פנגייה

SLD2_001 טנזור המאמץ

הקדמה - הגדרות ופעולות

עיקרון הסכימה של איינשטיין

הסכם הסכימה של איינשטיין הוא פשוט דרך קצרה לרשום סכומים.
לפי הסכם זה, כאשר אינדקס (למשל ) מופיע פעמיים בביטוי כלשהו, (והוא כבר לא בשימוש בשום מקום אחר), אז הכוונה לסכימה של אותו ביטוי, כל פעם עם אינדקס אחר. אז למשל את:

אפשר לרשום בצורה הקצרה הבאה:

כאשר נשים לב שהאינדקסים העליונים הם לא חזקות, אלא אינדקסים של קואורדינטות - כלומר, הכוונה ב- היא לא בחזקת , אלא פשוט הרכיב השני של . (אל דאגה, בקורס זה לא נשתמש בסכימה עם אינדקסים למעלה, זה סתם מבלבל).

עוד דוגמה:

או למשל:

במקרה ויש לנו משתנה שמופיע פעם אחת, כמו בדוגמה הזאת (), אנו נקרא למשתנה זה משתנה חופשי, כי אנחנו לא מפרקים אותו לכל ערכיו בזמן הסכימה.

דוגמה:

הדלתא של קרונקר

הגדרה:

הדלתא של קרונקר, המסומנת ב-, מוגדרת כך:

במילים אחרות, המטריצה של דלתת קרונקר היא מטריצת היחידה:

דוגמה:

טנזור המאמץ

חתך בזווית

נביט בדג”ח הבא:

ונביט בחתך:

כפי שאנו מכירים ממכניקת מוצקים 1, ניתן לפרק את גודל הכוח למאמץ כפול שטח החתך:

אבל מה אם נבצע חתך שלא ניצב לכיוון הכוח? להלן חתך בזווית :

נשים לב כי שטח החתך משתנה, והוא קשור גיאומטרית לשטח הקודם שלנו:

מאחר ועדיין מתקיים:

נוכל להסיק כי גם מתקיים הקשר הבא:

וקטור נורמל לחתך

מאחר והמאמצים והשטחים כל כך תלויים בכיוון של החתך, יהיה לנו נוח להגדיר תמיד וקטור נורמל לחתך :

כאשר סימנו:

אם נחזור לביטוי :

וקטור הטרחה/מאמץ

הגדרה:

וקטור הטרחה/מאמץ הוא וקטור העומס המפורש שפועל בנקודה בחתך:

תחשבו פשוט המאמץ, כולל הכיוון שלו.

מאחר ווקטור ההטחרה תלוי ב-, נהוג לפעמים לסמנו כפונקציה . אם היינו בוחרים בחתך ההפוך ל-, נקבל וקטור הטרחה גם כן הפוך, ומכאן נסיק כי:

חתכים בדו מימד

נביט בגוף הכללי הבא:

ננתח מה קורה בסביבת נקודה אינפיטסימלית בתוך החומר (נחתוך בשלוש צלעות):

כאשר נשים לב כי:

ולצלע הארוכה (היתר) יש שטח חתך , שממנו נוכל לחשב את שטחי החתך של הצלעות האחרות.

נניח כי הבעיה בשיווי משקל, ולכן:

נזכיר כי וקטורי ההטרחה הם העומס המפורש בנקודה מסויימת, ולכן:

קיבלנו כי אם ידועים וקטורי ההטרחה של שני חתכים (ניצבים), ניתן לחשב את וקטורי ההטרחה בנקודה על כל חתך כתלות בשני וקטורי ההטחרה האלה.

בתלת מימד, נוכל לבצע את אותו התרגיל כדי לקבל:

נהוג גם לסמן את הפוקנציות:

כלומר, וקטור הטרחה על חתך בכיוון .
לכן נוכל במקרה התלת מימדי לרשום:

רכיבי טנזור המאמץ

נביט באיור הבא:
book

יש לנו כאן חתך תלת ממדי - בשלושה מישורים. בכל אחד מהמישורים האלה, יש וקטור הטרחה משלו, שהוא בעצמו מורכב מעוד שלושה רכיבים.

או בקיצור:

אם נציב את , נשים לב כי:

אם נפרק לרכיבי , נקבל מערכת משוואות, שנוכל לכתוב בצורה הבאה:

המטריצה שקיבלנו נקראת טנזור המאמץ ().
נשים לב כי האינדקס הראשון של () מציין את כוון הפעולה של רכיב המאמץ, והאינדקס השני () מתאר את המישור עליו פועל וקטור המאמץ.

הערה:

טנזור המאמץ מתאר לנו את כלל המאמצים רק בנקודה מסוימת. עבור כל נקודה אחרת הטנזור ייראה אחרת. עבור חומר כללי שמורכב מאינסוף נקודות, ישנם אינסוף טנזורים המתארים את העומסים בכל נקודה.

אם אנחנו רוצים לחלץ את וקטור המאמץ במישור כלשהו, נוכל פשוט לבצע את המכפלה הבאה:

הערה:

שימו לב כי המכפלה היא לא מכפלה סקלרית, אלא מכפלה של מטריצה בוקטור.

כעת נוכיח כי מטריצה זו היא למעשה מטריצה סימטרית.

סימטריית הטנזור

נתייחס כעת גם למומנטים:

נבצע כעת חתך אינפיטסימלי בצורת ריבוע:

מהדג”ח ושיווי משקל, נסיק (סכום מומנטים סביב אמצע הריבוע):

ולכן בטנזור המאמץ, מספיק לנו 6 סקלרים כדי להגדיר אותו, מאחר והוא סימטרי:

פירוק וקטור המאמץ לרכיבים

הערכים באלכסון הראשי הם המאמצים הנורמליים (), וכל השאר הם המאמצי גזירה.

אם נתון לנו וקטור מאמץ () הפועל במישור , ניתן לפרקו לרכיבו הנורמלי ורכיב הגזירה:
רכיב נורמלי:

הערה:

הביטוי האחרון הוא קיצור לפי הסכם הסכימה של איינשטיין.

רכיב גזירה:
רכיב הגזירה הוא כבר וקטור, מאחר וניתן להגדיר אותו ע”י שני רכיבי מאמץ שמאונכים אחד לשני. נחשבו כך:

הערה:

אם אנחנו בדו מימד, אז נגדיר וקטור במאונך ל- (אז ). אז רכיב הגזירה שלנו (שהוא עכשיו רק סקלר):

תרגיל
book

  1. הנורמל של כל מישור: כעת פשוט נכפיל בטנזור:
  2. נבדוק את שקול הכוחות, ונראה אם הוא מתאפס: את סכום המומנטים אין טעם לבדוק, אנו כבר יודעים שהוא אפס, מאחר והטנזור סימטרי. נוכל לבדוק את זה, אבל עצם העובדה שהטנזור סימטרי כבר עשה לנו את העבודה.
  3. נמצא: וכעת המאמץ גזירה: וגודלו:

תרגיל
book
נשים לב כי וקטור הנורמל למישור הוא :

נשים לב שזהו לא וקטור יחידה ולכן ננרמל אותו ל-. כעת נוכל לדרוש שוקטור המאמץ מתאפס:

ולכן:

תרגיל:
book
כיוון המישור שלנו הוא . אז נוכל למצוא מ- ש:

ניזכר מ-מכניקת מוצקים 1 ש:

ולכן:

וכעת נוכל למצוא את ו-:

ולכן: