CAL1_007 אינטגרל לא מסוים

האינטגרל הלא מסוים

פונקציה קדומה

הגדרה:

תהי פונקציה מוגדרת בקטע . פונקצייה גזירה בקטע נקראת פונקצייה קדומה של ב- אם לכל .

---

דוגמאות:

1. למשל, היא פונקצייה קדומה של ב- כי לכל :

פונקצייה קדומה לא בהכרח יחידה

משפט:

תהי פונקצייה קדומה של בקטע . תהי פונקצייה גזירה ב-. פונקצייה קדומה של ב- אמ”ם קיים קבוע כך שלכל :

הוכחה:

• כיוון ראשון: (כי ).
  לכן לפי הגדרה, פונקציה קדומה של ב-.
• כיוון שני:
  הפונקצייה פונקצייה קדומה של ב- ולכן לכל .
  נסתכל על .
  הפונקצייה גזירה ב- כהפרש של גזירות, ו- לכל . לפי מסקנות לגראנז’, קיים כך שלכל מתקיים , שנותן כי:

אינטגרל לא מסוים

הגדרה:

תהי פונקצייה המוגדרת בקטע . האינטגרל הלא מסוים, מסומן ע”י , הוא אוסף כל הפונקציות הקדומות של (ב-). אם פונקצייה קדומה של (ב-) אז רושמים:

מינוח: ב-, נקרא האינטגרנד.

הערות:

1. לא לכל פונקצייה יש פונקצייה קדומה. למשל:

2. האינטגרל קיים (כלומר יש פונקצייה קדומה ל-) אבל זה לא פונקצייה אלמנטרית.
3. עבור:

אינטגרלים מידיים

---

תרגיל:

1. חשבו את האינטגרל: כיוון ש: , ואכן המונה הוא נגזרת של המכנה.

אלגוריתם: השלמה לנגזרת

כאשר נרצה להשלים לביטוי שאנו יודעים את נגזרתו, נקרא לפעולה זאת השלמה לנגזרת:

(את האינטגרל של הביטוי השני נלמד בהמשך כיצד לפתור אותו).

תכונות האינטגרל הלא מסוים

פעולת האינטגרל היא לינארית

משפט:

תכונה כללית של האינטגרל הלא מסויים היא לינאריות (למעשה, אינטגרל הוא טרנספורמציה לינארית).
אם פונקציות קדומות של בהתאמה, אז . פונקצייה קדומה של , כי:

תרגילים:

1. חשבו את האינטגרל הבא:

אינטגרל של פונקציה בהרכבה על פונקציה לינארית

משפט:

אם פונקצייה קדומה של ו-, אז לפי כלל השרשרת:

תרגילים:

1. חשבו את האינטגרל הבא:

אינטגרל של שבר בו המונה הוא נגזרת של המכנה

משפט:

האינטגרל מהצורה הבאה:

הוכחה:

דוגמאות:

1. עבור:

2. עבור:

3. עבור:

שיטות שונות לפתרון אינטגרלים

אלגוריתם: אינטגרציה בחלקים

ניזכר בנגזרת מכפלה:

עבור אינטגרלים:

לפי לינאריות האינטגרל:

ולכן אם ל- יש פונקצייה קדומה, אז ל- יש פונקצייה קדומה והיא נתונה לפי הנוסחא הנ”ל.

---

דוגמאות:

1. האינטגרל:

נבחר:

נקבל:

לא תורם. אז ננסה:

ואכן:

2. חשב את האינטגרל:

נסמן:

ואז:

אלגוריתם: אינטגרצייה של פונקציה רציונלית

תזכורת: פונקציה רציונלית היא מנה של פולינומים:

כאשר פולינומים ו- אינו פולינום האפס.
כיצד נבצע אינטגרל של פולינום כזה?

1. אם מעלת גדולה או שווה למעלת אז מבצעים חלוקת פולינומים ומקבלים: ונקבל .
   לבסוף: בהמשך נניח כי .
2. כל פולינום ממעלה לפחות אפשר לרשום כמכפלה של פולינומים לינאריים (כלומר מהצורה , ) ופולינומים ריבועיים ללא שורשים ממשיים (כלומר כאשר ).
   כיצד? בעזרת פירוק לשברים חלקיים. נקבל ביטוי מהצורה הבאה: עבור המחובר הראשון - הוא אינטגרל מיידי.
   עבור המחובר השני - נראה רק עבור מקרים בהם (ממעלה ).

---

תרגיל:

1. חשבו את האינטגרל: כיצד מצאנו את מכנה זה? ביצענו השלמה לריבוע.
   מתקיים (לקוח מ-אינטגרליים מידיים): נחזור ל-:
2. חשבו את האינטגרל הבא: כאשר ב- ביצענו אינטגרל של שבר בו המונה הוא נגזרת של המכנה ו-השלמה לנגזרת.
3. חשבו את האינטגרל הבא: נחשב: לסיכום:
4. עבור: כאשר ב- ביצענו אינטגרל של פונקציה לינארית.

אלגוריתם: שיטת ההצבה

ניזכר כלל השרשרת. אנו רוצים לחשב את , כלומר נרצה למצוא פונקציה קדומה של .
נניח שמצאנו עבורה “קל” לפתור את . כלומר, אנו יכולים למצוא שהיא קדומה של .

הפונקציות פונקציות קדומות של , ולכן קיים עבורו:

אם הפיכה:

---

דוגמאות:

1. עבור:

נסמן:

נציב:

תרגילים:

1. עבור: נסמן: נציב:
2. חשב את האינטגרל: נסמן: ואז:

אלגוריתם: אינטגרל התלוי ב- ו-

עבור:

כאשר לפחות מ- הוא אי זוגי, ניתן לבצע את הפעולות הבאות: נניח אי זוגי:

נסמן:

ואז:

ומפה כבר ניתן להשתמש באלגורתמים אחרים.

---

דוגמאות:

1. עבור:

נפרק לשברים חלקיים:

נציב:

תרגילים:

1. עבור: נסמן: אזי:

אלגוריתם: אינטגרל של פולינום ריבועי מתחת לשורש

מה עושים כאשר באינטגרל מופיעים ביטויים מהצורה:

• עבור :
  נסמן: ולכן:
• עבור :
  נסמן: נשים לב כי תחום ההגדרה של מוגבל: . אבל זה תקין כיוון שגם תחום ההגדרה של הוא .
  אז: עבור אז ואז ונקבל כי: עבור אז ואז ונקבל כי:
• עבור :
  נסמן: נשים לב כי התחום הגדרה הוא ולכן גם .
  אזי:

---

דוגמאות:

1. עבור:

נסמן:

נציב: