציאלית .
  7. זרימה אי רוטציונית - .

המקור “יורה” זרם החוצה בכיוון רדיאלי, עוצמת הזרם יורדת עם המרחק. הזרימה המציפה תמיד אופקית וגודלה קבוע בכל מקום, ולכן נקבל שקו ההפרדה בין הזרימות (בין מי הים למים המתוקים) יהיה הקו בו הרכיב האופקי של הזרם שיוצא מהמקור שווה בגודלו (והפוך בכיוונו) לזרם של הזרימה המציפה.

ממשוואת ברנולי עבור זרימה פוטנציאלית נוכל לראות שהלחץ יהיה מקסימלי במקום בו מהירות הזורם תהיה מינימלית:

מצב מתמיד אומר שאין שינוי בזמן, לכן שהיא פונקציה שתלויה רק בזמן חייבת להיות קבועה במצב מתמיד.
כלומר קיבלנו את הקשר:

ולכן ככל שהמהירות קטנה הלחץ גדל.

צמוד לקיר, מהירות הזרימה שיוצר המקור היא אופקית בלבד, ולכן בנק’ המפגש של הזרימה שיותר המקור והזרימה המציפה צמוד לקיר נקבל לכן שם תהיה הנק’ עם הלחץ הגובה ביותר.


נכתוב את פונקציית הפוטנציאל המתאימה לבעיה:

כאשר הוא עוצמת המקור. נתון שעוצמת המקור היא אך המקור הנתון הוא לא מקור מלא, והנוסחה בסף הנוסחות מתייחסת לעוצמת מקור של מקור מלא (מקור שמייצר פוטנציאל ב- ). המקור הנתון הוא מקור חצי מלא, כלומר הוא מייצר פוטנציאל רק בחצי מישור (). נחשב את פונקציית הפוטנציאל עבור חצי מקור:

כדי לחשב את פונקציית הפוטנציאל עבור מקור חצי מלא נעזר בפונקציית הזרם , כדי למצוא את נעשה חיסור של הזרם בזווית ההתחלה של המקור ושל הזרם בזווית הסיום של המקור:

כלומר עבור מקור חצי מלא נקבל:

הערה:

יכולנו לדעת מראש שעוצמת חצי מקור תהיה כפולה ממה שכתוב בנוסחות מכיוון שבמקום “לירות” זרם לכל המישור כל עוצמת המקור מכוונת רק לחצי מישור, כלומר כל נק’ בחצי המישור מקבל כפול זרם. אם היה לנו לדוגמה מקור שמוציא זרם רק לרבע מישור היינו מקבלים שהעוצמה של המקור היא פי 4 מאשר בנוסחות שבדף הנוסחות. כאמור הנוסחות שבדף הנוסחות נכונות עבור מקור “מלא” מקור שמקרין פוטנציאל על כל המישור.

נמצא את עוצמת הזרימה את המרחק של נק’ זו מהמקור:

הערה:

את פונקציות הפוטנציאל והמהירויות לקחנו מדף הנוסחות מטבלת הזרימות הפוטנציאליות!

בנק’ שצמודה לקיר נקבל מכיוון שכיוון הזרימה שיוצר המקור היא אופקית בלבד, והיא “מתנגשת” עם הזרימה המציפה. לכן:

נחלץ את :

כדי למצאו את הלחץ בנקודת נשתמש בברנולי:
רחוק מאוד מהמקור נקבל שכל המהירות היא מהירות שבאה מהזרימה המציפה ולכן -

נחלץ את :

סעיף ב

הקו שאנחנו מחפשים הוא למעשה קו זרם, מכיוון שאנחנו יודעים שקווי זרם לא חוצים זה את זה. כלומר קווי הזרם שבאים מהמקור לא יחצו אותו וכך גם קווי הזרם שנוצרים מהזרימה מהציפה. כדי למצוא תיאור שלו נשתמש בפונקציית הזרם:

הערה:

את פונקציות הזרם לקחנו מדף הנוסחות מטבלת הזרימות הפוטנציאליות!

כאשר על קו זרם ספציפי נקבל:

בסעיף א’ מצאנו נק’ אחת שנמצאת על קו הזרם הזה, נציב אותה בפונקציית הזרם כדי לקבל את הקבוע:

לכן נקבל שהמשוואה שמתארת את הקו שמפריד בין מי המלח למים המתוקים היא:

נוכל לסדר קצת את המשוואה ונקבל:

ציור סכמתי נתון באיור השאלה 🤦🏼‍♂️.

סעיף ג

כדי למצוא את המרחק המקסימלי מהקיר נרצה לבטא את המרחק בעזרת :

לכן:

ניתן לראות ש- מתקבל עבור (היה אפשר גם לגזור את לפי ולהשוות ל-0), ולכן המרחק המקסימלי מהקיר הוא:

הערה:

ערך זה מקבל עבור . (אפשר לראות את זה ע”י הצבת בנוסחה ל- ).
מתאר את המרחק מהמקור, מתאר את המרחק האופקי מהמקור (המרחק מקיר).

שאלה 3

בתרומת ניר קרל.

בתחתית בריכת מים בעומק רב , ממוקמת קליפה דקה בצורת חצי גליל, בעלת רדיוס , ובאורך (אל תוך הדף) , , הנתונה לזרמים במהירות . הקליפה מורכבת משני חלקים: חלק שמאלי קבוע בקרקע, וחלק ימני שהינו דלת בעלת מסה ליחידת שטח היכולה לנוע בחופשיות סביב ציר הנמצא בראש המבנה (כפי שמתואר באיור). בחלק הקובע, בזווית מאופק קיים חריר, אשר ניתן להניח שהוא כה קטם, שאינו מפריע לשדה הזרימה מחוץ לקליפה. הקליפה גם היא מלאה לחלוטין במים.

סכמת הבעיה.

  1. מתי ניתן לפתור את הבעיה באמצעות זרימה פוטנציאלית? רשמו את התנאי/ם כתלות בפרמטרים הנתונים בבעיה, וכן הסבירו את המשמעות הפיזיקלית של כל תנאי (שתי שורות לכל תנאי, לכל היותר).
  2. תחת תנאים אלו, ובמצב מתמיד, מה צריכה להיות מסת הדלת ליחידת שטח () על מנת שהדלת תישאר סגורה (כתלות בפרמטרים הנתונים בבעיה)?
  3. באיזו זווית יש למקם את החריר כך שמשקל הדחת הנדרש יהיה מינימלי? הסבר מילולי, 4- 3 שורות). שימו לב: ניתן לענות לסעיף זה גם ללא פתרון מלא של סעיף ב’.

סעיף א

זרימה פוטנציאלית יכולה להתקיים תחת התנאים הבאים:

  1. זרימה אינרציאלית - . מספר ריינולדס הוא היחס בין אינרציה לצמיגות, ואם הוא גדול מאוד סימן שאינרציה היא הרכיב הדומיננטי בזרימה - זרימה אינרציאלית.
  2. זרימה אי רוטציונית - . בזרימה אי אינרציאלית אנחנו מניחים שלחלקיקים של הזורם אין רכיב סיבוב סביב עצמם תוך כדי התנועה שלהם.
  3. תפיפות קבועה - . כלומר הנוזל בלתי דחיס.

סעיף ב’

הנחות:

  1. זרימה אינרציאלית - .
  2. זרימה אי רוטציונית - .
  3. צפיפות קבועה - .
  4. מצב מתמיד (נתון) - .

נבין מה הכוחות שמשחקים לנו בפתיחת הדלת -

שדה הזרימה סביב הקליפה.

בעולם של זרימה פוטנציאלית מהירות נמוכה = לחץ גבוה, לכן אם הזורם בתוך הקליפה איטי יותר מהזורם מחוץ לקליפה ייווצר לנו גרדיאנט לחצים שיגרום למומנט על הדלת. כדי למדל את הזרימה נבין מהי פונקציית הפוטנציאל של הזרימה הנתונה בשאלה.

אנחנו יכולים להתייחס לזרימה בתור סופר פוזיציה של זרימה מציפה ושל דובלט (זוגן). כמו בתרגיל הקודם, בין המקור לזרימה המציפה יתפתח קו זרימה שמעליו תהיה זרימה מציפה ומתחתיו זרימה שנובעת מהדובלט, קו זה למעשה מדמה את הקליפה שבשאלה. בהרצאה ראינו שזרימה מציפה סביב דובלט היא דרך ידועה למדל זרימה סביב גליל.

לכן פונקציית הפוטנציאל תהיה:

כדי למצוא את עבור הדובלט שדרוש לשאלה נשתמש בתנאי אי חדירה, אנחנו יודעים שעל שפת הקליפה יש אי חדירה, ולכן המהירות שם תהיה אפס לכל , נגזור את פונקציית הפוטנציאל (בקואורדינטות פולריות) ונשווה ל- 0:

כאשר שווה , לכן:

כלומר נקבל שפונקציית הפוטנציאל היא:

הערת המסכם -

את הפיתוח של לא היינו חייבים לעשות, הוא מופיע בדף הנוסחות תחת “זרימה סביב גליל” וגם ברקע התיאורטי שבתחילת הסיכום. אבל בחרתי לעשות אותה כי אני חושב שזה עוזר להבין איך הגיעו לזה.

כעת נוכל להיעזר במשוואת ברנולי עבור מצב מתמיד:

נעשה ברנולי בין נק’ ברחוקה מאוד מהדובלט, ובין נק’ שעל הקליפה.
נבחר נק’ רחוקה מאוד מהדובלט וגם על שפת פני המים מכיוון ששם הלחץ נתון והוא שווה ללחץ אטמוספרי -

נמצא את :

על הקליפה הרדיוס הוא לכן נקבל שהמהירות היא:

הערה:

הסתכלנו רק על המהירות בכיוון מכוון שאנחנו יודעים שבכיוון מתקיים אי חדירה, כלומר המהירות בכיוון זה היא 0.

נציב חזרה בברנולי ונקבל:

כעת ננסה להבין מה קורה בתוך הקליפה. מכיוון שהחריר מאוד קטן, לא תהיה זרימה בתוך הקליפה, כלומר המים בתוך הקליפה יהיו הידרוסטטיים. נמצא את הלחץ בתוך הקליפה בעזרת משוואות הידרוסטטיקה:

כאשר בנק’ החריר יש שוויון לחצים, כלומר :
נחשב את מהביטוי שקיבלנו ל- :

לכן:

כלומר:

נסדר את הביטוי:

ולכן יהיה:

נבדוק מהו הלחץ שיפתח את הדלת:

נחשב את המומנט שנוצר כתוצאה מהלחץ על הדלת:

חישוב הזרוע :

מהאיור ניתן לראות שהזרוע תהיה:

לכן המומנט יהיה:

נפתח את הביטוי להפרש הלחצים ונציב (כי אנחנו מחשבים מומנט על הקליפה):

נסדר קצת את האינטגרל ונוציא קבועים:

אם נעשה את האינטגרל נקבל:

כדי לדעת עבור איזה לחץ הדלת תיפתח נחשב את המומנט שיוצר משקל הדלת סביב הציר:

חישוב הזרוע:

נציב את בתור הזרוע:

נשווה בין המומנטים:

נחלץ את :

סעיף ג

אם נחשוב על הזרימה בבעיה נראה שהזרימה בראש הקליפה תהיה הגדולה ביותר (מבין הנקודה על הקליפה), ולכן לפי ברנולי במקום בו הזרימה גבוהה ביותר הלחץ יהיה הנמוך ביותר, לכן שם נרצה למקם את החריר על מנת שהלחץ ההידרוסטטי שמתפתח בתוך הקליפה יהיה הנמוך ביותר.