SLD1_006 מרכז כובד ומרכז מסה

מרכז כובד ומרכז מסה

מרכז כובד

נביט בגוף תלת מימדי בעל צורה כללית, ומסה . אם נתלה את גוף זה על תקרה, מכל נקודה כמו , הגוף יגיע לשיווי משקל תחת כוחות המתיחה בחוט, והכוח השקול של כלל כוחות הכבידה הפועלים על כל חלקיקיו של הגוף. כוח שקול זה פועל במקביל לכוח המתיחה בחוט.

נסמן את קו הפעולה של . כעת, נחזור ונסמן את קו פעולה של כאשר אנו תולים את הגוף מהנקודה . נסמן שוב כאשר אנו תולים אותו מ-. ככל שנבצע יותר מדידות נקבל יותר במדויק נקודה אחת שהיא החיתוך של כל קווי פעולה אלה, והיא נקראת מרכז הכובד של הגוף.

הגופים שאנו פוגשים ביום-יום נמצאים קרוב מאוד לכדור הארץ, ומסתם זניחה ביחס אליו. אבל ככל שהגוף יותר גדול, ורחוק יותר מכדה”א, שדה הכבידה שמופעל עליו משתנה - הוא כבר לא אחיד () לאורך כל הגוף. בצד אחד של הגוף בעל גודל וכיוון שונה מאשר בצדו השני.
כתוצאה מכך, קווי הפעולה של כוחות הכבידה כבר לא מקבילים, ואין מרכז כובד יחיד - אין משמעות למרכז כובד עבור גופים אילו. לכן נניח אנו נעבוד עם גופים שנמצאים תחת שדה כבידה אחיד שנוצר ע”י כדה”א, כך שיהיה לנו מרכז כובד יחיד.

מציאת מרכז כובד עבור גוף יחיד

כדי למצוא מבחינה מתמטית את מרכז הכובד של כל גוף, נחשב את שקול המומנטים בכל ציר (ע”י עיקרון המומנטים). המומנט של הכוח השקול בציר כלשהו שווה לסכום המומנטים (באותו ציר) של כל הכוחות האינפיטסימליים הפועלים על כל החלקיקים של הגוף.

הכוח השקול הוא סכימה של כל כוחות אינפיטסמליים אלו - . נסכום למשל את שקול המומנטים בציר . המומנט של כוח הכבידה בכל חלקיק בגוף הוא (הרי ).
נסכום את מומנטים אלו כדי לקבל . סכום זה של המומנטים חייב להיות שווה ל- - המומנט של הכוח השקול (שפועל בנקודה שאנו רוצים למצוא). קיבלנו:

באותו אופן, עבור כל שאר הצירים, נקבל:

נוסחה:

הערות:

1. נשים לב שהמונה בכל אחד מהביטויים האלו הוא סכום המומנטים, לעומת הכפל שהוא המומנט של הכוח השקול - והם כמובן שווים.

אם נציב , ו-, אז נקבל:

נוסחה:

או מבחינה וקטורית:

נוסחה:

מציאת מרכז כובד עבור גוף בעל נפח רציף

הצפיפות () של גוף היא המסה ליחידת נפח. לכן, המסה של חלקיק אינפיטסימלי בעל נפח הופכת להיות:

אם לא קבועה לאורך הגוף, אבל אפשר לקבל אותה כפונקציה של קואורדינטות הגוף, אנו חייבים לקחת בחשבון את השינוי של הצפיפות כאשר מחשבים את מרכז הכובד. בשביל פעולה זו, כבר נצטרך להשתמש באינטגרל משולש:

כאשר הוא התחום בו נמצא הגוף, ו- הוא כמובן המסה הכוללת, וגם אותו ניתן לחשב:

אם נרצה לפרק לרכיבים:

נוסחה:

מרכז כובד לעומת מרכז מסה

הנוסחאות הקודמות לא תלויות ב- (חוץ מהראשונה). נסיק מכך שהן נותנות נקודה ייחודית עבור גוף ללא קשר לשדה כבידה שהוא נמצא בו. נקודה זו נקראת מרכז המסה, ובשדה כבידה אחיד היא בדיוק אותה נקודה כמו מרכז הכובד.
זה חסר משמעות לדבר על מרכז כובד של גוף שלא נמצא תחת שדה כבידה, הרי שום כוחות כבידה לא פועלים עליו. לעומת זאת, מרכז המסה של גוף לא תלויה בשדה כבידה בו הוא נמצא, ויש לו חשיבות רבה כאשר אנו רוצים לחשב את התגובה הדינמית של גוף לכוחות לא מאוזנים. אבל זה כבר חומר של סמסטר הבא.

ניזכר בהגדרת מרכז מסה מפיזיקה:

נשים לב שאם נרחיב אותו למקרה של גוף יחיד בעל נפח רציף, נקבל:

שזוהי בדיוק אותה נוסחה שקיבלנו מקודם, כאשר הנחנו כי שדה הכבידה אחיד בגודלו וכיוונו.

מרכז מסה של גוף מורכב

כאשר גוף מסוים ניתן לפירוק למספר חלקים שמרכזי המסה שלהם טריוויאלים לחישוב, אנו נשתמש בעיקרון המומנטים.

לגוף באיור, יש מסות עם מרכזי המסה בכיוון . עיקרון המומנטים נותן לנו:

כאשר הוא מרכז המסה לפי של כל המסה. ניתן להכליל כדי לקבל:

נוסחה:

דוגמה: נפרק את הגוף הנתון לחלקים שאנו יודעים את מרכז המסה שלהם: נבנה טבלה המציגה את כל מרכזי הכובד. נשים לב שכל ה"חורים" מוצגים בסימן שלילי:

ניעזר בנוסחה שבנינו ונסיק כי: