FLD1_004 משוואות נאוויה-סטוקס

חוקי שימור דיפרנציאליים

כדי לפתח את חוקי השימור הדיפרנציאליים, בדומה מאוד לקשר בין חוק גאוס האינטגרלי לחוק גאוס הדיפרנציאלי, אנו מפעילים את משפט גאוס על חוקי השימור האינטגרליים.

חוק שימור המסה הדיפרנציאלי

נקרא גם משוואת הרצף.
למשל, עבור חוק שימור המסה האינטגרלי:

בתיאור אויילרי אנו עובדים עם נפח קבוע, כך שנוכל להכניס את הגזירה בזמן לתוך האינטגרל. בנוסף, נכתוב כעת את האינטגרלים כאן כאינטגרלים כפולים ומשולשים כדי להבהיר איך משפט גאוס עובד כאן:

לפי משפט גאוס:

האינטגרל מבוצע על אותו הנפח ובאותם משתנים, ולכן:

נשים לב ש- הוא שרירותי לחלוטין. לכן, האינטגרנד שווה לאפס בכל מקום, מה שמניב לנו את חוק שימור המסה הדיפרנציאלי:

נוסיף כעת הנחה מאוד נפוצה עבור נוזלים - שהם בלתי דחיסים. כלומר, הצפיפות שלהם קבועה לפי הזמן. בתיאור לגראנז’י (לפי נגזרת מלווה):

כדי להציב את הנחה זו בחוק שימור המסה, נוכל לפתח אותו טיפה:

קיבלנו את חוק שימור המסה הדיפרנציאלי לנוזל בלתי דחיס, שנקרא גם משוואת הרצף:

כלומר, במקרה של נוזל בלתי דחיס, דיבגרנץ שדה המהירות מתאפס.

משוואת קושי

משוואת קושי היא מד”ח וקטורית שנוסחה ע”י קושי (Cauchy) המתארת התנע בכל רצף (חומר רציף, לפי הנחת הרציפות).

נוסחה:

משוואת קושי לרצף:

כאשר הוא שדה המהירות של, הוא הזמן; הוא נגזרת מלווה של (במידות של ); הוא צפיפות בנקודה מסוימת; הוא טנזור המאמץ (ביחידות של ); הוא וקטור התאוצה הנגרם מכל הכוחות גוף (למשל כבידה) (ביחידות של ).

בקואורדינטות קרטזיות:

פיתוח:
מחוק שימור התנע האינטגרלי:

נסמן את טנזור המאמץ בצורה הבאה:

כאשר וקטור המאמץ:

לכן נוכל לרשום:

לפי משפט גאוס:

נציב בחוק שימור התנע האינטגרלי (נעבור לסימון האינטגרלים כאינטגרלים משולשים או כפולים):

אנו מניחים שהנפח בקרה שלנו קבוע עם הזמן, כך שנוכל להכניס את הגזירה לפי לתוך האינטגרל:

עבור האינטגרל המשטחי, כיוון ש- קבוע עם הזמן, מתקיים . נפעיל גם את משפט גאוס:

נציב בחזרה בשימור התנע:

כעת נוכל להכניס את כל הביטויים לאותו האינטגרל:

ה- שלנו שרירותי לחלוטין, ולכן האינטגרנד הוא אפס בכל נפח שנבחר:

נפתח את פעולת הדיברגנץ והגזירה החלקית:

כמו בשימור מסה, אנו נניח שהנוזל לא דחיס, כך ש

נציב:

בצד שמאל מופיע לנו נגזרת מלווה. נקבל את משוואת קושי:

משוואות נאוויה-סטוקס

קשרים מכוננים

קשר מכונן (constitutive relation) הוא קשר מתמטי בין המאמצים המתפתחים בחומר, לעיבור או קצב העיבור שלו. למשל, מודול יאנג, מודול הגזירה, מקדם הצמיגות וכו’.

בקורס זה אנו מתמקדים בזורמים ניוטוניים, שהם מהגדרתם גם איזוטרופיים, כך שקיים קשר לינארי בין המאמץ הפועל עליהם ונגזרות המהירות-מיקום שלהם. במקרה החד-ממדי זה קשר מהצורה:

בתלת ממד, זהו קשר מהצורה:

המקרה החד ממדי אנלוגי לקשר חוק הוק למאמץ ועיבור ממוצקים 1, בעוד המקרה התלת ממדי אנלוגי לקשר חוק הוק המוכלל ממוצקים 2, רק הפעם במקום עיבור, אנו עוסקים בקצב עיבור.

עבור נוזל ניוטוני, אנו דורשים קשרים איזוטרופיים, וגם שכאשר אין זרימה, ישנו לחץ הידרוסטטי. לא נראה את הפיתוח כאן כי אמיר הוא לא ספי. הנה הנוסחאות שנקבל (בצורה מאוד דומה לחוק הוק המוכלל):

כאשר הוא הלחץ בנקודה, הוא מקדם הצמיגות הדינמי, ו- הוא מקדם צמיגות הנפח. התכונות ו- נקראים מקדמי למה והם גדלים אימפיריים לחלוטין - ניתן למצוא את גודלם מניסויים.

אותם מקדמי למה ממוצקים?

כן. בזורמים, מקדם למה הראשון הוא ומקדם למה השני הוא . בהקשרים של מכניקת מוצקים (אלסטיות), קוראים למקדם למה הראשון מודול הגזירה (והם לא באותם המידות).

הערה:

בקורס אנו פחות נתעסק במאמצים הנורמליים . אם כן, הם יהיו פשוט הלחץ .

משוואות נאוויה-סטוקס לנוזל בלתי דחיס

משוואות נאוויה-סטוקס הם מד”חים המתארים את חוק שימור התנע עבור נוזל ניוטוני.

נוסחה:

משוואות נאוויה-סטוקס לנוזל ניטוני בלתי דחיס:

כאשר הוא שדה המהירות, הוא הזמן; הוא נגזרת מלווה (במידות של ); הוא צפיפות בנקודה מסוימת; הוא טנזור המאמץ (ביחידות של ); הוא וקטור התאוצה הנגרם מכל הכוחות גוף (למשל כבידה) (ביחידות של ); הוא מקדם הצמיגות הדינמי; הוא בעצם פעולת דיבגרנץ על הגרדיאנט, או בשם יותר נפוץ, הלפלסיאן.
בקואורדינטות קרטזיות:

לכל אחד מהרכיבים ניתן לשייך משמעות פיזיקלית מוגדרת:

פיתוח:
עבור המקרה התלת ממדי של נוזל ניוטוני, מפתחים את המשוואות ממשוואת קושי, בצורה קצת דומה לאופן בו פותחו הנוסחאות במוצקים 2 עבור חומר איזוטרופי קשיח.

כאשר נציב את הקשרים מכוננים במשוואת קושי לנוזל בלתי דחיס, נקבל (הביטויים עם מתאפסים לנו כאשר אנו מניחים שהנוזל בלתי דחיס), נקבל:

משוואות בקואורדינטות פולאריות

לפעמים נעבוד בקואורדינטות פולאריות , בהן הגזירה מתבצעת באופן שונה.
עבור חוק שימור המסה הדיפרנציאלי:

עבור משוואות נאוויה-סטוקס לנוזל בלתי דחיס:

נרמול משוואות נאוויה-סטוקס

משוואות נאוויה-סטוקס הן משוואות מאוד מסובכות, שברוב המקרים לא ניתן לפתור אותן אנליטית. בכל זאת, ניתן לנרמל את משוואות אלה כדי לקבל תמונה טיפה יותר ברורה על איך כל ביטוי במשוואה בא לידי ביטוי במקרה הספציפי אותו אנו רוצים לחקור.
אנו נשים לב שכל זורם שאנו נתקלים בו, חלק מהביטויים במשוואות מאוד זניחים ביחס לביטויים אחרים, מה שמאוד מפשט את המשוואות. בהמשך נציג את הגבול ההידרוסטטי - הגבול בו חלק ניכר מהביטויים במשוואה זניחים, ונוכל להשתמש במשוואות ההידרוסטטיקה.

משפט:

משוואות נאוויה-סטוקס המנורמלות לנוזל ניוטוני בלתי דחיס:

כאשר:

כאשר הוא מספר פראוד; הוא מספר אויילר; הוא מספר ריינולדס.

מבחינת משמעות אינטואיטיבית:

פיתוח:
נתחיל במשוואות נאוויה-סטוקס:

כדי לפשט את המשוואה, נוכל לנרמל אותה. נגדיר לכל ביטוי במשוואה ערך מנורמל שלה. אז למשל עבור :

כאשר הוא הלחץ המנורמל - גודלו והוא חסר מידות; הוא הגודל האופייני שלו (סדר הגודל שלו), כולל המידות שלו.

דוגמה:

ניתן לומר שאורך מטוס בואינג הוא בסדר גודל של עשרות מטרים. לכן, ה- עבורו (הגודל האופייני שלו) הוא

עבור אורך של נמלה:

היינו יכולים גם לבחור עבור הנמלה:

אבל זה לא כל כך משנה - אנחנו הולכים לבצע קירובים, כך שמספיק להיות מדויקים בסדר הגודל.

נבצע זאת עבור כל ביטוי במשוואות נאוויה-סטוקס (אז למשל רק בכיוון ה- נקבל):

כאשר נציב :

נחלק הכל ב- :

נהוג לתת שמות לכל אחד מהמקדמים:

נוכל כעת לרשום את משוואת נאוויה-סטוקס המנורמלת (כעת בכל הכיוונים):