ALG1_008 הדטרמיננטה

הדטרמיננטה

דטרמיננטה

הגדרה:

עבור מטריצה מ-:

• סדר :
  תהי . אזי:
  • סדר :
    תהי . אזי:
  • סדר :
    אזי:
  המינור () הוא הדטרמיננטה המתקבלת מ-, לאחר שמחקנו בה את שורה ועמודה .
  • סדר :
    נניח שידוע פיתוח דטרמיננטה מסדר , אזי עבור :

משפט לפלס

הגדרה:

ניתן לפתח דטרמיננטה לפי כל שורה וכל עמודה.
למשל, פיתוח לפי עמודה :

דוגמאות:

1. חשבו:

תרגיל:

1. חשבו:

הדטרמיננטה המשוחלפת

משפט:

תהי . אזי .

הקשר בין פעולות על מטריצה לדטרמיננטה

משפט:

1. החלפת 2 שורות (2 עמודות) בינהן, משנה את ערך הדטרמיננטה פי .
2. הכפלת שורה (עמודה) ב-, משנה את ערך הדטרמיננטה פי .

4. הוספת כפולה במספר של שורה (עמודה) אחת לשורה (עמודה) אחרת, לא משנה את ערך הדטרמיננטה.
5. דטרמיננטה בה יש שורת (עמודת) אפסים, שווה ל-.
6. דטרמיננטה בה 2 שורות (2 עמודות) פרופורציונליות שווה ל-.
7. דטרמינטטה של מטריצה משולשת, שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי בלבד.

דוגמאות:

1. חשבו:

2. חשבו:

3. חשבו:

כיוון ש- ו- פרופורציונליות.
4. חשבו:

סקלר בדטרמיננטה

מסקנה:

תהי ו- סקלר כלשהו. אזי:

הוכחה:

פירוק דטרמיננטה

משפט:

תכונה זו נכונה לכל סדר , וגם אם הסכום מופיע בשורה אחרת או בעמודה.

דוגמאות:

1. נתון ש:

בטאו באמצעות את הדטרמיננטה הבאה:

הקשר בין מטריצה הפיכה לדטרמיננטה

משפט:

תהי . אזי מטריצה הפיכה .

הוכחה:

• כיוון ראשון:
  נניח ש- הפיכה. אזי שקולת שורות ל-. אזי היא תוצאה של מספר פעולות אלמנטריות על , שמשפיעות כך על הדטרמינטטה שלה: ולכן:
• כיוון שני:
  נניח ש- לא הפיכה. נראה ש-:
  לפי משפט, שקולת שורות למטריצה מדורגת בעלת לפחות שורת אפסים אחת, כלומר . לכן: ולכן .

כפל מטריצות בתוך דטרמיננטה ניתן לפתיחה

משפט:

נניח אזי:

מסקנות כפל מטריצות בתוך דטרמיננטה

מסקנה:

1. אזי:

2. לכל :

דוגמאות:

1. לאלו ערכי פרמטר המטריצה הבאה לא הפיכה:

נדרוש :

קיבלנו כי לא הפיכה או .
2. הוכח כי אם הפיכה, אז .

תרגילים:

1. נתון כי: . חשב:
2. הוכח ש- הפיכה אמ”ם הפיכה (כאשר ).
   מתקיים: הפיכה הפיכה.
3. נתונה כך ש-. הוכיחו כי לא הפיכה.
   מתקיים: ולכן . כלומר, לא הפיכה.
4. נתון: חשבו את:
5. חשבו את : נשים לב כי סכום כל השורות הוא אותו סכום.

דטרמיננטת ונדרמונד

משפט:

הוכחה:
נוכיח באינדוקציה:
עבור :

עבור :

נניח נכונות הטענה ל- ונוכיח אותה ל-. כלומר נניח ש:

אם נפתח את הדטרמיננטה לפי יתקבל פולינום ב-, ממעלה (לכל היותר) . כיוון ש- מתאפס כשבמקום נרשום את (כי יהיו 2 שורות זהות), אזי הם שורשיו.
לכן צורת הפולינום תהיה:

אבל הוא מקדם החזקה הגבוהה ביותר בפולינום, כלומר מקדם , אבל זהו בדיוק !
נקבל סה”כ:

הערות:

מטריצת ונדרמונג היא הפיכה אם אין לה שורות זהות, כי . לכן למטריצה זו במערכת הומוגני, יש את הפתרון הטריוויאלי.

מטריצה צמודה

הגדרה:

תהי . נגדיר את המטריצה כמטריצה מסדר , כך ש:

דוגמאות:

1. המטריצה:

אזי:

תרגיל:

1. חשבו את :

אלגוריתם: מציאת הופכי ע”י הצמדה

תהי . מתקיים הביטוי הבא:

הכללה, אם , אז:

כי כאילו פיתחנו לפי , כשבשורה הוכנסו שוב איברי .
נתבונן בביטוי הבא עבור :

מצאנו אלגוריתם למציאת הופכי של מטריצה:

---

דוגמאות:

במקרה של אזי:

ואז:

למשל, עבור

בדוגמא הקודמת, בה :

תרגיל:

1. הוכיחו כי .
   מתקיים:
   • אם אז:
     • אם אז לא הפיכה. נוכיח כי גם לא הפיכה. נניח בשלילה כי היא כן הפיכה. אזי:
     קיבלנו סתירה עם ההנחה כי הפיכה (הרי מטריצת האפס היא לא הפיכה).
     לכן לא הפיכה. כלומר:

כלל קרמר

משפט:

נתונה המערכת , כש- ריבועית והפיכה. אזי:

כש- היא הדטרמיננטה המתקבלת מ- לאחר שהוכנסה לתוכה העמודה במקום עמודה של .

דוגמאות:

1. פתור את הממ”ל ע”י קרמר (אם זה אפשרי):

אזי:

כבר חישבנו שעבור המטריצה מתקיים . אזי לפי קרמר:

הסבר לכלל קרמר:

• כש-: