PDE1_001 הקדמה ומשוואות מסדר ראשון

מבוא

בקורס הקודם עסקנו במשוואות דיפרנציאליות רגילות שכללו פונקציות עם משתנה אחד ונגזרתן:

עכשיו, נעסוק גם כן במשוואות דיפרנציאליות, אבל עם פונקציות עם יותר ממשתנה אחד.

הערה:

בקורס זה נסמן את הנגזרות החלקיות ללא הסימון . כלומר במקום:

אז:

משוואה דיפרנציאלית חלקית

הגדרה:

יהי תחום ב-. התבנית הכללית של משוואה דיפרנציאלית חלקית עבור פונקציה המוגדרת בתחום היא:

כאשר .

השאלה היסודית בדיון העיוני במשוואות דיפרנציאליות חלקיות (ואף במד”ר) היא האם השאלה “מוצגת היטב”:

בעיה מוצגת היטב

הגדרה:

בעיה תקרא מוצגת היטב אם היא עונה על המאפיינים הבאים:

1. קיום: לבעיה (משוואה עם תנאים נלווים) קיים פתרון.
2. יחידות: לא קיים יותר מפתרון אחד.
3. יציבות: הפתרון משתנה מעט כאשר המשוואה או התנאים הנלווים משתנים מעט.

נעיר כי בדרך כלל, יש קושי לפתור בעיות שאינן מוצגות היטב, ולכן כאשר נתקלים בבעיה מסוג זה, הצעד הראשון הוא לשנותה באופן מתאים כדי ל’החזירה למוטב’.

מיון משוואות חלקיות

הגדרה:

סדר המשוואה הוא דרגת הגזירה הגבוה ביותר המופיעה במשוואה. משוואה הנגזרת החלקית הגבוהה ביותר היא נגזרת מסדר תיקרא משוואה חלקית מסדר .

כך למשל המשוואה תיקרא משוואה מסדר שני, בעוד תיקרא משווה מסדר רביעי.

הגדרה:

משוואה לינארית היא משוואה בה לינארית (או צירוף לינארי) של הפונקציה הנעלמת ושל נגזרותיה.

המשוואה היא משוואה לינארית, ואלו היא משוואה לא לינארית.

תנאים נלווים

• ראה גם תנאי התחלה.

אלו תנאים עלינו להוסיף למשוואה כדי להבטיח קיום פתרון יחיד?
ברמת הדיון הכללית ביותר זו שאלה קשה מאוד. יתר על כן, אין לשאלה זו תשובה כללית, ויש לדון בשאלה בנפרד עבור מחלקות שונות של משוואות. לכן נסתפק כאן בסקירת התנאים הנלווים הנפוצים ביותר, ונסביר, תוך שימוש בדוגמאות, את משמעותם הפיסיקלית.

כאשר נתונים התנאים הנלווים עבור מד”ח מסוים, נקרא לבעיה זו בעיית קושי (Cauchy).

תנאי התחלה

במקרה של משוואה בשני משתנים , כאשר מייצג מיקום, ו- מייצג זמן:

הגדרה:

תנאי התחלה הוא תנאי הקובע עקום על משטח הפתרון, כך שהיטל על מישור אינו בהכרח ציר .

דוגמה:

משוואת החום החד-ממדית היא משוואה מהצורה:

כאשר הוא קבוע שמתאר את התפזרות החום בחומר. פתרון של משוואה זו יתאר לנו את התפלגות הטמפרטורה לאורך מוט חד-ממדי, כתלות בזמן.
תנאי התחלה מתאים למשוואה זו הוא:

כלומר, תנאי ההתחלה נותן לנו את התפלגות הטמפרטורה בזמן התחלתי (נניח ), ובעזרתו נוכל לפתור התתפלגות בזמנים מאוחרים יותר.

תנאי שפה

הגדרה:

תנאי שפה הם תנאים שמעידים על התנהגות פתרון המשוואה (או נגזרותיו) על שפת התחום בו אנו דנים.

נשוב ונתבונן במשוואת החום, אך הפעם בתחום מרחבי נתון .
מאחר ואנו במרחב, ואנו מתייחסים גם לזמן, לפתרון יהיו ארבעה משתנים:

משוואת החום במרחב נתונה כך:

אנו נניח בדרך כלל כי תחום חסום. מתברר כי על מנת לקבל פתרון יחיד, יש גם לספק תנאי התנהגות על שפת התחום (בנוסף לתנאי ההתחלה). במרבית השימושים נתקלים באחד משני סוגים של תנאים.

1. הסוג הראשון, בו מספקים את הטמפרטורה על השפה במשך התהליך, כלומר קובעים

   נקרא תנאי דיריכלה. נשתמש בתנאי זה למשל כאשר הטמפרטורה בשפה נקבעת מתוך מדידות או כאשר אנו רוצים לבדוק את התפלגות טמפרטורה בתנאי חימום (או קירור) חיצוניים שונים.

2. הסוג השני, בו מספקים את נגזרתה הנורמלית של הטמפרטורה על השפה, כלומר קובעים

   נקרא תנאי נוימן. כפי שראינו לעיל, הביטוי מתאר את שטף החום דרך השפה.

כדי להדגים עוד את המובן הפיזיקלי של תנאי השפה, נדון במשוואת הגלים עבור מיתר סופי:

כאשרר מיקום קצוות המיתר ידוע, אנו מספקים תנאי שפה מסוג דיריכלה:

מקרה שימושי אחר הוא כאשר המתיחות בקצוות המיתר ידועה. המודל המתאים במקרה זה הוא תנאי נוימן:

כך למשל, כאשר קצוות המיתר חופשיים לנוע בכיוון האנכי, נשתמש בתנאי נוימן הומוגני ():

פתרון אמיתי

על מנת שפונקציה תקיים משוואה חלקית מסדר עליה להיות גזירה ברציפות פעמים. לשם כך נגדיר את מחלקת הפונקציות כקבוצת כל הפונקציות בתחום הגזירות ברציפות ב- לפחות פעמים.

הגדרה:

נאמר שהפתרון של מד”ח הוא אמיתי אם הוא רציף, מקיים את התנאים המופיעים בבעיה (תנאי ההתחלה והשפה) וגזיר ברציפות עד סדר המד”ר.

הערה:

אם נרצה לומר כי פונקציה גזירה פעמים ברציפות מעל השדה הממשי, אנו נסמן זאת כך:

אופרטורים דיפרנציאליים

ניזכר מאלגברה לינארית את המושג אופרטור לינארי. באותו אופן, העתקות בין מחלקות פונקציות שונות מכונות אופרטורים. נסמן את פעולתו של אופרטור על פונקציה על ידי .

הגדרה:

אופרטורים המוגדרים על ידי גזירה של פונקציות לפי משתניהן השונים, המהווים העתקות בין מחלקות שונות נקראים אופרטורים דיפרנציאליים.

אופרטור המקיים

כאשר ו- הם קבועים כלשהם, ו- ו- הן פונקציות כלשהן נקרא אופרטור לינארי. כל משוואה דיפרנציאלית לינארית מגדירה באופן טבעי אופרטור לינארי: המשוואה ניתנת לכתיבה כ- , כאשר הוא אופרטור לינארי ו- היא פונקציה נתונה.

משוואה הומוגנית

הגדרה:

משוואה דיפרנציאלית לינארית מהצורה , כאשר אופרטור לינארי, נקראת משוואה הומוגנית.

למשל, נגדיר את האופרטור הלינארי:

המשוואה

היא משוואה הומוגנית, ואלו המשוואה

היא דוגמה למשוואה אי-הומוגנית.

עיקרון הסופרפוזיציה

משפט:

אוסף פתרונות של משוואה לינארית הומוגנית הוא מרחב לינארי. אם הם פתרונות של מד”ח, אז כל צירוף לינארי שלהן () הוא גם פתרון.

כמו במד”ר, אוסף פתרונות של משוואה לא הומוגנית הוא מהצורה:

משוואות מסדר ראשון

הצורה הכללית של מד”ח מסדר ראשון:

דוגמה:

מצאו פתרון של המשוואה:

פתרון:
כל פונקציה שלא תלויה ב- תהווה פתרון למשוואה זו:

זהו פתרון כללי. דוגמה לפתרון פרטי הוא למשל .

דוגמה:

פתרון:
נבצע אינטגרציה לפי , ונקבל את הפתרון הכללי:

כאשר נדרוש ש- - כלומר, פונקציה רציפה מעל .

דוגמה:

מצא פתרון של המשוואה:

המקיים את תנאי ההתחלה:

פתרון:
זהוי מד”ח מסדר 1 לינארית. נוכל פשוט לבצע אינטגרל לפי :

זהו הפתרון הכללי. נציב את התנאי ההתחלה:

נקבל פתרון יחיד:

---

תרגיל:
פתרו את המד”ח הבא:

פתרון:
ניזכר בגורם אינטגרציה ממד”ר, וניעזר באותו עיקרון. נחפש ג”א שתלוי ב-:

כאשר .

אלגוריתם: פתרון מד”ח באמצעות שיטות ממד”ר

אם במד”ח מופיעות נגזרות חלקיות רק לפי משתנה אחד, נוכל לפתור את המד”ח, כמד”ר לפי המשתנה הזה. למשתנה השני נתייחס כאל פרמטר (קבוע).
ז”א, קבוע אינטגרציה בפיתרון הסופי יהיה תלוי בו.

---

תרגיל:
נפתור את המד”ח מהתרגיל הקודם בשיטה שונה:

פתרון:
משוואה פרידה:

כאשר נשים לב שחילקנו ב-, ולמעשה הוא גם פתרון. נוכל לסכם שהפתרון הכללי:

כאשר פתרון זה גם כולל את .

תרגיל:
פתרו את המד”ח הבא:

פתרון:
נפתור כמד”ר לפי , כאשר הוא פרמטר.
פ”א:

לכן הפתרונות הן:

פתרון כללי:

ניזכר שאנחנו במד”ח:

כאשר נשים לב כי:

תרגיל:
המד”ח הבא:

1. מצא פתרון כללי.
2. מצא פתרון פרטי המקיים:

פתרון:

1. נגדיר פונקציית עזר: לכן: אז נציב במשוואה: וכעת נוכל לפתור אותה כמד”ר לפי , כאשר הוא פרמטר. ג”א: ניזכר כי זה מד”ח: וניזכר כי עדיין לא באמת פתרנו: כאשר היא פונקציה קדומה של . בנוסף:
2. נציב: והשני: נציב את ב-: נציב בחזרה בפתרון: