CAL2_007 נגזרות מכוונות וגרדיאנט

הערות:

כל הגדרה כאן ניתן בקלות להרחיב לפונקציה ב- משתנים.

נגזרות מכוונות

בנגזרות חלקיות אנו מקבעים את אחד מהמשתנים או , ומבצעים גזירה כמו במשתנה אחד. ניזכר כי ערך הנגזרת הוא השיפוע של המשיק לגרף שנוצר כאשר אנו מקבעים את אחד ממשתנים אילו. למשל עבור קיבוע ל- אנו למעשה לוקחים את החתך של המשטח עם המישור ומבצעים לו גזירה.

אבל מה אם אנו רוצים למצוא את השיפוע של הישר המשיק למשטח לפי זווית/כיוון אחר? מה אם במקום חיתוך של המשטח עם ניקח חיתוך של המשטח עם מישור בזווית כמו ?

מבחינה גיאומטרית, זה ייראה כך עבור וכיוון והמישור (הטלה של הישר על המשטח):

מבחינה אלגברית, יותר קל לנו לנסח זאת בצורה של לקחת ישר על המישור ולהטיל אותו על המשטח:

תהי פונקציה ונקודה עליה. ניקח וקטור יחידה העובר דרך הנקודה . הישר העובר דרך הנקודה הזו:

ההטלה של ישר זה על הפונקציה היא עקומה:

נגזרת מכוונת

הגדרה:

תהי הפונקציה בתחום ונתונה ב- עם וקטור יחידה . אז הנגזרת המכוונת של בכיוון בנקודה נתונה ע”י:

בהינתן והגבול קיים.

הערות:

1. אם , אז זוהי פשוט הנגזרת החלקית . באותו אופן עבור .
2. ישנה גרסת הגדרה יותר כללית לנגזרות מכוונת במקרה שרוצים להשתמש בוקטור שהוא לא וקטור יחידה:

תרגילים:

1. נתונה הפונקציה: באלו כיוונים יש לפונקציה נגזרות מכוונות בראשית?
   פתרון: תשובה זו מוגדרת לכל ולכן קיימים נגזרות מכוונות בכל כיוון.

דיפרנציאביליות גוררת קיום נגזרות מכוונות

משפט:

אם פונקציה דיפ’ בנקודה אז ל- יש נגזרת מכוונת בכל כיוון ומתקיים:

הוכחה:
הנגזרת המכוונת בכיוון :

נגדיר עקומה חדשה, כאשר :

לפי כלל השרשרת, נוכל לכתוב כי:

לפי הגדרה נוכל גם לרשום:

מ- נסיק כי:

האינטואציה מאחורי המשפט הזה תהיה יותר ברורה לאחר שנלמד על הגרדיאנט.

גרדיאנט הפונקציה

במשתנה אחד, ערך הנגזרת בנקודה נותן את שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה זו. דרך אחרת לחשוב על שיפוע המשיק, היא אם נדמיין בן אדם על גרף הפונקציה, ונשאל באיזה כיוון יהיה הכי קשה לעלות בנקודה .

בפונקציה במשתנה אחד יש רק שני כיוונים - הכיוון השלילי של או הכיוון החיובי. אז אם השיפוע חיובי, יהיה לנו הכי קשה לטפס בכיוון החיובי של הפונקציה (הרי הפונקציה עולה). אם השיפוע שלילי, אז הפוקציה יורדת - הכי קשה לעלות בכיוון השלילי של הפונקציה.
מעבר לכיוון, השיפוע נותן לנו גם כמה קשה לעלות. ככל שהשיפוע יותר גדול, יותר קשה לטפס.

אז נסכם שהנגזרת של פונקציה במשתנה אחד נותנת לנו גודל וכיוון - כמו וקטור. אבל וקטור במימד אחד ניתן להציג כסקלר - , אז במשתנה אחד אין שום משמעות לסימון הנגזרת/שיפוע כוקטור.

בפונקציה בשני משתנים, אנחנו חייבים להתייחס לזה כוקטור:

גרדיאנט

הגדרה:

תהי פונקציה שהנגזרות חלקיות קיימות בנקודה . אזי הוקטור נקרא הגרדיאנט של בנקודה זו ונתון ע”י:

בפונקציה בשני משתנים הכוונה בגרדיאנט נשארה אותו הדבר כמו הנגזרת במשתנה אחד - קיבלנו גודל וכיוון המעידים לנו על כיוון העלייה התלולה ביותר ואת קושי העלייה.

הערות:

1. הגרדיאנט מקבל שני משתנים, ונותן בחזרה וקטור דו מימדי.

נביט בחזרה בנגזרות מכוונות, ונשים לב כי ערך הנגזרת המכוונת בכיוון נותן לנו את השיפוע של כיוון על המשטח. מה אם במקרה, כיוון זה הוא הכיוון בעל השיפוע הכי גבוה? אזי כיוון זה הוא כיוון הגרדיאנט:

ישנו קשר הדוק בין הנגזרת המכוונת לגרדיאנט. מהמשפט נסיק כי:

מכפלה סקלרית של הגרדיאנט בכיוון הוא הנגזרת המכוונת

משפט:

תהי דיפ’ בנקודה , ווקטור יחידה . אזי:

הקשר בין גרדיאנט לנגזרת מכוונת

משפט:

תהי דיפ’ בנקודה .

1. אם אז הנגזרת המכוונת לכל .
2. אם אז ערך הנגזרת המכוונת המקסימלית תהיה בכיוון הגרדיאנט:

3. אם אז ערך הנגזרת המכוונת המינימלית תהיה נגד כיוון הגרדיאנט:

דרך נוספת לראות את הקשר בין גרדיאנט ונגזרת מכוונת היא לפי האנימציה הבאה (לחצו על הכפתור בצד שמאל למטה):

נשים לב שהוקטור שמסתובב הוא לא הנגזרת המכוונת (הרי ערך הנגזרת הוא פשוט סקלר), אלא רק מציג את גודל ערך הנגזרת המכוונת.

תרגילים:

1. תהי דיפ’ ב-. בנוסף, הנגזרת המכוונת של בנקודה זו בכיוון היא . כמו כן, מתקיים: לכל . חשבו .
   פתרון:
   הפונקציה דיפ’ ולכן: מותר לנו להשתמש בכלל השרשרת: נשים לב כי , ולכן . נסיק כי: מ- נסיק כי:

קווי גובה וגרדיאנט

משפט:

תהי פונקציה בעלת נגזרות חלקיות רציפות בסביבה של . אם , אז הוא נורמל לקו גובה של ב-.

הערות:

1. כמו כל מושג כאן, ניתן להרחיב את משפט זה לפונקציה בשלושה משתנים ויותר. הגרדיאנט של פונקציה בשלושה משתנים היא נורמל למשטח רמה של הפונקציה (בנקודה מסוימת) - ולכן גם נורמל למישור המשיק בנקודה זו.

1. אתר סקי מתואר ע”י המשטח .
   גולש עומד בנקודה ורוצה לגלוש בכיוון הירידה החזקה ביותר במרחב, מהו הכיוון?
   פתרון:
   הגולש יכל להחליט על כיוון של רכיבי בלבד של כיוון הגלישה, ולכן, מכאן שרוצה בכיוון הירידה החזקה ביותר, הוא יבחר: מצאנו את כיוון הגלישה על המישור: . נמצא את כיוון הגלישה במרחב: המשטח שלנו: הנורמל של המישור המשיק (ראה קווי גובה וגרדיאנט, הערה 1): בנקודה שלנו: ברגע הגלישה, הגולש נמצא על המישור המשיק למשטח באותה נקודה.
   לכן המכפלה הסקלרית שלהן תתאפס: נקבל כי כיוון הגלישה הוא:
2. טמפרטורה נתונה ע”י הפונקציה: נמלה נמצאת על המשטח שמשוואתו נתונה ע”י: בנקודה
   לאיזה כיוון תפנה הנמלה אם ברצונה להעלות את הטמפרטורה מהר ככל האפשר כך שהיא נשארת על המשטח?
   פתרון: ולכן:
   הנורמל למישור המשיק למשטח הוא: ולכן הנורמל בנקודה הוא .
   נסמן את כיוון ההליכה ב-. וקטור זה על המישור המשיק למשטח ולכן: ניעזר בחיבור וקטורים:
   
   נסיק כי: מ- נסיק כי:
3. הטמפרטורה בחלל נתונה ע”י הנוסחא: חללית נוסעת לאורך מסלול שנוסחתו היא:
   • מהי מהירות החללית בנקודה ?
     פתרון:
     מהירות היא נגזרת של הדרך. לכן: כדי לקבל את הנקודה צריכים להציב , ולכן:
     • חשבו קצב שינוי הטמפרטורה שמודד טרמומטר של חללית זמן ב-.
       פתרון:
       נחשב את:
     מתקיים: ולכן:
     • חשבו את הנגזרת המכוונת של בכיוון המסלול בנקודה .
       פתרון:
       נחשב:
     • מצאו והסבירו את הקשר בין סעיפים 1-3.
       פתרון: