CAL2_012 אינטגרלים קוויים ומשפט גרין

אינטגרל קווי סקלרי

עקומה בעלת אורך

הגדרה:

תהי עקומה:

נחלק את הקטע ל- קטעים:

נסמן את בנקודות כאשר .
הנקודות מחלקות את העקומה ל- קטעים, שאורכם נסמן ב-, כאשר:

כעת נוכל לבנות את הסכום . נסמן .
נאמר כי בעלת אורך אם הגבול הבא קיים:

הסכום שבנינו הוא הכללה של אורך קו פשוט לאורך עקומה, ובנינו משהו מאוד דומה בסכום רימן כאשר רצינו למצוא את השטח מתחת לפונקציה בקטע מסוים. אנחנו מחלקים את העקומה לקטעים (לא בהכרח שווים), וסוכמים את אורכם, כאשר הקטע הכי ארוך, , שואף לאפס.
בהמשך אנו נמשיך לפתח את סכום זה כדי לקבל את סכום רימן לשטח מתחת לפונקציה בעקומה מסוימת.

נוכל להמשיך לפתח את הגבול:

ואז נוכל לומר:

חישוב אורך עקומה

משפט:

תהי עקומה:

אם גזירה בקטע , בעלת נגזרת רציפה, ורציפה בקטע הסגור , אז בעלת אורך ומתקיים:

הערות:

1. מותר ל- להיות חלקה למקוטעין:

עקומה חלקה למקוטעין

הגדרה:

נאמר כי עקומה היא חלקה למקוטעין אם היא ניתנת לכתיבה כאיחוד של מספר סופי של עקומות חלקות (גזירות).

אינטגרל קווי סקלרי

אם באינטגרל מסוים חישבנו את השטח מתחת לפונקציה בקטע מסוים, בעזרת אינטגרל קווי, נוכל לחשב את השטח מתחת לפונקציה בעקומה מסוימת, :

הגדרה:

תהי עקומה בעלת אורך בתחום מישורי ופונקציה רציפה המוגדרת ב-. נחלק את הקטע ל- קטעים:

כאשר אורך כל אחד מהם הוא כך ש:

נבחר ונתאים לה נקודה:

ולנקודה הזו נתאים את ערך הפונקציה:

נוכל לומר כי המכפלה היא שטח המלבן ה- - ונוכל לבנות את סכום רימן:

נסמן . נאמר כי אם הגבול הבא קיים וסופי:

בלי קשר לצורת החלוקה שלנו, ובלי קשר לבחירת הנקודות , אז גבול זה נקרא אינטגרל קווי מסוג ראשון, ונסמנו:

חישוב אינטגרל קווי סקלרי

משפט:

תהי פונקציה רציפה ב- המכילה את העקומה חלקה למקוטעין :

אזי:

מגמת עקומה

הגדרה:

עקומה בעלת כיוון התקדמות במרחב נקראת עקומה בעלת מגמה/עקומה מכוונת.

נאמר כי עקומה סגורה מכוונת בכיוון החיובי/נגד כיוון השעון/מגמה חיובית, אם לאורך הליכה לאורכה, הפנים של התחום החסום ע”י עקומה זו תמיד נמצא משמאל.

המגמה לא משנה

משפט:

תהי פונקציה סקלרית, עקומה בעלת מגמה, ו- אותה עקומה עם מגמה הפוכה, אזי:

אלגוריתם: הצבות פולאריות

עבור עקומים מסוימים הנתונים כחיתוך בין שני משטחים, , , נוח לנו יותר לעבור לקואורדינטות פולאריות:

נמצא את תלות ב-, כלומר נקבל פונקציה כלשהי, נציב בחזרה בחיתוך, ונקבל את הפרמטריזציה של העקומה כתלות רק ב-.
עבור הצבה זו, ישנה נוסחה פשוטה המביאה אותנו ישירות לפתרון האינטגרל:

לסיכום:

נוסחה:

תרגילים:

1. חשבו את אורך העקום: פתרון:
2. חשבו: פתרון:
   נבצע הצבות פולאריות: נציב בעקום: ואז נוכל בעצם לבצע את ההצבה הזאת במקום: הגבולות של :
   נשים לב כי מתקיים: וכעת נוכל להשתמש בהצבות פולאריות: ומפה לרבקה לא היה כוח.
3. חשבו את אורך העקום: פתרון:
   נבצע את ההצבה: הגבול שלה: ולכן:

חישוב שטח פנים בעזרת אינטגרל קווי סקלרי

בהינתן שני משטחים הנתונים כ- ו- , ועקומה , שטח הפנים של הגוף החסום על ידם נתון ע”י:

נוסחה:

תרגילים:

1. מצאו שטח פני גליל: החסום ע”י מישור , והגליל .
   פתרון:
   
   נבצע את ההצבות: נחשב:
2. חשבו שטח פני גליל: פתרון:
   נחשב: ההצבה בשביל הפרמטריזציה של העקום: ולכן:

אינטגרל קווי וקטורי

שדה וקטורי

הגדרה:

שדה וקטורי ב- הוא התאמה של וקטור דו מימדי לכל נקודה בתחום של - שדה וקטורי הוא פונקציה וקטורית.

דוגמאות:

1. השדה הוקטורי:

אינטגרל קווי וקטורי

הגדרה:

האינטגרל הקווי הוקטורי של שדה וקטורי לאורך עקומה חלקה הוא:

בהנחה וגבול זה קיים, כאשר הוא וקטור היחידה המשיק בנקודה .

באינטגרלים סקלריים קוויים, מגמת העקומה ופרמטריזציית העקומה לא משנה. כל עוד העקומה עוברת בדיוק פעם אחת ע”י הפרמטריזציה, ערך האינטגרל הקווי לא משתנה.
באינטגרלים וקטוריים, מגמת העקומה מאוד משנה. אם אנו חושבים על האינטגרל הקווי כמבצע עבודה, אז זה הגיוני. אם אנו עולים על הר, אז כוח הכובד של כדה”א מבצע עבודה שלילית עלינו. אם אנו יורדים מההר בדיוק באותה עקומה, כוח הכובד מבצע עבודה חיובית. כלומר, הפיכת כיוון העקומה משנה את ערף העבודה משלילי לחיובי.

חישוב אינטגרל קווי וקטורי

כמו באינטגרל קווי, קל לנו יותר לחשב את האינטגרל אם נציב את הפרמטריזציה. נשים לב שוקטור היחידה לאורך העקומה נתון ע”י:

מאחר ו- , כפי שראינו באינטגרל קווי, אז:

אנו נקבל את הביטוי הבא:

משפט:

יהי שדה וקטורי רציף ב- המכיל את ההעקומה החלקה למקוטעין :

אזי:

סימון מקוצר לביטוי השמאלי:

דוגמה:

עבור השדה הוקטורי , והעקומה , נחשב את האינטגרל הקווי הוקטורי באופן הבא:
נציב את הפרמטריזציה:

וכעת נוכל לחשב:

המגמה כן משנה

כפי שהצגנו מקודם, באינטגרל קווי וקטורי, המגמה כן משנה:

משפט:

יהי שדה וקטורי, עקומה בעלת מגמה, ו- אותה עקומה עם מגמה הפוכה, אזי:

תרגילים:

1. תהי המסילה הנוצרת מחיתוך המשטחים: בנוסף, העקומה מתחילה ב- ומסתיימת ב-.
   חשבו: פתרון:
   נבצע פרמטריזציה: ע”י הצבות נמצא כי: ולכן: ופה לרבקה נמאס.
2. יהי חלק של העקום: מהנקודה לנקודה
   חשבו: פתרון:
   נבצע את ההצבה: נקבל: ולכן נוכל לרשום: מהצבת הנקודות נקבל את הגבולות: נשים לב כי: נציב באינטגרל: וכדי להגיע לזה רבקה התחילה לבלבל ת’שכל וסיכמה שעדיף להשתמש ב:

משפט גרין

עקומה סגורה

הגדרה:

עקומה סגורה היא עקומה עבורה קיימת פרמטריזציה , כך ש- , ועוברים דרך העקומה רק פעם אחת - הפרמטריזציה היא חח”ע ב-.

סירקולציה

הגדרה:

האינטגרל הקווי של שדה וקטורי לאורך עקומה סגורה נקראת הסירוקלציה של לאורך ומסומנת:

עקומה פשוטה

הגדרה:

נאמר כי עקומה פשוטה אם היא לא חותכת את עצמה. כלומר, היא פשוטה אם קיימת פרמטריזציה של , כך ש- היא חח”ע ב-, כאשר מותר ש-.

תחום פשוט קשר

הגדרה:

תחום הוא פשוט קשר אם קשיר לכל עקומה סגורה פשוטה בתוך , והעקומה ניתנת לכיווץ עד לנקודה, כאשר היא נשארת כולה בתוך . במישור - תחום הוא פשוט קשר אם הוא קשיר ואין בו חורים.

משפט גרין לתחום פשוט קשר

משפט:

יהי תחום פשוט קשר כאשר השפה שלו עקומה אחת סגורה, חלקה למקוטעין, ומכוונת בכיוון החיובי.
יהי שדה גזיר ברציפות בתחום .

הערות:

1. לרוב נסמן את התנאים על (מוגדר בתחום פשוט קשר, גזיר ברציפות…) ב-. כלומר, כאשר , אז הוא מקיים את תנאי המשפט.

הוכחה:
נניח תחילה שהתחום פשוט בשני הכיוונים, כאשר הפונקציות ו- חוסמות אותו. נקרא לשני תת-עקומות אלו .

נתחיל מאגף ימין של המשפט:

נפתח את האינטגרל הימני:

נשים לב כי ולכן:

נשים לב כי הפרמטריזציה של העקומות הן למעשה:

מאחר ואילו הן בדיוק הפונקציות שאנו כבר עובדים איתן, לא נשתמש בפרמטר , אלא ב- שאנו כבר עובדים איתו:

מחישוב אינטגרל קווי וקטורי:

נציב ב- ונקבל:

באותו אופן נקבל כי עבור האינטגרל השמאלי על (מתחילת ההוכחה):

נציב בחזרה ב-:

מה עם תחום לא פשוט?

קישור

דוגמה:

נחשב את האינטגרל הקווי:

כאשר הוא המלבן עם הקודקודים בעל מגמה נגד כיוון השעון.

פתרון:
תהי . אז:

תהי המלבן החסום ע”י העקומה . לפי משפט גרין:

אם לא היינו משתמשים במשפט גרין, היינו צריכים לבצע פרמטריזציה כל צד של המלבן, לפרק את האינטגרל הקווי לארבע אינטגרלים קווים, ולחשב כל אחד מהם בנפרד. משפט גרין הביא אותנו ישירות לפתרון.

דוגמה:

חשבו את העבודה שהתבצעה על חלקיק ע”י השדה:

כאשר החלקיק נע על המעגל בדיוק פעם אחת, נגד כיוון השעון, כאשר הוא מתיחל ומסיים בנקודה .

פתרון:
תהי עקומת המעגל, ו- התחום הסגור ע”י . העבודה על החלקיק היא:

נמצא כי עבור השדה מתקיים:

לפי משפט גרין:

חישוב שטח תחום ע”י גרין

דוגמה:

חשבו את השטח החסום ע”י האליפסה:

פתרון:
תהי העקומה המתארת את האליפסה, ויהי התחום החסום ע”י . נבצע את ההצבה:

נבחר שדה וקטורי:

אז, מתקיים:

ולכן:

למעשה, בחרנו את כך ש- יתקיים.
כעת, לפי משפט גרין, האינטגרל הקווי של על שווה לאינטגרל הכפול של על :

כלומר, אנו השתמשנו בשדה וקטורי , שמקיים , על מנת לחשב שטח תחום.

משפט:

יהי תחום החסום ע”י עקומה פשוטה וסגורה בעלת מגמה חיובית. אם , ומתקיים , אזי:

הערות:

1. ספציפית עבור השדה :

משפט גרין לתחומים קשירים

משפט גרין למעשה נכון גם עבור תחומים שהם לא פשוטי קשר. למעשה, מספיק שהם קשירים:

תהי תחום בעלת מספר סופי של “חורים” (כך של- יש מספר סופי של עקומות החוסמות אותו). נסמן את העקומה החיצונית של ב-. נחלק את לשני תחומים , כל ש- , לשני תחומים אלו אין חורים:

נבחר את העקומות החוסמות את ו- להיות בעלות מגמה חיובית - בחירה זו דורשת למעשה שלפני החילוק, העקומות החוסמות את החורים יהיו בעל מגמה שלילית.

יהי שדה וקטורי המוגדר על . לפי משפט גרין (לחחומים פשוטי קשר):

לכן, משפט גרין עובד גם על תחומים עם “חורים”.

מבחינה פרקטית, כדי להשתמש במשפט גרין על תחומים כאלו, עלינו לתחום את התחום הכללי בעקומה בעלת מגמה חיובית, וכל חור לתחום ע”י עקומה במגמה שלילית:

מתי כדאי להשתמש בגרין:

1. אם קבוע.
2. עקום מורכב ממספר עקומים.
3. אינטגרל קשה לפתרון.

תרגילים:

1. יהי המסלול שהוא שפת התחום הכלוא ע”י: ברביע הראשון בכיוון נגד מחוגי השעון. חשבו: פתרון:
   
   מתקיים , העקום סגור בכיוון חיובי.
   נשים לב כי: לכן: נציב: היעקוביאן: ומכך: וקיבלנו:
2. יהי העקום , בכיוון כנגד מחוגי השעון.
   יהי גם כנגד מחוגי השעון.
   יהי השדה: חשבו: פתרון:
   עבור , נבצע את ההצבה: נקבל: עבור , נבצע את ההצבה: נקבל אינטגרל קשה לפיתרון.
   נרצה להשתמש במשפט גרין. העקום לא סגור, נרצה לסגור ע”י עקום שלא עובר או מקיף את הראשית. נסגור ע”י בכיוון הפוך ו- כמתואר בציור:
   
   מתקיימים תנאי גרין, , עקום סגור בכיוון החיובי. נסמן ב- את העקום הכולל המצויין באיור. נשים לב שכאן, הוא בכיוון ההפוך מהסעיף הקודם, ולכן מסומן . נחשב: עבור , נבצע את הפרמטריזציה הפשוטה: ולכן: לסיכום:
3. נתון השדה: והעקום בכיוון נגד מחוגי השעון. חשבו: פתרון:
   נבצע את ההצבה: נקבל אינטגרל קשה לפתרון.
   נוסיף עקום הצורה הבאה:
   
   נרצה להשתמש בגרין, אבל . לכן נקיף את הראשית במעגל: בכיוון השעון. לכן נוכל להשתמש בגרין: עבור : עבור , נבצע את ההצבה: ולכן האינטגרל: לסיכום: