CAL2_002 מישורים וישרים

מישור במרחב

מישור

הגדרה:

נתון וקטור קבוע ונקודה קבועה . מישור הוא אוסף כל הנקודות כך ש:

כלומר:

משוואה אלגברית:

משוואת מישור הנקבע ע”י שלוש נקודות

משוואת מישור הנקבע ע”י שלוש נקודות לא קוויות (לא על ישר אחד):

מתקיים:

שני וקטורים אלו בת”ל (כי נתון שהן לא קוויות). נמצא את הנורמל אליהן:

נבחר נקודה על המישור (אחת מ-). אז, משוואת המישור היא:

זוהי מכפלה מעורבת! קיבלנו:

נוסחה:

וזוהי משוואת המישור.

דוגמאות:

1. נתון:

אזי משוואת המישור היא:

מרחק נקודה ממישור

נתון מישור ונקודה שאינה מונחת על המישור (במילים אחרות, שאם נציב אותה במשוואת המישור, היא לא תקיים אותה).

נסמן ב- את את הזווית בין ל-. אזי המרחק של מהמישור נתון ע”י:

במובן אלגברי:

לסיכום קיבלנו:

נוסחה:

הערות:

1. אם הוא ראשית הצירים, כלומר , אז נקבל כי:

כלומר, מרחק המישור מראשית הצירים נקבעת ע”י .

מצבים הדדיים בין מישורים

הגדרה:

הזווית בין שני מישורים היא הזווית הכלואה בין שני הנורמלים שלהם, ו-.
מצב א’: שני המישורים מקבילים אם , תלויים ואין נקודה משותפת בינהם.
מצב ב’: שני המישורים מתלכדים אם , תלויים ויש נקודה משותפת בינהם.
מצב ג’: שני המישורים נחתכים אם , בת”ל.

מישור חוצה זווית

נחשב את משוואת המישור החוצה זווית בין שני מישורים נחתכים כלליים:

מרחק כל נקודה על המישור החוצה זווית מכל אחד מהמישורים שווה, ולכן נוכל לכתוב:

דוגמאות:

1. נתונים המישורים הבאים:

המישור החוצה זווית:

קיבלנו שני מישורים:

מרחק בין שני מישורים מקבילים

יהי שני מישורים מקבילים:

שני מישורים אלו מקבילים ולכן המקדמים פרופורציונליים. כלומר, קיים כך ש:

ולכן נוכל לכתוב מחדש את שני המישורים:

כאשר .

שני מישורים כלליים והמרחק ביניהם.

כדי לחשב את המרחק:

1. נבחר נקודה על המישור הראשון.
2. נחשב את מרחק מהמישור השני.
3. נאמץ מרחק זה בתור המרחק הקבוע בין כל נקודה על המישור הראשון לשני.

נשים לב כי על המישור הראשון, ולכן מתקיים:

נציב ב-, ונקבל:

נוסחה:

תרגילים:

1. מצאו משוואת מישור שעובר דרך: פתרון: לשם נוחות ניתן לבחור , ולכן נציב במשוואה: את הנקודה: נקבל כי ולכן משוואת המישור היא:
2. מצאו משוואת המישורים הנמצאים במרחק מהמישור: המישורים מקבילים למישור הנתון ולכן משוואתם: ניעזר בנוסחא למרחק נקודה ממישור: וקיבלנו כי משוואת המישורים היא:

ישר במרחב

ישר

הגדרה:

נתון הוקטור והתונה נקודה . אוסף הנקודות המקיים כי ו- תלויים (מקבילים), מהווה ישר במרחב. נקרא וקטור הכיוון של הישר .

הצגה פרמטרית של ישר

מתקיים . לכל נקודה ישר פרמטר מתאים כך ש:

אזי, נוכל לרשום:

ובאותו אופן:

וזוהי הצגה פרמטרית של ישר.

הצגה קנונית של ישר

כאשר אז נוכל לרשום הצגה קנונית לישר:

אם אחד מ- הוא אפס, אז נוכל לרשום (במקרה של ):

משוואת ישר העובר דרך שתי נקודות

יהיו שתי נקודות ו-. אז הוקטור הבא:

הוא וקטור הכיוון שלנו . קיבלנו:

מצבים הדדיים בין ישרים

הגדרה:

1. הישרים מקבילים אם מקבילים (תלויים) ואין נקודה משותפת בינהם.
2. הישרים מתלכדים אם תלויים ויש נקודה משותפת בינהם.
3. הישרים נחתכים אם בלתי תלויים וקיימת נקודה (יחידה) משותפת בינהם.
4. הישרים מצטלבים אם בלתי תלויים ולא קיימת נקודה משותפת בינהם.

דוגמאות:

1. קיימים הישרים הבאים:

לפי המקדמים של ניתן לראות כי בלתי תלויים לינארית ולכן הישרים מצטלבים או נחתכים. נהפוך את להצגה קנונית:

נציב את הפרמטרים של בהצגה קנונית זו:

שני ישרים אלו נחתכים. כדי לקבל את נקודת החיתוך בינהם, ניצב את ב-. לא נציב את זה ב- כי למעשה, ה- בשתי ההצגות האלגבריות של שני הישרים הוא שונה.

ישר החיתוך בין שני מישורים

נתונים שני מישורים:

כאשר הוקטורים ו- בת”ל.
אזי, כדי למצוא את ישר החיתוך בעל וקטור כיוון בין שני מישורים אילו, נשים לב כי הוא מקיים:

עלינו רק למצוא נקודה שנמצאת על ישר זה, ונוכל לעשות זאת ע”י מציאת נקודה שמשותפת לשני המישורים. מפה נוכל למצוא את משוואת הישר ע”י הגדרת הישר.

דוגמאות:

1. נתונים המישורים:

וקטור החיתוך בינהם:

הנקודה הבאה נמצאת על החיתוך: .
מכאן נוכל לייצג את הישר.

מרחק בין שני ישרים

יהי שני ישרים , כאשר הן נקודות על ישרים אלו בהתאמה, ו- הם כיוונם בהתאמה.
ניצור וקטור חדש :

ונשים לב כי הזווית בין ל- מקיימת:

וכעת נוכל לחשב את :

לסיכום קיבלנו:

נוסחה:

דוגמאות:

1. נתונים הישרים הבאים:

ולכן נוכל להסיק:

וכעת:

סמוך עליי זה נכון.

מרחק נקודה מישר נתון

נתון ישרי המאופיין ע”י , , ונתונה נקודה שאינה עליו. מחפשים את מרחק הנקודה מהישר:

גובה המקבילית שנוצרה הוא המרחק אותו אנו מחפשים, ולכן נחלק את שטח המקבילית (המכפלה הוקטורית) באורך , כדי לקבל את גובה זה:

זווית בין ישר למישור

הגדרה:

הזווית בין ישר עם כיוון ומישור עם נורמל , היא הזווית המשלימה ל- לזווית החדה בין ל- (אם ו- אינם ניצבים).

מצבים הדדיים בין ישר למישור

הגדרה:

1. ישר עם כיוון מקביל למישור עם נורמל אם ניצבים ואין נקודה משותפת בינהם.
2. ישר עם כיוון מוכל במישור עם נורמל אם ניצבים ויש נקודה משותפת בינהם.
3. ישר עם כיוון נחתך עם מישור עם נורמל , אם אינם ניצבים.
4. הישר והמישור ניצבים אם ו- מקבילים (תלויים).

תרגיל מסכם:
נתון מישור:

נתונה הנקודה שאינה על המישור. מצא נקודה שהיא סימטרית ל- ביחס למישור.

פתרון:
נשים לב כי ו- מונחות על ישר הניצב למישור הנתון, כאשר:

ולכן:

הנקודה מונחת על ישר זה, ולכן היא מקיימת את משוואת הישר:

בנוסף, לפי הנתון, מרחק ו- מהמישור זהים: , ולכן, לפי מרחק נקודה ממישור, נוכל להסיק כי:

ומפה נוכל להציב בחזרה במשוואת הישר כדי למצוא את .

תרגילים:

1. נתונות הנקודות: נתונים הישרים המכילים את ו- בהתאמה.
   • מצאו את משוואת המישור המכיל את ולא חותך את .
     פתרון:
     כיוון הוקטור : כיוון הוקטור : נמצא משוואת מישור שהנורמל שלו הוא: לשם נוחות נבחר , ולכן: המישור מכיל את לכן מכיל את : וקיבלנו כי משוואת המישור היא:
     • מצאו מרחק למישור הנ”ל.
       פתרון:
     • מצאו מרחק לישר .
       לפי נוסחא של מרחק נקודה ממישור:
       פתרון:
       לפי נוסחא של מרחק נקודה מישר:
     ולכן:
2. מצאו משוואת ישר שנמצא במישור וחותך את הישרים:
   
   
   נמצא את נקודת החיתוך של עם המישור:
   
   נמצא את נקודת החיתוך של עם המישור:
   
   ישר המחבר את שתי הנקודות הנ”ל הוא הישר המבוקש:
   
3. מצאו את הישר אשר עובר דרך הנקודה ואשר חותך את הישר:
   
   בזווית ישרה.
   פתרון:
   כיוון הישר המבוקש הוא . הישרים מאונכים ולכן:
   
   הישרים נחתכים ולכן המכפלה המעורבת מתאפסת:
   
   נציב במשוואה שקיבלנו מקודם:
   
   נבחר למשל :
   
   ולכן משוואת הישר:
   
4. האם קיים ישר הניצב למישור:
   
   ויוצר זווית עם הישר:
   
   ועובר דרך .
   פתרון:
   כיוון הישר אם ישנו: .
   הישר ניצב ל- לכן:
   
   ישר יוצר זווית עם :
   
   נקבע את גודל הוקטור ונחליט שרירותית שאורכו :
   
   וקיבלנו גם כי:
   
   אם קיים פתרון יש ישר כזה, אם לא קיים, אין.
   למערכת המשוואות נגלה לאחר מאמץ רב כי אין פתרון ולכן לא קיים ישר כזה.
5. נתונים הישרים:
   
   מצאו משוואת מישור הנמצא במרחקים שווים משני ישרים אליו ושלא חותך אותם.
   פתרון:
   נבדוק את המצב ההדדי בין שני הישרים:
   הם לא מקבילים כי הכיוונים לא פרופורציוניים.
   נבדוק אם הם נחתכים או מצטלבים ע”י מכפלה מעורבת:
   
   ולכן מצטלבים.
   הנורמל של המישור הוא מכפלה וקטורית של כיווני הישרים:
   
   לכן משוואת המישור:
   
   כדי למצוא את , ניקח נקודה מ-, למשל ונחשב את המרחק שלה מהמישור:
   
   נחבר נקודה מ- למשל ונחשב את המרחק שלה מהמישור:
   
   ולכן:
   
   ומשוואת המישור היא:
   
6. מישור נתון ע”י והישר נתון ע”י:
   
   - מצאו את ערכו של עבורו מקביל למישור.
   פתרון:
   נדרוש ש-:
   
   ולכן משוואת המישור:
   
   - לאותו ערך של כתבו משוואת ישר שהוא היטל של על המישור.
   פתרון:
   הישרים באותו כיוון, כלומר כיוון ישר ההיטל הוא . נרצה למצוא נקודה ששייכת להיטל. לשם כך, נמצא משוואת ישר שעובר דרף נקודה מ-, למשל ומאונך למישור, כלומר כיוונו ככיוון הנורמל, שהוא .
   
   נמצא את נקודת החיתוך של ישר זה עם המישור. נקודה זו, שייכת לישר ההיטל.
   
   וקיבלנו כי הנקודה היא:
   
   וכעת יש לנו את משוואת ישר ההיטל: