PHY2_005 מגנטיות

כוח מגנטי

לכל מגנט יש שני קטבים - קוטב צפוני וקוטב דרומי.

מחטי מצפן פונים בכיוון של השדה המגנטי הקרוב - אל הקוטב הדרומי של המגנט, והרחק מקוטבו הצפוני.

קטבים שווי סימן דוחים זה את זה, קטבים שוני סימן מושכים זה את זה. ניקח גוש חומר ממוגנט ונחתוך אותו לחתיכות קטנות, לכל חתיכה כזו יהיו גם כן שני קטבים. לא נצליח ליצור מגנט עם קוטב יחיד (בשונה ממטענים חשמליים), כלומר, אין מונופולים מגנטיים.

כרגע נתעניין בהשפעה של שדה מגנטי על מטענים (שנמדד ביחידות טסלה ). ניסויים מראים כי אם נכניס מטען עם מהירות לאזור בו שורר שדה מגנטי אחיד , הוא יבצע את התנועה הבאה:

מסלול של חלקיק עם מטען חשמלי חיובי או שלילי , תחת השפעה של שדה מגנטי , הפונה החוצה מהמסך.

הגדרה:

הכוח המגנטי הפועל על חלקיק טעון שנע במהירות מוגדר כ:

דוגמה: תנועת חלקיק טעון בשדה מגנטי אחיד

חלקיק שמסתו ומטענו היה בראשית ברגע , ומהירותו הייתה . השדה המגנטי .

הכוח המגנטי שפועל על החלקיק נתון ע”י:

כיוון שהוא נציב למהירותו, נקבל תנועה מעגלית:

כיוון שהתאוצה היא לכיוון מרכז המעגל בכל רגע נתון, ומאונכת לכיוון התנועה:

קיבלנו תנועה במהירות שגודלה קבוע - תנועה מחזורית:

כוח לורנץ

הגדרה:

כוח לורנץ הוא סכום הכוחות החשמליים והמגנטיים הפועלים על חלקיק טעון:

כאשר הוא כוח לורנץ; הוא מטען החלקיק; הוא השדה החשמלי; הוא מהירות החלקיק; ו- הוא השדה המגנטי

דוגמה:

בין לוחות קבל שורר שדה חשמלי ושדה מגנטי אחיד . נשלחת אלומה של חלקיקים טעונים במטען ומסתם , והתגלה כי הם נעים בקו ישר בכיוון . כוח המשיכה של כדה”א זניח.

1. מהו כיוון השדה המגנטי ?
2. מהי מהירות החלקיקים?

פתרון:
כדי שהחלקיקים ינועו בקו ישר, למרות שפועל עליהם כוח חשמלי ,צריך לפעול עליהם כוח נוסף המנוגד בכיוונו ושווה בגודלו ל-.
נשים לב כי:

נסיק כי השדה המגנטי יהיה חייב לפעול בכיוון ההפוך הניצב ל-, לפי כלל יד ימין - , כי אז:

נציב נתונים:

כוח מגנטי הפועל על זרם

נסתכל על תיל נושא זרם הנמצא בתוך שדה מגנטי :

תיל נושא זרם בתוך שדה מגנטי

מהגדרת הזרם החשמלי:

בנוסף, עבור מטען שעובר את כל אורך התיל :

במקרה הנתון, הזווית בין הזרם לשדה המגנטי היא . לכן:

כאשר פועל לתוך המסך.
עבור זווית כללית נקבל:

כאשר וקטור שאורכו כאורך התיל וכיוונו ככיוון הזרם.
עבור מקרה כללי, בו התיל לא בהכרח ישר:

דוגמה:

תיל שכופף לצורה הבאה נושא זרם ונמצא בתוך שדה מגנטי אחיד וקבוע .

מהו הכוח הפועל על התיל?
נסכום את כל הכוחות שפועלים על כל חלק בתיל. עבור החלקים הישרים, קל לראות כי על כל אחד מהם פועל כוח . עבור החלק העגול כבר נצטרך לבצע אינטגרל:

כאשר בחיבור הוקטורי, רכיבי מתקזזים בגלל הסימטריה, כך שנחשב את התרומה בכיוון בלבד.
נקבל:

דוגמה:

נתון תיל שנקודת ההתחלה שלו ב- והקצה השני ב- .
בתיל זורם זרם מ- ל-. במרחב שדה מגנטי קבוע . נוכיח שהכוח על התיל שווה לכוח שהיה פועל על תיל ישר הנושא זרם מ- ל-.

נסמן:

אילו התיל היה ישר, הכוח הפועל עליו היה:

הכוח על התיל העקום:

הערה:

ניתן להראות שעבור תיל שסוגר מסלול סגור, הכוח השקול שווה ל- (עבור שדה מגנטי קבוע).

שדות הנוצרים ע”י זרמים

כתוצאה מניסויים רבים גילו שזרמים חשמליים - כלומר, תנועה של מטענים - יוצרים שדות מגנטיים. אז למשל, סביב תיל מוליך נושא זרם, נוצר שדה מגנטי, בכיוון שנקבע ע”פ כלל יד ימין.

שדה מגנטי הנוצר כתוצאה מזרם של מטענים (חיוביים).

כדי לחשב את השדה המגנטי בנקודה מסוימת נוכל להשתמש בשני כלים:

1. חוק ביו-סבר (Biot-Savart)
2. חוק אמפר

חוק ביו-סבר

משפט:

חוק ביו-סבר הוא חוק שמתאר את השדה המגנטי שנוצר כתוצאה מזרימה חשמלית קבועה.

התרומה דיפרנציאלית של זרם במקטע איניפיניטסימלי :

כאשר הוא הנקודה בה נרצה לחשב את השדה; הוא הנקודה בה נמצא המקור לשדה - קטע נושא זרם; הפרמביליות המגנטית של ריק.

דוגמה: שדה מגנטי לאורך ציר טבעת זרם

נתונה טבעת זרם בעלת רדיוס הנושאת זרם .

נחשב את השדה המגנטי בנקודה בגובה ממרכז הטבעת, על ציר הטבעת.
מסימטריה, הרכיבים האופקיים מתאפסים. נזהה את חלקי הביטוי מחוק ביו-סבר:

הנקודה בה אנו רוצים לחשב את השדה היא . הנקודה בה נמצא המקור היא . לכן:

המקטע האיניפיניטסימלי הוא (קשת מעגל). לכן:

נציב בביטוי לשדה המגנטי:

כאשר הרכיבים בכיוון הרדיאלי מתאפסים.
קיבלנו:

דוגמה: שדה מגנטי הנוצר ע"י קטע מוליך ישר סופי

נתון תיל ישר באורך הנושא זרם .

נרצה למצוא את השדה המגנטי בנקודה , המוגדר ע”י הזוויות .

נסתכל על תרומה של אלמנט קטן , המוגדר ע”י זווית יחסית ל-:

נשים לב שכיוון המכפלה הוקטורית היא לתוך המסך. נעבור כעת רק לחישוב הגודל:

מגאומטריה:

נציב בביטוי לגודל :

נסכום כדי למצוא את :

ולכן:

מקרים מעניינים:

1. הנקודה בדיוק מול מרכז המוליך - :

ואז:

2. התיל ארוך מאוד (אינסופי) - :

3. הנקודה נמצאת בדיוק מול הנקודה , והקצה השני של התיל ב- - .
   נקבל:

דוגמה: שדה מגנטי בתוך סליל

נתון סליל נושא זרם עם צפיפות כריכות ( כריכות ליחידת אורך). סך הכריכות הוא (, כאשר הוא אורך הסליל).

אם הכריכות צפופות מספיק, ניתן להתייחס לסליל כזה כאוסף של טבעות זרם, כולן אחת מעל לשנייה, וכולן ברדיוס .

נחשב את השדה המגנטי בנקודה על ציר הסימטריה, המתוארת ע”י הזוויות ו-.

בתוך הסליל כל הטבעות תורמות שדה מגנטי באותו כיוון (בציור, כלפי מעלה, לפי כלל ימין).
מצאנו שהשדה המגנטי על ציר הסימטריה של טבעת:

נסתכל על תרומה של פרוסה טבעתית בעובי הנמצאת במרחק מהנקודה שמעניינת אותנו. נשים לב כי . לכן:

נשים לב גם כי:

לכן:

נסכום:

נקבל:

עבור סליל ארוך מאוד, () נקבל:

הערה:

בעולם אידיאלי, עבור סליל ארוך מאוד, ניתן להתייחס לשדה בתוך הסליל כשדה מגנטי אחיד , ומחוץ לסליל אינסופי כזה נקבל שהשדה המגנטי מתאפס.

חוק אמפר

חוק אמפר הוא המקבילה המגנטית של חוק גאוס.

משפט:

חוק אמפר קובע כי:

כאשר הוא השדה המגנטי; הוא וקטור בגודל איניפיניטסימלי בכיוון המשיק לעקומה; הוא הפרמיביליות המגנטית של ריק; הוא הזרם העובר בתוך העקומה הסגורה.

דוגמה: תיל אינסופי

נתון תיל אינסופי הנושא זרם .

משיקולי סימטריה, נבחר מסלול מעגלי שהשדה המגנטי לאורכו קבוע בגודלו. ניקח מסלול מעגלי, השדה המגנטי לאורכו משיק למסלול בכל נקודה. נחשב את צד שמאל של חוק אמפר:

לכן, לפי חוק אמפר:

שזהו בדיוק הביטוי שקיבלנו תוך שימוש בחוק ביו-סבר.

הערות:

1. כמו בחוק גאוס - חוק אמפר שימושי לחישוב שדה מגנטי כאשר לבעיה יש סימטריה כלשהי.
2. למציאת כיוונו של - נשתמש בכלל יד ימין.

דוגמה: 2 תילים נושאים זרם

נתונים שני תילים ארוכים מאוד ומקבילים. בכל תיל זורם זרם ו- בהתאמה. המרחק בין התילים הוא . נחשב את הכוח שפועל על כל תיל.

זרם יוצר שדה מגנטי אל תוך הדף, באזור של זרם :

לפי כוח לורנץ, הכוח שזרם מפעיל על זרם הוא:

לכן, הכוח ליחידת אורך:

לפי החוק שלישי של ניוטון:

נשים לב שאם שני התילים נושאים זרם באותו כיוון, התילים מושכים זה את זה. אם התילים נושאים זרמים בכיוונים מנוגדים, הם דוחים זה את זה.

דוגמה: שדה מגנטי של מוליך גלילי אינסופי

נתון גליל ברדיוס שנושא זרם אחיד . צפיפות הזרם על פני שטח חתך הגליל. נחשב ביטוי לשדה המגנטי כתלות ב-.

בגלל הסימטריה של הבעיה, נניח שדה מגנטי משיקי ב:

• בתוך הגליל : מצפיפות הזרם: ולכן:
  • מחוץ לגליל :
  מחוץ לגליל, מתקיים , ולכן:

דוגמה: שדה מגנטי הנוצר ע"י טבלה אינסופית

בטבלה אינסופית בעובי זורם זרם בצפיפות אחידה , אל תוך המסך. נחשב את השדה המגנטי במרחב.

מסימטריה, כיוון השדה הוא עבור , ו- עבור .

• בתוך הטבלה:
  נבנה לולאת אמפר בצורת מלבן, אורך , רוחב . נשים לב כי: כאשר שמנו לב שהצלעות בכיוון לא תורמות (השדה המגנטי מאונך לכיוון ).
  לפי חוק אמפר: ולכן:
  • מחוץ לטבלה:
    נבנה לולאת אמפר בצורת מלבן, אורך , רוחב . נשים לב כי:
  לפי חוק אמפר: כאשר כיוונו מעל ציר ה- חיובי, מתחת לציר ה- שלילי.
  

דוגמה: גליל אינסופי מסתובב

גליל אינסופי בעל רדיוס טעון בצפיפות מטען קבועה. הגליל מסתובב סביב צירו במהירות זוויתית קבועה. חשבו את השדה המגנטי בתוך הגליל.

הזרם מסתובב סביב ציר הגליל. המערכת היא כמו אוסף סלילים בסליל אינסופי השדה מחוץ לסליל הוא אפס, ובתוך הסליל בכיוון ציר הסימטריה (בהתאם לכלל יד ימין). נבחר לולאת אמפר מלבנית:

מבין 4 צלעות המלבן, רק הצלע האנכית הפנימית תורמת לאינטגרל (בחוץ השדה אפס, בצלעות אופקיות המסלול מאונך לכיוון השדה ). לכן:

נחשב את - צריך לעשות אינטגרל על השטח הכלוא בתוך המלבן, בחלק שנמצא בתוך הגליל.

כאשר הוא צפיפות הזרם. נשים לב שלמעשה , ובתנועה מעגלית, מתקיים , כך ש- . נציב:

לפי חוק אמפר: