PHY2_001 אלקטרוסטטיקה - חוק קולון והשדה החשמלי

מטען חשמלי

ב- שני המוטות זכוכית משופשפים בבד משי כאשר אחד תלוי ע”י חוט. כאשר הם קרובים אחד לשני, הם דוחים אחד את השני. ב-, המוט פלסטיק שופשף בצמר. כאשר מקרבים את שני המוטות, הם מושכים אחד את השני.

מטען חשמלי היא תכונה של חלקיק. מטען יכל להיות שלילי או חיובי. למשל, לפרוטונים מטען חשמלי חיובי, ולאלקטרונים מטען שלילי.
הסימון למטען חשמלי הוא או , כאשר היחידות הן או . הקשר בינהם:

ב- הכוונה לסך המטען במערכת. לפי חוק שימור המטען, מתקיים:

מטען עודף

לרוב, גוף האדם די ניטרלי. אבל, כאשר אנו נמצאים באזורים בהם הלחות יחסית נמוכה, המטען בגוף שלנו עשוי להיות לא מאוזן אם אנו הולכים על שטיחים מסוימים. יכול להיות שנטענו במטען שלילי מהשטח, או שאיבדנו חלק מהמטען השלילי. בכל מצב, המטען שהתווסף נקרא מטען עודף. לא נשים לב אליו עד שניגע בדלת או מישהו אחר. במקרה זה, אם המטען העודף גדול מספיק, ניצוץ יקפוץ מאיתנו לחפץ האחר, ובכך מנטרלים את המטען.
טעינות ופריקות אלו לרוב לא מתרחשות בתנאים לחים כי המים באוויר נוטים לנטרל את המטען העודף כמעט באותו הקצב בו קיבלנו אותו.

חוק קולון

חוק קולון הוא חוק ניסיוני - כלומר, אין לו הוכחה פיזיקלית, אלא הסיקו אותו מניסויים רבים. הוא קובע כי:

משפט:

אם שני חלקיקים טעונים מתקרבים אחד לשני, הם מפעילים אחד על השני כוח אלקטרוסטטי. הכוח ש- מפעיל על נתון ע”י:

כאשר הוא וקטור הכיוון מ- ל- ו- נקרא קבוע קולון והוא נתון ע”י:

הכוח האלקטרוסטטי שמרגיש , שהוא . הוא ניתן לביטוי ע”י וקטור כיוון מ- ל-.

בחוק קולון, מציבים את הסקלרים של המטענים עם הסימן. לכן אם שניהם בעלי אותו סימן, נקבל ש- מפעיל כוח שדוחה את . אם הם בעלי סימנים הפוכים - נקבל כוח משיכה בינהם:

מטענים בעלי סימן זהה דוחים זה את זה. מטענים בעלי סימן שונה מושכים זה את זה.

דוגמה:

עבור שני המטענים הבאים:

שמיקומיהם נתון ע”י:

מהו הכוח הפועל על מטען ?
פתרון:
לפי חוק קולון:

ולכן הגודל:

הכיוון :

ולכן:

עיקרון הסופרפוזיציה לחוק קולון

בהינתן חלקיקים טעונים ליד מטען , אז שקול הכוחות עליו נתון ע”י:

צפיפות מטען

כאשר נעסוק בצפיפות מטען, יהיה לנו נוח לסווג אותה לשלושה סוגים:

• צפיפות מטען אורכית:
• צפיפות מטען שטחית:
• צפיפות מטען נפחית:

כמובן שהצפיפות עשויה להיות לא אחידה, ולכן הגדרה טיפה יותר מדויקת היא:

דוגמה:

נתון גלילי שרדיוסו וגובהו . המרכז של הבסיס התחתון בראשית הצירים, וציר הסימטריה של הגליל מתלכד עם ציר . נפח הגליל טעון בצפיפות מטען נפחית . הבסיסים טעונים בצפיפות משטחית . המעטפת טעונה בצפיפות מטען משטחית שאנחנו לא יודעים עליה כלום.
חשבו את המטען הכולל של הגליל.
פתרון:
נפרק את המטען הכולל ל- המייצג את המטען על הבסיסים, למטען על המעטפת, ו- למטען בנפח הגליל:

ניעזר בהחלפת משתנים גלילית. עבור , כאשר נשים לב שישנם 2 בסיסים:

עבור :

עבור :

דוגמה: טבעת דקה

נמצא את הכוח שמפעילה טבעת טעונה באופן אחיד בצפיפות מטען אורכית , על מטען נקודתי , הנמצא על ציר הסימטריה של הטבעת.

מסימטריה, מספיק לחשב את ולסכום את על כל התרומות, לקבלת הכוח השקול. נרשום ראשית ביטוי לגודל:

מצפיפות מטען אורכית מתקיים . לכן:

מגיאומטריה, מתקיים , ולכן:

נסכום את כל ה--ים:

קיבלנו כי:

דוגמה: דסקה מלאה

נמצא את הכוח שמפעילה דסקה שרדיוסה והטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה , על מטען נקודתי הנמצא על ציר הסימטריה של הדסקה.

נפתור באמצעות עיקרון הסופרפוזיציה. הדסקה מורכבת מטבעות:
ראינו בדוגמה קודמת שכוח שמפעילה טבעת שרדיוסה והמטען עליה הוא:

נבצע התאמות למקרה שלנו. במקרה הדיפרנציאלי:

כאשר הצבנו כי:

נסכום את התרומה של כל הטבעות:

נסדר ונקבל:

אינטגרלים שימושיים לבעיות בהם יש מטען נקודתי לאורך ציר הסימטריה

שדה חשמלי

כל מטען כלשהו יוצר מה שנקרא שדה חשמלי, גם אם ישנו ריק במרחב. אם נשים עוד מטען כלשהו במרחב זה, הוא יושפע משדה חשמלי זה. נוכל לומר בעצם ש- לא מפעיל כוח באופן ישיר על , אלא ש- יוצר שדה חשמלי במרחב כולו, ו- מושפע משדה חשמלי.

למעשה, השדה הוא מושג עזר שמסייע לנו להתמודד עם הקושי התפיסתי של פעולה מרחוק.

הגדרה:

נגדיר שדה חשמלי:

מבחינה מתמטית, הוא שדה וקטורי - כלומר, עבור כל נקודה במרחב , נקבל וקטור. לגודל הוקטור יחידות או כאשר הוא וולט.

שדה של מטען נקודתי

נניח שבמרחב קיים מטען נקודתי . נרצה לדעת מה השדה בנקודה כלשהי במרחב.

שדה של מטען נקודתי. הכוח האלקטרוסטטי הפועל על מטען חיובי ליד גוף טעון שלילית. השדה החשמלי הנוצר כתוצאה מהגוף הטעון שלילית. החצים מצביעים אל הגוף הטעון שלילית - הם מייצגים את כיוון הכוח האלקטרוסטטי אם היו מניחים שם גוף טעון חיובית.

ניקח מטען בוחן ונמקם אותו בנקודה המבוקשת . לפי חוק קולון:

לכן, לפי הגדרת השדה החשמלי:

אם המערכת שלנו מורכבת ממספר רב של מטענים, נשתמש בעיקרון הסופרפוזיציה לחוק קולון:

כאשר הוא ההעתק של הנקודה במרחב, מכל אחד ממקורות השדה .

שדה חשמלי של גוף רציף

אם מדובר בנפח רציף, נצטרך להשתמש בצפיפות המטען:

מתוצאות קודמות:

• שדה בנקודה במרחק מחוט טעון בצפיפות מטען אורכית אחידה באורך :
• שדה לאורך ציר סימטרי של טבעת טעונה ב- אחידה:
• שדה לאורך ציר סימטריה של דסקה טעונה ב- אחידה:

קווי שדה חשמלי

כללים לציור קווי שדה:

• קווי שדה מתחילים במטען חיובי ומסתיימים במטען שלילי (או הולכים אל ומגיעים מהאינסוף).
• קווי שדה לא מתפצלים, מתאחדים או חוצים זה את זה.
• מספר קווי השדה שיוצאים ממטען מסוים פרופורציונליים למטען.
• צפיפות קווי השדה מעידה על עוצמת השדה באזור מסויים במרחב.

קווי שדה חשמלי של משטח מישורי אינסופי טעון חיובית. הכוח הפועל על מטען בוחן חיובי. השדה החשמלי במיקום המטען בוחן, והקווי שדה הסמוכים לו. מבט צד.