שטף מגנטי
בדומה לשטף חשמלי, נוכל להגדיר שטף מגנטי.
שדה וקטורי
ה”חוצה” משטח מסוים עם נורמל .
הגדרה:
השטף של שדה מגנטי
דרך משטח מוגדר כ: והיחידות שלו:
חוק ההשראה של פאראדיי
פאראדיי גילה באופן ניסיוני שכאשר מזיזים מגנטי בקרבת תיל סגור, נוצר כא”מ במסגרת הנוצרת ע”י התיל, וכתוצאה מכך נוצר זרם חשמלי בתיל.
משפט:
הקשר בין הכא”מ לשינוי בשטף המגנטי נתון ע”י חוק ההשראה של פאראדיי:
לעובדה שמופיע סימן שלילי בצד ימין של המשוואה אנו קוראים חוק לנץ. חוק זה קובע שהכוח האלקטרומניע המושרה מתנגד לסיבת יצירתו (השינוי בשטף המגנטי). הזרם שנוצר כתוצאה ממנו מקטין את שינוי השטף שיצר את הכא”מ.
דוגמה:
נתון שדה מגנטי אחיד
הנכנס אל תוך הדף. בנוסף, ישנו תיל מוליך, ועליו מוט מוליך נע במהירות . אין חיכוך, והמהירות קבועה.
כיוון שהמוט נע ימינה, השטף המגנטי דרך הלולאה הסגורה הולך וגדל (כי השטח של הלולאה גדל). שטף זה, מהגדרת השטף המגנטי:
לפי חוק פאראדיי:
מאחר ו-
הוא פשוט האורך כפול הרוחב של הלולאה, נוכל בקלות לחשב את הנגזרת שלו: נציב בחזרה בפאראדיי:
משמעות המינוס היא שהזרם שנוצר מנסה להתנגד לשינוי בשטף. השטף הולך וגדל כי המוט מתקדם ימינה. לכן, הזרם שנוצר צריך להיות נגד כיוון השעון כי כך בתוך הלולאה ייווצר שדה מגנטי מושרה בכיוון שיוצא מהמסך, שיקטין את השטף.
גודלו של הזרם יהיה:
כאשר
הוא ההתנגדות במעגל. כעת, פועל זרם חשמלי בתוך השדה המגנטי, ולכן פועל כוח לורנץ על המוט.
בגלל כיוון הזרימה וכיוון השדה המגנטי, הכוח מנוגד לכיוון התנועה של המוט, והוא נתון ע”י:ולכן גודלו:
כלומר, כדי לשמור על מהירות קבועה
, יש להפעיל כוח חיצוני בגודל הזה בכיוון ימינה, כדי שהמוט אכן ינוע במהירות קבועה.
חוק גאוס המגנטי
בצורתו האינטגרלית, חוק גאוס החשמלי:
כלומר, שטף השדה החשמלי של משטח סגור תלוי במטען שבתוכו, כך שאם למשל המטען חיובי, אז קווי השדה יוצאים ממנו:
קווי שדה של מטען חיובי יוצאים החוצה ממנו.
לעומת זאת, עבור שדה מגנטי, אם נבנה בו מעטפת גאוסית, נקבל שכל קו שדה שנכנס, גם יוצא ממנו.
מעטפת גאוסית בצורת קוביה על שדה מגנטי. כל קו שדה שנכנס אליו, גם יוצא.
משפט:
חוק גאוס המגנטי האינטגרלי קובע כי:
חוק גאוס המגנטי הדיפרנציאלי קובע כי:
לשדה המגנטי אין מקורות (אין “מטען מגנטי”, אין מונופול מגנטי) - הקטבים תמיד באים בזוגות.
השראות
כשדברנו על חוק פאראדיי
זרם זורם בלולאה ויוצר שדה מגנטי, אבל עצם יצירת השדה המגנטי (השינוי בגודל שלו, כי אז ישתנה גם השטף שלו) יכל גם ליצור גם זרם.
לפי חוק ביו-סבר:
בכל נקודה שונה השדה המגנטי פרופורציוני לזרם. אנו גם יודעים שהשדה המגנטי מוגדר כ:
גם השטף המגנטי פרופורציוני ל-
הגדרה:
הגודל
נקרא השראה עצמית, והוא מקדם הפרופורציה בין השטף המגנטי לזרם: ההשראות עצמית נמדדת ב-Henry (
).
ההשראה העצמית תלויה בגאומטריה של הלולאה. אם הזרם
דוגמה: השראות עצמית של סילונית
נחשב את ההשראות העצמית של סילונית גלילית בעלת רדיוס
, אורך וצפיפות כריכות .
כדי למצוא את
אנחנו צריכים אז, נניח שזרם בסילונית זרם
, ממנו נמצא את , משם את השטף המגנטי , וממנו את . ראינו שבסילונית נוצר שדה מגנטי שגודלו . בנוסף, השטף של השדה המגנטי נוכל לקרב כהשטף דרך טבעות נושאות זרם, שכל אחת מהן בשטח : נציב את גדלים שאנו יודעים:
לכן, מהגדרת ההשראות:
נקבל שההשראות של סילונית נתונה ע”י:
לסליל נקרא לפעמים גם משרן.
השראות הדדית
נניח שיש לנו 2 סלילים:
- בסליל 1 יש
כריכות שזורם בהם זרם . הוא השדה שנוצר מ- . - בסליל 2 יש
כריכות שזורם בהם זרם . השדה שנוצר מ- .
נסמן ב-
שינוי בזרם באחד מהסלילים יגרום לשינוי בשטף בסליל השני, מה שיגרום, לפי פאראדיי, ליצירת כא”מ. לכן קיימת אינטראקציה הדדית בין 2 הסלילים.
הגדרה:
נגדיר השראות הדדית
של סליל 1 על סליל 2:
השראות הדדית של סליל 2 על סליל 1:
מהגדרת ההשראות ההדדית:
נוכל לגזור לפי
לפי פאראדיי:
כלומר, קיבלנו שהכא”מ המופיע בסליל 2 עקב השינוי בזרם בסליל 1 נתון ע”י:
באותו אופן:
דוגמה: שני סלילים משותפי מרכז
נמצא את ההשראות ההדדית של שני הסלילים הבאים:
לסליל פנימי רדיוס, צפיפות כריכות , זרם . לסליל החיצוני רדיוס צפיפות וזרם .
- נחשב את
:
השדה שנוצר ע”י הסליל הפנימי( ). השדה קיים רק ב- . לכן השטף של שדה זה בסליל החיצוני הוא רק דרך השטח : לכן, ההשראות של סליל 1 על 2:
- נחשב את
:
השדה המגנטי:השדה קיים ב- , אבל מה שרלוונטי לסליל הפנימי זה השדה דרכו, כלומר רק באזור : לכן ההשראות: קיבלנו ש:
מעגלי RL
בניית זרם
בדומה לקבל, גם את הסליל אנחנו יכולים לחבר במעגל חשמלי.
מעגל RL - בניית זרם
נניח שאנחנו מחברים את המתג לנקודה
מחוקי קירכהוף (כאשר הפעם,
קיבלנו מד”ר לא הומוגנית. פתרונה:
כאשר
בניית הזרם במעגל RL
כמו שראינו עבור מעגל RC, תהליכי טעינה ופריקה של קבל אינם מיידיים (בגלל הנגד), שם קבוע הזמן היה
הערך הסופי של הזרם יהיה
דעיכת זרם
בתהליך הפוך, בו נניח שכבר זורם זרם
מעגל RL - דעיכת זרם
לפי קירכהוף:
קיבלנו מד”ר הומוגנית שפתרונה:
כאשר
כלומר, נקבל כעת דעיכה בזרם:
דעיכת הזרם במעגל RL
גם כאן אנו רואים שהסליל גורם להאטת השינוי. אילולא הסליל, הזרם ב”מעגל” היה נפסק בבת אחת. אבל הסליל מתנגד לשינוי לכן דעיכת הזרם איטית יותר.
הערה:
כמובן גם שהמתחים על
ו- הולכים וקטנים עם הזמן. בנגד, כי הזרם קטן , ואילו בסליל, כי קצב השינוי קטן - .
דוגמה:
?
במעגל טעינה, כאשר
, הקבל מתנהג כמו נתק, והסליל מתנהג כמו קצר. לכן, המעגל האפקיטבי ב- :
זהו מעגל פשוט של חיבור נגדים במקביל וטור:מחוק אוהם:
אנרגיה אגורה במשרן
ראינו כי במעגל RL:
נוכל להכפיל את המשוואה ב-
בצד שמאל קיבלנו את ההספק שמושקע ע”י המקור. הביטוי
הוא ההספק שמנוצל ע”י הסליל. אבל, אם המשרן הוא אידיאלי (חסר התנגדות) הוא לא “מבזבז” את האנרגיה כמו הנגד, אלא אוגר את האנרגיה (ממש דומה לכך שקבל אוגר אנרגיה חשמלית). נרצה לחשב את האנרגיה
נבצע אינטגרציה לפי זמן:
לכן, האנרגיה האגורה בסליל זורם בו זרם
אנרגיה של שדה מגנטי
למעשה, האנרגיה הזו שקיבלנו במשרן, היא האנרגיה שאגורה בשדה המגנטי. אם נשרים בסליל זרם
עבור מקרה של סליל שאורכו
נציב בנוסחה ל-
מאחר ו-
האנרגיה ליחידת נפח היא:
נוכל להכליל למקרה הכללי:
הערה:
נשים לב שקיבלנו ביטוי דומה לאנרגיה חשמלית שאגורה בשדה חשמלי.
שדה חשמלי מושרה
העובדה שנוצר כא”מ בסליל ולכן גרם זרם, מצביעה על כך שנעשית עבודה על נושאי המטען שבתיל. מהו מקור של העבודה הזו?
לא מדובר בסוללה (כי לא מחוברת סוללה לתיל) ולא בשדה המגנטי (שדה מגנטי לא מבצע עבודה על גופים טעונים נעים -
המקור לעבודה הזו הוא שדה חשמלי מושרה
לפי חוק פאראדיי:
יש הבדל משמעותי בין שדה חשמלי מושרה ע”י שדה מגנטי משתנה לבין שדה חשמלי שנוצר ע”י התפלגות מטען כלשהי.
שדה חשמלי שנוצר ע”י התפלגות מטען סטטית הוא שדה משמר, העבודה שנעשית על לולאה סגורה היא
לולאה סגורה בשדה חשמלי אלקטרוסטטי
לעומת זאת, שדה חשמלי מושרה מבצע עבודה שאינה
השדה החשמלי המושרה קיים גם אין תיל. למשל, בהינתן שדה מגנטי
משוואות מקסוול
חוק אמפר המתוקן
מקסוול טען שיש סימטריה בין השדה החשמלי
את הטענה הראשונה אכן ניתן לראות בחוק פאראדיי:
אבל, חוק אמפר סותר את הטענה השנייה:
חסר איבר בחוק אמפר המקנה את התלות של
לאחר ניסויים של חוקרים רבים ומקסוול בעצמו, הוא הציע תיקון לחוק אמפר:
משפט:
חוק אמפר המתוקן קובע כי:
כאשר
הוא השדה המגנטי; הוא וקטור אורך בגודל אינפיניטסימלי בכיוון המשיק ללולאה הסגורה; הוא הפרמיביליות המגנטית של ריק; הוא הזרם העובר בתוך העקומה הסגורה; הוא הפרמיביליות החשמלית של ריק; הוא השטף המגנטי דרך הלולאה הסגורה.
ארבעת משוואות מקסוול
מקסוול איחד את התוצאות של חוקרים רבים ותוצאות שהיו ידועות לפני כן למערכת של משוואות שמהווה את הבסיס לחשמל ומגנטיות. בניסוח המקורי היו יותר משוואות, אך בהמשך צומצם מספר המשוואות ל-4.
משפט: