CAL2_013 שדות משמרים

שדות משמרים

שדה משמר

הגדרה:

נאמר כי שדה וקטורי הוא שדה משמר אם קיימת פונקציה סקלרית , כך ש- .

הערות:

1. ל- לפעמים קוראים גם שדה הגרדיאנט, ול- פונקציית הפוטנציאל - בהקשרי פיזיקה.

דוגמה: , שדה הגרדיאנט הוא:

וניתן לתאר אותו כך:

כמו בפונקציות קדומות, לשדה משמר יכולים להיות אינסוף פונקציות פוטנציאל עבורו, כאשר ההבדל בינהם הוא רק קבוע כלשהו:

פונקציית פוטנציאל לא בהכרח יחידה

משפט:

יהי שדה משמר על תחום פתוח וקשיר, ותהי ו- פונקציות כך ש- ו-. אזי, קיים קבוע כך ש:

תנאי הנגזרות המוצלבות לשדה משמר

משפט:

יהי שדה משמר, כך של- ו- יש נגזרות חלקיות רציפות בתחומן. אזי:

הוכחה:
מאחר ו- שדה משמר, אז קיימת פונקציה כך ש- . לכן, מהגדרת הגרדיאנט:

לפי שוויון נגזרות מעורבות, מתקיים , ולכן:

הערות:

בהמשך, נראה כי ההפך גם נכון, כאשר הוא פשוט קשר.

דוגמה:

נראה כי השדה הוקטורי הוא לא שדה משמר:
נבחר ו- . נשים לב כי מתקיים:

לכן, לא משמר.

המשפט היסודי לאינטגרל קווי

ניזכר כי מהמשפט היסודי של החדוא:

אם נחשוב על הגרדיאנט כהנגזרת, אז נוכל לומר את אותו הדבר עובד אינטגרל קווי וקטורי:

המשפט היסודי לאינטגרלים קוויים

משפט:

תהי עקומה חלקה למקוטעין, בעלת הפרמטריזציה . תהי פונקציה גזירה ברציפות על . אזי:

הוכחה:
ראשית, נשים לב כי:

לפי כלל השרשרת, מתקיים:

לכן, לפי המשפט היסודי של החדוא:

הערות:

1. נשים לב שלפונקציה רציפה במשתנה אחד חייב להיות פונקציה קדומה. לעומת זאת, לשדה וקטורי, גם אם הוא רציף, אין בהכרח פונקציית פוטנציאל.

דוגמה:

היא פונקציית הפוטנציאל של:

חשבו את האינטגרל , כאשר הוא החצי המעגל התחתון במגמה חיובית.

פתרון:
נציע את הפרמטריזציה:

נשים לב כי:

לפי המשפט היסודי לאינטגרלים קוויים:

למשפט היסודי לאינטגרלים קוויים יש שתי מסקנות חשובות:

1. אם הוא שדה משמר, ו- היא עקומה סגורה, אז הסירקולציה של לאורך היא :
2. ערך האינטגרל הקווי של שדה משמר תלוי רק בנקודות התחלה והסוף, ולא במסלול:

נדמיין שלושה מטיילים המטפסים מהמחנה שלהם לפסגת הר. מטייל 1 לוקח מסלול תלול ישירות מהמחנה לפסגה. מטייל 2 לוקח מסלול מפותל, לא כה תלול מהמחנה לפסגה. מטייל 3 מתחיל לקחת את המסלול התלול, אבל בחצי הדרך מחליט שמסלול זה קשה מדי עבורו. הוא חוזר למחנה ולוקח את הדרך הלא תלולה לפסגה.

כל שלושת המטיילים נמצאים תחת שדה הכבידה של כדור הארץ. מאחר וכוח הכבידה הוא כוח משמר, סך כל העבודה שנעשתה ע”י שדה הגרביטציה על כל שלושת המטיילים היא זהה, מאחר והם כולם התחילו וסיימו באותם נקודות.

העבודה שהתבצעה על ידי המטיילים מתחשבת גם בחיכוך ותזוזות השרירים, אז כמות האנרגיה שכל אחד מהם איבד היא לא שווה. אבל, האנרגיה שנאבדה ע”י הכבידה כן זהה לכל שלושת המטיילים.

אי תלות במסלול

הגדרה:

יהי שדה וקטורי בעלת תחום . הוא לא תלוי במסלול, אם:

לכל עקומה ו- ב- בעלי אותם נקודות התחלה וסיום.

אי תלות במסלול של שדות משמרים

הגדרה שקולה לשדה משמר:

הגדרה:

נקרא ל- שדה משמר, אם הוא רציף ולא תלוי במסלול בתחום פתוח וקשיר.

הוכחה? קישור

מבחן הנגזרות המוצלבות לשדה משמר

משפט:

אם שדה וקטורי מעל תחום פשוט קשר , אז בכל אמ”ם שדה משמר.

הערות:

1. ממה שמצאתי, אין למבחן זה באמת שם פורמלי בעברית, חוץ מ”תנאי לשדה משמר”. מבחן “הנגזרות המוצלבות” הוא פשוט שם שקל לזכור.
2. ב-, התנאי הופך להיות:

וזאת נסיק כאשר נגיע למשפט סטוקס.

נתאר את חשיבות התנאי ש- הוא תחום פשט קשר על ידי הדוגמה המפורסמת הבאה:

והעקומה הכללית במישור בעלת מגמה חיובית. נמצא כי הערכים האפשריים ל:

הם רק או , וזה תלוי באם מקיפה את הראשית או לא.

• אם לא מקיפה את הראשית:
  במקרה זה, חוסמת תחום פשוט קשר, מאחר וה”חור” היחיד בתחום של הוא בראשית הצירים. בנוסף, מתקיים: ולכן, לפי מבחן הנגזרות המוצלבות לשדה משמר, נסיק כי הוא שדה משמר. נסיק מההמשפט היסודי לאינטגרלים קוויים:
• אם מקיפה את הראשית:
  במקרה זה, לא חוסמת תחום פשוט קשר (התחום עדיין קשיר!), מאחר ויש “חור” בראשית. תהי עקומת מעגל שמרכזו בראשית, כך ש- מוכלת כולה בתוך התחום ש- חוסמת.
  ניתן ל- מגמה שלילית:
  
  יהי ה- התחום בין ו-, כאשר בעלת מגמה חיובית. לפי משפט גרין לתחומים קשירים: ולכן: מאחר ו- היא עקומה מפורשת, ניתן לה פרמטריזציה: כאשר רץ מ- עד (עם כיוון השעון). לכן: ולכן:

תרגילים:

1. נתונות הנקודות: ויהי המסלול הפתוח מ- ל-. כמו כן נתון השדה: חשבו: פתרון:
   נחשב את הנגזרות, ונשים לב: בנוסף, תחום המכיל הראשית הוא לא תחום פשוט קשר, מאחר ו- לא מוגדר בראשית. אב, ניתן להכיל את העקום בתוך תחום פשוט קשר שאינו מכיל את הראשית ולכן השדה משמר, וכך האינטגרל בלתי תלוי במסלול. נחליף את המסלול במסלול: בכיוון חיובי. לכן: שיטה נוספת היא למצוא את פונקציית הפוטנציאל: ולכן: וגם: נבצע את האינטגרל השני: נשים לב כי: כלומר, , ולכן . אזי: לכן: