אינטגרציה כפולה

סכום רימן כפול

נביט בנפח מעל תחום מלבני , ופונקציה שמוגדרת בתחום זה.
book

נחלק את התחום לתתי מלבנים , כל אחד עם השטח והצלעות באורך ו-.

book

ניקח נקודה כלשהי באחד מ- ונסמנה . נוכל לכתוב כי הנפח של התיבה מעל היא:

הרי הוא גובה התיבה.

book

עבור הנפח הכולל מעל , נוכל לכתוב:

כאשר הוא מספר התתי מלבנים לאורך ציר , ו- הוא מספר התתי מלבנים לאורך ציר .
סכום זה נקרא סכום רימן כפול, וניתן להיעזר בו לחישוב מקורב של נפח מתחת לפונקציה.

אינטגרל כפול

כפי שראינו במקרה במשתנה אחד, ניתן לקבל קירוב יותר טוב לנפח עם ו- יותר גדולים (או ו- יותר קטנים):

אם גבול זה קיים, נאמר כי אינטגרבילי, ונוכל להגדיר את האינטגרל הכפול:

הגדרה:

האינטגרל הכפול של הפונקציה מעל התחום המלבני במישור ה- מוגדר כ:

הערות:

  1. אם , אז הנפח של הפונקציה מעל היא פשוט האינטגרל הכפול. אם , נקבל גם את הנפח, אבל בסימן שלילי.

שטח אפס

הגדרה:

קבוצה במישור בעלת שטח אפס אם לכל ניתן לכסות את הנקודות ב- בעיגולים קטנים כך שסכום השטחים שלהם קטן מ-.

דוגמאות:

  1. קו. הרי ברור שלקו אין שטח.
  2. הקבוצה של כל הנקודות הרציונאליות בריבוע ו-. קבוצה זו בעלת שטח אפס, הרי לא משנה כמה קטן הרדיוס של מעגל שנשרטט סביב כל נקודה, תמיד הוא יכלול גם נקודות אי רציונאליות - שהם לא בקבוצה.

שטח של תחום

הגדרה:

שטח התחום מוגדר כ:

אנחנו בעצם אומרים פה שנפח צורה תלת מימדית בעלת התחום כהבסיס וגובה , שווה מספרית לשטח שלה. ברור שמבחינת יחידות זה לא מסתדר - זה נפח וזה שטח. אבל מבחינה נומרית, זה נכון.

דוגמאות:

  1. נמצא את השטח של התחום:

התחום הוא מלבני עם אורך ורוחב . אז אנו יודעים שהשטח הוא . נוכל למצוא את שטח זה גם ע”י אינטגרל כפול:

תנאי ותכונות אינטגרביליות

ניתן למצוא אנלוג חזק כאלירן סבג באינטגרביליות במשתנה אחד.

משפט:

  1. תהי מוגדרת מעל תחום חסום ובעל שטח. אז:
  • אם אינטגרבילית ב-, אז חסומה ב-.
  • אם סגורה ו- רציפה, אז אינטגרבילית.
  1. תהי מוגדרת וחסומה בתחום בעלת שטח, ונניח שקבוצת נקודות האי רציפות של היא בעלת שטח אפס. אזי, אינטגרבילית ב-.
  2. יהיו מוגדרות ב- חסום, סגור ובעל שטח הנבדלות רק בנקודות עם שטח אפס. אזי, אינטגרביליות בעת ובעונה אחת ומתקיים:

תכונות האינטגרל הכפול

תכונות האינטגרל המסוים במשתנה אחד.

משפט:

  1. אי שוויון האינטגרל: אם אינטגרבילית ב- אז גם אינטגרבילית ב- ומתקיים:
  1. מונוטוניות: אם אינטגרבילית ב- ומתקיים ב-. אזי:
  1. אינטגרביליות גוררת חסימות: אם אינטג’ ב-, אז קיימים כך ש- ומתקיים:

כאשר הוא שטח התחום .
4. ערך הממוצע האינטגרלי: אם רציפה בתחום חסום, סגור, וקשיר, אז קיימת נקודה כך ש:

  1. אדיטיביות: תהי אינטגרבילית ב- ונניח כי: , כאשר בעלות שטח, אז:
  1. לינאריות: תהי אינטגרביליות ב-. אז לכל ממשיים, גם הפונקציה אינטגרבילית ומתקיים:

אינטגרל נשנה

הגדרה:

יהיו . נגדיר את האינטגרל הנשנה של פונקציה מעל תחום מלבני כך:

או:

הסיבה למה אנו לא מבדילים בין שתי הצורות השונות, היא המשפט הבא:

משפט פוביני לאינטגרל כפול

משפט:

תהי פונקציה רציפה מעל התחום המלבני :

אזי מתקיים:

אינטגרל כפול לתחום מלבני

משפט:

תהי פונקציה רציפה מעל תחום מלבני :

אז האינטגרל הנשנה מקיים:

book
כלומר, אנו מבצעים אינטגרל לפי , מקבלים שטח שתלוי ב- (), ומבצעים עליו אינטגרל כדי לקבל את הנפח. היינו יכולים באותו אופן (לפי משפט פוביני), לעשות זאת בסדר הפוך:

book

תחום פשוט דו מימדי

הגדרה:

תחום נקרא פשוט ביחס לציר אם ניתן לחסום אותו בין שתי פונקציות ו- בקטע ומתקיים: לכל בקטע.

אינטגרל כפול לתחום פשוט

משפט:

אם תחום פשוט ביחס ל- כאשר אינטגרבילית ב-, ולכל בקטע קיים האינטגרל:

אזי:

דוגמאות:

  1. נחשב את האינטגרל הבא:

כאשר:

נשרטט את התחום:

נשים לב כי התחום פשוט גם ביחס לציר וגם לציר . ננסה לפי :

אבל אנו לא יודעים לחשב את האינטגרל הפנימי הזה. ננסה לפי :

וואלה יא חביבי זה אפשר לחשב. עד כדי טעות, התשובה היא:

אבל נשים לב לעוד משהו: האינטגרנד לא מוגדר עבור הנקודה . אבל הכל טוב! מה אכפת לנו! הוא חסום, אז הוא אינטגרבילי. נקודת האי רציפות הזאת לא מפריעה לנו.

החלפת סדר באינטגרל כפול

הגדרה:

יהי תחום פשוט ביחס לציר וציר .

תהי מוגדרת ב- ואינטגרבילית בו. החלפת סדר באינטגרל פרושו מעבר מאינטגרל נשנה אחד לאינטגרל נשנה שני.

דוגמאות:

  1. עבור התחום:

החלפת הסדר של האינטגרל הבא:

נראית כך:

אבל קיבלנו שתי תוצאות שונות. נסיק מכך שהאינטגרנד בכלל לא אינטגרבילי. אם היינו חוקרים אותו, היינו שמים לב שהוא לא חסום.

פונקציה זוגית וסימטרית

טענה:

אם תחום סימטרי ביחס לציר , זוגית ביחס למשתנה , ונניח ש- הוא הצד החצי הסימטרי של , אז:

טענה:

אם סימטרי ביחס לציר , אי זוגית ביחס לציר , אז:

תרגילים:

  1. חשבו: פתרון:
    נחליף את סדר אינטגרציה:
    קיבלנו:
  2. חשבו: כאשר התחום החסום ע”י: פתרון:
    נשרטט:
    אז נחשב: נבצע את ההצבה: ולכן:
  3. החליפו את סדר האינטגרציה באינטגרל:

    פתרון:
    נשרטט:


    כעת נחליף באופן הבא:
  4. חשבו:

    פתרון:
    נשרטט, ונסיק:

    אז נוכל לרשום:

    נציב:

    לכן:

החלפת משתנים

החלפת משתנים היא טכניקה בעזרתה ניתן לפשט חישובים ע”י החלפת משתנים בפונקציות של משתנים אחרים. במקרה החד משתני, באינטגרלים, השתמשנו בשיטת ההצבה. החלפת משתנים היא שם כללי לשיטת ההצבה במספר משתנים.

כדי להתחיל להבין את הרעיון שעומד מאחורי השיטה הזאת נצטרך להזכיר את הרעיון שעומד מאחורי דטרמיננטה, וטרנספורמציה לינארית. הסרטון הבא מסביר זאת בצורה מעולה:

כמו בשיטת ההצבה, נרצה לעבור מפונקציה בשני משתנים שקשה לנו לבצע עליה אינטגרציה, לפונקציה בשני משתנים שבה אנו יודעים כיצד לחשב את האינטגרל הכפול. במקרה של משתנה אחד פשוט עשינו את הדבר הבא:

נשים לב ש- בעצם נותן לנו את היחס בין השטח מתחת ל- לשטח מתחת ל-.

בנושא זה נעסוק בפונקציה מ- ל- - במילים אחרות, טרנספורמציה (לא בהכרח לינארית!). דוגמה לטרנספורציה כזאת:

עבור פונקציה כללית , נוכל לפעמים להפוך אותה לפונקציה יותר נוחה ע”י הצבה מהצורה:

אנחנו בעצם ביצענו כאן החלפת משתנים שהיא בעצמה טרנספורמציה:

נכון במשתנה אחד היה את הערך שנתן לנו את היחס בין השטחים? במקרה של שני משתנים, ניעזר ביעקוביאן.

מטריצת היעקוביאן

הגדרה:

מטריצת היעקוביאן של פונקציה וקטורית היא המטריצה של כל הנגזרות חלקיות הראשונות שלה:

כאשר היא מהצורה:

הערות:

  1. הכוונה בפונקציה וקטורית היא שהתמונה שלה היא וקטורים. למשל במקום - פונקציה סקלרית שעסקנו בה עד עכשיו, אז , שהי פונקציה וקטורית.

במקרה של טרנספורמציית החלפת המשתנים כאשר :

אם כאשר :

שזה פשוט הגרדיאנט. היעקוביאן הוא הכללה של הגרדיאנט של פונקציה סקלרית במספר משתנים - שהוא בעצמו הכללה לנגזרת של פונקציה סקלרית במשתנה אחד.

דרך אחרת לרשום את היעקוביאן בעזרת הגרדיאנט:

כאשר ב- הכוונה בשחלוף של הגרדיאנט.

דטרמיננטת היעקוביאן

כאשר , אז היא פונקציה מ- לעצמה, ומטריצת היעקוביאן היא ריבועית, ונוכל לחשב את הדרטמיננטה שלה.
בצורה מבלבלת מאוד, גם למטריצה וגם לדטרמיננטה היעקוביאנית קוראים יעקוביאן. מעכשיו כל פעם שאנו מסמנים נתכוון לדטרמיננטה, ולא למטריצה!

המשמעות של הדטרמיננטה הזאת במקרה של , כמו בדטרמיננטה של טרנספורמציה לינארית, היא כמה הפונקציה מגדילה או מקטינה את השטח סביב נקודה מסוימת.

book

לכן, עבור שינויים איפיטסימליים נוכל לומר כי:

יעקוביאן כהפקטור של גודל השטח

משפט:

נניח כי היא החלפת משתנים מ- ל-. אז:

הערות:

  1. הכוונה ב- היא הערך המוחלט של היעקוביאן.

החלפת משתנים הפיכה

טענת עזר:

אם החלפת משתנים מ- ל- אז היא החלפת משתנים מ- ל- ומתקיים:

החלפת משתנים באינטגרל כפול

הגדרה:

תהי טרנספורמציית החלפת המשתנים (לא בהכרח לינארית!) מהצורה:

אם מתקיימים התנאים הבאים:

  1. הטרנספורמציה חד חד ערכית.
  2. הטרנספורמצייה מעבירה נקודה פנימית לנקודה פנימית ונקודת שפה לנקודת שפה.
  3. מתקיים .

אז עבור כל פונקציה רציפה המוגדרת בתחום , שתחת הטרנספורמציה , התמונה של היא , מתקיים:

תרגילים:

  1. חשבו את שטח התחום החסום ע”י: ברביע הראשון.
    פתרון:
    נסמן: נחשב את היעקוביאן ההפוך (כי יותר קל לחשב אותו): ולכן: הטרנספורמציה חח”ע כי: וגם: הצבת אלו חח”ע ברביע הראשון.
    כעת נוכל לחשב את האינטגרל הבא, שייתן לנו את שטח :
  2. חשבו מסת לוח בעל עובי זניח ברביע הראשי אשר שפתו נתונה ע”י: וצפיפותו: פתרון:
    נבחר בהצבות: ולכן: כך ש: נוכל לחשב את האינטגרל:
  3. חשבו: כאשר: פתרון:
    ההצבה: זוהי העתקה לינארית וחח”ע. נחשב יעקוביאן: לכן: נשים לב כי התחום עבור לנקודות: ולכן: נוכל לחשב כעת:

קואורדינטות פולאריות

מעבר לקואורדינטות פולריות היא מקרה פרטי של החלפת משתנים מאוד שימושית:

book

היעקוביאן של הטרנספורמציה הזאת:

לכן עבור פונקציה , תחת המעבר לקואורדינטות פולאריות, נוכל לרשום:

נוסחה:

תרגילים:

  1. חשבו את שטח התחום כאשר: פתרון:
    בקואורדינטות מעגליות, התנאי הראשון: נשרטט:

    התחום סימטרי ביחס לראשית לכן מספיק לחשב שטח רבע תחום. התחום: התחום עבור , נמצא את נקודת החיתוך ברביע הראשון: לכן הזווית היא: ולכן האינטגרל שעלינו לחשב הוא: הכפלנו בארבע כי האינטגרל שאנו מחשבים הוא רבע מהשטח.
  2. מצא את מרכז המסה של תחום: שמשוואתו נתונה ע”י: פתרון:

    נציב קואורדינטות פולאריות, ונסיק כי עבור החלק בחצי השמאלי: ולכן המסה היא: עבור החצי הימני: ולכן המסה היא: מכיוון שהתחום וגם פונקציית הצפיפות סימטריים ביחס לציר , אז רכיב של מרכז המסה הוא אפס. עבור רכיב (מהנוסחה למרכז מסה):

קואורדינטות אלפיסיות

הצבה נוספת שימושית היא כאשר יש לנו לנו ביטוי מהצורה:

נבחר את ההצבה:

ועבורה:

ולכן נוכל לרשום:

נוסחה:

אינטגרציה משולשת

אינטגרל משולש

book

הגדרה:

תהי הפונקציה . האינטגרל המשולש של בתיבה מוגדרת כ:

(אם הגבול קיים).

נפח של תחום

הגדרה:

נפח של תחום מוגדר כ:

דוגמאות:

  1. חשב את הנפח הכלוא בין המשטחים:

החיתוך בין המשטחים:

כלומר:

אז נבצע:

אינטגרל משולש לתיבה

משפט:

אם רציף בתיבה , אז:

אינטגרל זה שווה גם לכל אחד מחמשת האפשרויות האחרות של האינטגרל הנשנה המשולש - משפט פוביני לאינטגרל כפול. אז כל ששת האפשרויות הן:

תחום פשוט תלת מימדי

הגדרה:

תחום (מרחבי) נקרא פשוט ביחס לציר אם הוא חסום ע”י שני משטחים ו- מעל תחום מישורי , ומהצדדים קו אנכי למישור , ובמקביל ל-.
book

אינטגרל משולש לתחום פשוט

משפט:

האינטגרל המשולש של פונקציה רציפה מעל תחום פשוט ביחס ל-:

(כאשר הוא ההטלה של על המישור ), הוא:

דוגמאות:

  1. חשב את נפח החסום ע”י:

לכן:

תרגילים:

  1. חשבו נפח הגוף החסום ע”י: פתרון:
    נביט מה קורה במישור :

    תחום זה קבוע לאורך . לכן:
  2. חשבו את נפח התחום החסום ע”י: פתרון:
    נשרטט:

    יובל תמודד.
    נחשב:
  3. חשב את נפח הגוף החסום ע”י: פתרון:

החלפת משתנים

החלפת משתנים באינטגרל משולש

הגדרה:

תהי טרנספורמציית החלפת המשתנים (לא בהכרח לינארית!) מהצורה:

אם מתקיימים התנאים הבאים:

  1. הטרנספורמציה חד חד ערכית.
  2. הטרנספורמצייה מעבירה נקודה פנימית לנקודה פנימית ונקודת שפה לנקודת שפה.
  3. מתקיים .

אז עבור כל פונקציה רציפה המוגדרת בתחום , שתחת הטרנספורמציה , התמונה של היא , מתקיים:

קואורדינטות גליליות

book

אם השפה או הפונקציה מכילים את הביטוי , אך לא , נשתמש בהצבה:

ועבורה:

לכן, נסיק כי:

נוסחה:

תרגילים:

  1. חשבו את נפח הגוף התחום ע”י: פתרון:
    נציב קואורדינטות גליליות: מאחר והתחום מקיף את כל ציר , אז: נחשב את : ולכן הנפח:

קואורדינטות כדוריות

במרחב תלת מימדי, ניתן לייג כל נקודה ע”י מרחקה מהראשית, , הזווית מציר החיובי והזווית מציר החיובי:
book

נשים לב ש- היא הזווית מציר ולא ממישור . בנוסף, התחום שלה הוא לכל היותר , מאחר ואפשר כבר להיעזר בזווית כדי לתאר את הנקודות בצד השלילי של ציר .

לכן נוכל לבצע את ההצבה הבאה:

book

אם השפה או הפונקציה מכילים את הביטוי , נשתמש בהצבה:

ועבורה:

לכן, נסיק כי:

נוסחה:

תרגילים:

  1. חשבו: בתחום: פתרון:
    נציב קואורדינטות כדוריות: נמצא את גבולות המשתנים: עבור הזוויות: ולכן: כאשר בסוף השתמשנו בכך ש: