CAL2_004 עקומים במרחב

עקומים במרחב

עקומה במרחב

הגדרה:

עקומה במרחב ניתנת להצגה פרמטרית בצורה הבאה:

פונקציה וקטורית

עד עכשיו עבדנו עם פונקציות סקלריות - פונקציות שמקבלות משתנים, ופולטות סקלר יחיד.

הגדרה:

פונקציה שתמונתה היא וקטור נקראת פונקציה וקטורית. בתלת מימד, :

דוגמאות:

1. הפונקציה:

עקומה רציפה

הגדרה:

הפונקציה היא רציפה בקטע אם רציפות בקטע.

עקומה גזירה

הגדרה:

נתונה הפונקציה הוקטורית . נאמר ש- גזירה/חלקה בקטע הפתוח אם ,, גזירות לכל בקטע. הנגזרת נתונה ע”י:

קיום ישר משיק

משפט:

נתונה פונקציה וקטורית , גזירה בנקודה . ונניח כי . אז קיים ל- ישר משיק:

הצגה פרמטרית של עקומים במישור/מרחב

הצגה פרמטרית של מעגל נתונה ע”י:

תרגילים:

1. מצאו הצגה פרמטרית לעקום הנתון ע”י: פתרון: נציב במשוואה השנייה: נתון ולכן נוכל לרשום:
2. מצאו הצגה פרמטרית לעקום הבא: פתרון
   נציב: נציב בחזרה: וקיבלנו כי:
3. מצאו הצגה פרמטרית לעקום הבא: פתרון
   נציב: נציב בחזרה: ולכן:

שימושים:

1. עקום הוא הגרף של הפונקציה הוקטורית: מצאו מישור העובר דרך וניצב ל-.
   פתרון:
   עבור נקבל . נורמל המישור: מכאן משוואת המישור: נציב את הנקודה , ונקבל כי ולכן:
2. הוכיחו כי העקום: נמצא במישור אחד ומצאו את משוואתו.
   פתרון:
   אפשרות 1 - נבחר 3 נקודות, מוצאים משוואת מישור, מציבים בחזרה את העקום, ומוודאים שמתקבל פסוק אמת.
   אפשרות 2:
   נבדוק האם ישר קשר לינארי בין : מצאנו כי קיים קשר לינארי בין ולכן העקום על מישור יחיד.
3. על משטח נמצאת הנקודה ושני עקומים: מצאו את משוואת המישור המשיק למשטח ב-.
   פתרון:
   נשים לב כי נמצא על עבור וגם כי נמצא על עבור .
   נמצא משיק לעקום הראשון ב- ועוד משיק לעקום השני ב-.
   נקבל: הנורמל: ולכן משוואת המישור המשיק: