PHY1_008 תנע קווי ומרכז מסה

תנע קווי

כפי שהוגדר בחוקי ניוטון, תנע/מומנטום הוא וקטור המוגדר כ-. יחידות התנע הם:

באופן אינטואיטיבי אפשר לחשוב על תנע כגודל המבטא עד כמה
גוף רוצה להתמיד במצבו. לדוגמה, ככל שלגוף יש יותר מסה, כך כוח נתון שיפעל עליו יגרום לתאוצה קטנה יותר, וככל שמהירות הגוף גדולה יותר, כך יקח יותר זמן לכוח נתון לעצור אותו.

נדמיין מערכת הכוללת המון גופים. על הגופים פועל כוח חיצוני, לדוגמא גרביטציה או כוח חשמלי. באופן כללי, הכוח החיצוני יכול להשפיע על כל גוף בצורה שונה. בנוסף,
הגופים יכולים להפעיל כוח אחד על השני. כוחות של הגופים אחד על השני נקראים כוחות פנימיים. דוגמה לכוחות פנימיים הם התנגשויות וכוח משיכה חשמליים בין הגופים. מכאן שהכוח הפועל על כל גוף הוא הסכום של הכוחות החיצוניים והכוחות הפנימיים.

ציטוט מגידי:

“בחיים יש אי וודאות. מי יודע מחר אני אולי אמות”

לכל אחד מהגופים יש תנע , כאשר ו- הם המסה והמהירות של הגוף ה-. מכאן שהתנע הכולל של המערכת הוא הסכום הוקטורי של התנעים של כל אחד מהגופים:

נגזור לפי הזמן ונקבל:

כאשר הוא הכוח הכולל הפועל על גוף ו- הוא הכוח הכולל הפועל על המערכת. בשיוויון השני השתמשנו בכך שבעבור גוף בעל מסה קבועה, נקבל מהחוק שני של ניוטון כי:

ציטוט מגידי:

“זה מזכיר לי אני צריך לבקר את המורה שלי למתמטיקה מהתיכון. אני צריך לבקר את הקבר שלה.”

כאשר הכנסנו את המסה הקבועה לתוך הנגזרת בשוויון השלישי. נשים לב לתוצאה חשובה:כל הכוחות הפנימיים מבטלים אחד את השני על פי חוק שלישי של ניוטון.
כלומר, לכל כוח פנימי שגוף מפעיל על גוף ,קיים הכוח השווה בגודלו והפוך בכיוונו שגוף מפעיל על גוף . נבטא תוצאה זאת באופן מתמטי:

כאשר הוא הכוח שמפעיל גוף על גוף . מכיוון שלכל קיים , הסכימה על הכוחות הפנימיים מתאפסת. מכאן שהכוח הכולל הפועל על המערכת הוא הסכום של הכוחות החיצוניים בלבד.

נסכם:

שינוי תנע של מערכת

משפט:

שינוי התנע הכולל של מערכת שווה לשקול הכוחות החיצוניים הפועלים על המערכת:

דוגמאות:

1. שני גופים נעים על משטח אופקי ללא חיכוך (ראו איור). באיזשהו רגע הגופים מתנגשים ונדבקים (כי יש בינהם דבק).
   
   בכיוון התנועה לא פועל כוח חיצוני ולכן התנע בכייון זה נשמר (גם אחרי ההתנגשות). מכאן ש:

זוהי בעיה חד-ממדית, אז נוותר על הכתיב הוקטורי.נסכם כי המהירות לאחר ההתנגשות היא:

2. נתונה קרונית בעלת מסה במנוחה. בתוך הקרונית יש גוף בעל מסה שברגע נע במהירות יחסית לקרקע. בשל החיכוך בין הגוף לקרונית, הגוף יעצר לבסוף ביחס לקרונית. נניח שאין חיכוך בין הקרונית לקרקע. מה תהיה מהירות הקרונית יחסית לקרקע לאחר שהגוף עצר יחסית אליה?
   
   נבחר את המערכת שלהו לכלול את הקרונית ואת המסה שבתוכה. מכאן שאין כוחות חיצוניים הפועלים על המערכת בכיוון תנועת הגוף, ולכן התנע בכיוון זה נשמר. נחשב את התנע ההתחלתי של המערכת. זהו התנע של הגוף ברגע . מכיוון שזוהי בעיה חד-ממדית, נשמיט את הכתיב הוקטורי.

התנע נשמר בכיוון התנועה ולכן לאחר שהגוף נעצר נקבל:

כאשר הגדרנו את המהירות הספוית מערכת העגלה והגוף כ-.

מרכז מסה

אם יש גוף בעל צורה כלשהי, אז נחלק את הגוף לאלמנטי מסה קטנים, . מרכז המסה של הגוף מוגדר כ:

הגדרה:

כאשר הוא המסה הכוללת של הגוף. במקרה של מערכת בעלת הרבה גופים, הוא וקטור המקום של כל גוף.

מהירות מרכז המסה היא:

מכאן שהתנע הכולל של המערכת היא נגזור ביטוי זה לפי הזמן ונמצא ש:

תוצאה זו נראית כמו החוק השני של ניוטון. כלומר, תאוצת מרכז המסה שווה לכוח החיצוני השקול הפועל על המערכת חלקי מסת המערכת. לא משנה מה צורת הגוף, תנועת מרכז המסה היא כמו גוף נקודתי בעל המסה הכוללת של הגוף. לדוגמה, אם נזרוק פטיש, אז הפטיש יעשה תנועה מורכבת, אך מרכז המסה ינוע לאורך פרבולה פשוטה כמו גוף נקודתי בעל המסה הכוללת של הפטיש (בכיתה, לא באמת עשינו עם פטיש):

מכאן אנו רואים שאם לא פועל כוח חיצוני כולל על המערכת, אז מהירות מרכז המסה לא משתנה.

אנרגיה קינטית ומערכת מרכז מסה

האנרגיה קינטית של מערכת ביחס למערכת ייחוס הקבועה במעבדה היא סכום האנרגיה הקינטית של כל הגופים במערכת:

המהירות ביחס למעבדה קשורה למהירות הנמדדת במערכת מרכז המסה ע”י:

כאשר היא המהירות של גוף ביחס למרכז המסה. מכאן שהאנרגיה הקינטית של המערכת ביחס למעבדה היא:

האיבר האמצעי הוא התנע הכולל של המערכת ביחס למרכז המסה. מכיוון שבהעדר כוחות חיצוניים, התנע הכולל במערכת מרכז המסה הוא איבר זה מתבטל בהיעדר כוחות חיצוניים. מכאן שהאנרגיה הקינטית של המערכת בהעדר כוחות חיצוניים היא:

נוסחה:

כאשר האיבר הראשון הוא האנרגיה הקינטית הפנימית – האנרגיה של הגופים ביחס למרכז המסה, והאיבר השני הוא האנרגיה הקינטית של מרכז המסה ביחס למערכת המעבדה.

התנגשות פלסטית והתנגשות אלסטית

נדון בהתנגשות בין שני גופים. דוגמה לכך מופיעה באיור הבא:

בהנחה שאנו יודעים את המהירות ההתחלתית של הגופים, אנו מתעניינים במהירות (גודל וכיוון) של הגופים לאחר ההתנגשות. ברור מכאן שנצטרך שתי משוואות כדי למצוא שתי מהירויות. מצאנו שאם לא מופעל כח חיצוני על מערכת של גופים, התנע הכולל של המערכת נשמר:

כאשר סימנו את המהירות אחרי ההתנגשות באות והשמטנו את הכתיב הווקטורי משום שזו בעיה חד-ממדית. במקרה זה, סימן המהירות יאמר לנו מה כיוון תנועת הגוף. סימן מינוס אומר שהגוף נע נגד כיוון הציר שבחרנו.

אנו צריכים משוואה שניה. בפיסיקה, אנו מאמינים בחוק שימור האנרגיה. שימו לב שאנו לא מאמינים בשימור אנרגיה קינטית! כפי שראינו בהרצאה הקודמת, כששני גופים נדבקים אחד לשני לאחר התנגשות, קיים חיכוך פנימי בין הגופים (לא חיכוך חיצוני) וחלק מהאנרגיה הקינטית הופכת לחום. באופן כללי, אנו מאמינים שאנרגיה לא הולכת לאיבוד, אלא הופכת מצורה אחת לשניה.

בצורה הכללית ביותר, ניתן לכתוב שהאנרגיה הקינטית לפני ההתנגשות פלוס איזשהו מספר (שמבטא את המעבר של אנרגיה קינטית לצורה אחרת של אנרגיה), שווה לאנרגיה הקינטית לאחר ההתנגשות:

אם נדע את המספר , תהיה לנו משוואה שניה ונוכל לפתור עבור שתי המהירויות של הגופים לאחר ההתנגשות.

• אם , האנרגיה הקינטית לאחר התנגשות גדולה מזו שלפי ההתנגשות. מצב זה אפשרי כאשר גוף מתפוצץ. במקרה זה, האנרגיה הכימית של הפיצוץ הפכה לאנרגיה קינטית של הגופים.
  
• במקרה המיוחד בו , האנרגיה הקינטית לפני ואחרי ההתנגשות שוות. במקרה זה, אנרגיה קינטית לא נעלמת לחום או סוג אחר של אנרגיה. מצב זה קורה בקירוב עבור כדורים מאוד קופצניים שמגיעים כמעט לאותו גובה ממנו מהם שוחררו. התנגשות זו נקראת התנגשות אלסטית.
• אם , המערכת מאבדת אנרגיה קינטית. ראינו דוגמאות לכך בשיעור הקודם בו חלק או כל האנרגיה הקינטית הופכת לחום. התנגשויות מסוג זה נקראות התנגשויות לא-אלסטיות. עבור המקרה המיוחד בו הגופים נדבקים אחד לשני, כפי שראינו בפעם שעברה, ההתנגשות נקראית התנגשות פלסטית:
• 

אם נדע את , יהיה לנו עוד תנאי על ההתנגשות (בנוסף לשימור תנע) ונוכל לפתור למהירויות של הגופים לאחר ההתנגשות. נדון כעת במקרה שיש לנו התנגשות אלסטית, כלומר האנרגיה הקינטית לפני ואחרי ההתנגשות נשמרת.

התנגשות אלסטית

בהתנגשות שבה אפשר להזניח את איבוד האנרגיה הקינטית (כלומר אין איבוד אנרגיה לחום, קול או אנרגיה פוטנציאלית כלשהי), אז האנרגיה הקינטית לפני ואחרי ההתנגשות נשמרת.

הגדרה:

התנגשות שבה האנרגיה נשמרת נקראת התנגשות אלסטית:

נדון במקרה חד-ממדי כללי שבו שני גופים נעים על משטח ללא חיכוך.

מכיוון שאין כוח חיצוני כולל הפועל על המערכת בכיוון התנועה, התנע הכולל נשמר. בנוסף, מכיוון שההתנגשות היא אלסטית, האנרגיה הקינטית הכוללת נשמרת.

כאשר סימנו את המהירות אחרי ההתנגשות באות . ע”י העברת אגפים בשתי המשוואות נקבל:

נחלק את המשוואה השניה בראשונה ונקבל:

מכאן שהמהירות היחסית בין הגופים בהתנגשות אלסטית אינה משתנה בגודלה אבל מתהפכת בסימנה.

נוסחה:

דוגמה:

נסתכל על המקרה הפרטי שבו :

במקרה זה נקבל:

נציב במשוואה עבור שימור תנע ונקבל:

כסיכום ביניים, מצאנו שעבור דוגמה זו:

נחלק למקרים:

• אם , נקבל ש- ו- . תוצאה זו אינטואיטיבית. כשגוף קל מתנגש בגוף כבד (כדור פינג פונג המתנגש בכדור באולינג), הגוף הקך קופץ אחורה והגוף הכבד כמעט ואינו משנה את מהירותו.
  
  • אם , נקבל ש- ו- . במקרה זה הכדור הכבד מתנגש בכדור הקל וממשיך כמעט באותה מהירות. הכדור הקל, לעומת זאת, נע במהירות כפולה מהגוף הכבד.
    
  • אם , נקבל ש- ו- . במקרה זה הכדור הראשון נעצר הכדור השני ממשיך לנוע באותה מהירות של הראשון. מקרה זה קורה בקירוב על שולחן הביליאד אם הכדורים מתנגשים ראש בראש.
    

התנגשות פלסטית

בהתנגשות פלסטית הגופים נדבקים אחד לשני כאשר הם מתנגשים. ראינו שבמקרה זה האנרגיה הקינטית משתנה. נראה זאת באופן פורמלי.
עבור התנגשות בין שני גופים בה התנע נשמר המהירות של הגוף המשולב לאחר ההתנגשות הוא:

האנרגיה הקינטית לפני ההתנגשות היא:

האנרגיה הקינטית לאחר ההתנגשות היא:

מכאן שהשינוי באנרגיה הקינטית בהתנגשות פלסטית היא:

מכאן שהאנרגיה הקינטית בהתנגשות פלסטית תמיד קטנה.

במציאות התנגשויות הן לרוב בין אלסטית לפלסטית. נשים לב שאם גוף מתפוצץ או מתפרק במהלך התנועה, אז בהעדר כוחות חיצוניים התנע של המערכת לפני ואחרי ההתפוצצות חייב להישמר. במקרה זה האנרגיה הקינטית לאחר הפיצוץ גדולה מהאנרגיה הקינטית לפהי ההתפוצצות. הגורם שהוביל להתפרקות (קפיץ, חומר נפץ) העביר אנרגיה מסוג אחד לאנרגיה קינטית.