PHY2_003 אלקטרוסטטיקה - מוליכים, אנרגיה אלקטרוסטטית, קבלים

מוליכים

מוליכים הם חומרים המאפשרים מעבר של זרם חשמלי דרכם. נהוג לסווג את החומרים מבחינת המוליכות החשמלית שלהן:

• מוליכי על - superconductors
• מוליכים - conductors
• מוליכים למחצה - semiconductors
• מבודדים - insulators

בשלב זה בקורס אנו נניח את שמבודדים ומוליכים הם אידיאלים, כלומר:

• מבודד מתנגד למעבר זרם דרכו ולא מאפשר אותו.
• מוליך לא מתנגד למעבר זרם דרכו.

נניח שאנחנו לוקחים ממוליך ניטרלי ומניחים אותו באזור שבו יש שדה חשמלי אחיד (שנובע ממטענים אחרים - למשל התפלגות של לוחות אינסופיים):

השפעת שדה חשמלי על מוליך נייטרלי.

המטענים החשמליים ינועו בגלל השדה החשמלי החיצוני כי פועל עליהם כוח . מטענים חיוביים ינועו בכיוון השדה, מטענים שליליים נגד כיוון השדה. נקבל הפרדה של מטען. הפרדת המטען יוצרת שדה חשמלי בכיוון מנוגד לשדה החיצוני.

השדה השקול במוליך:

כל עוד השדה השקול בתוך המוליך שונה מ-, התפלגות המטען על שפות המוליך תמשיך לגדול (ולכן גדל). כאשר נגיע למצב שיווי משקל, אין יותר תנועה של מטענים בכיוון מועדף:

לכן, השדה בתוך המוליך יתאפס:

השדה החשמלי בתוך מוליך בשיווי משקל מתאפס.

כיוון שהשדה החשמלי בתוווך מוליך הוא אפס, הפוטנציאל חשמלי בתוך המוליך ועל שפתו קבוע:

כלומר, כל המוליך הוא נפח שווה פוטנציאל, והשפה היא משטח שווה פוטנציאל. לכן, השדה החשמלי מחוץ למוליך (בצמוד אליו) מאונך לפני המוליך - קווי שדה ניצבים למשטחים שווי פוטנציאל.

הערות:

1. המטען בנפח המוליך שווה ל-, כל המטען העודף (אם ישנו) מתפרס על השפה של המוליך.
2. צפיפות המטען המשטחית לא חייבת להיות אחידה, היא תלויה בגאומטריה של הגוף המוליך.

דוגמה:

כדור מוליך ברדיוס טעון במטען כולל . מהי צפיפות המטען הנפחית בתוך הכדור, ומהי צפיפות המטען המשטחים על פני הכדור?
בתוך הכדור (בנפח):
לפי חוק גאוס (האינטגרלי) - ניקח מעטפת גאוסית ברדיוס . אנחנו יודעים שהשדה בתוך המוליך שווה ל- ולכן:

ולכן צפיפות המטען בתוך הכדור היא . נסיק שכל המטען מפורס על השפה של הכדור:

גודל השדה החשמלי במרחק מפני מוליך, באזור בו צפיפות המטען המשטחית על המוליך היא , שווה ל- על סמך משפט הקפיצה.

דוגמה:

קליפה מוליכה עבה בעלת רדיוס פנימי ורדיוס חיצוני נייטרלית. במרכז החלל בתוך הקליפה מוצב מטען נקודתי .

1. מהו המטען על השפה הפנימית ועל השפה החיצונית של הקליפה?
2. מהו השדה החשמלי במרחב?

פתרון:

1. השדה בתוך מוליך הוא אפסי:

נבנה מעטפת גאוסית כדורית עם רדיוס :

נפרק את המטען בתוך המעטפת הגאוסית למטען על השפה , ולמטען הנתון:

קיבלנו כי :

נתון גם שהקליפה העבה ניטרלית, ולכן:

2. מבחינת השדה החשמלי, נקבל שישנה קפיצה ב- ו- :

חיבור בין מוליכים והארקה

נניח שיש לנו שני מוליכים: מוליך 1 טעון ב- ומוליך 2 טעון ב-. אם נחבר את שני המוליכים באמצעות חוט מוליך דק (כאשר נזניח את המטענים שעל החוט) המטענים במערכת יסתדרו כך שהמערכת תהיה כולה שוות פוטנציאל (כמו חוק הכלים השלובים עבור נוזלים):

כמו כן, המטען נשמר, כלומר:

הגדרה:

הארקה הוא חיבור של מוליך לכדור הארץ.

סימון מקובל:

כדור הארץ הרבה יותר גדול מהגוף המוארק, ולכן הוא יכל לספוג/למסור מטענים מבלי “לחוש” בשינוי.
נבחר את פוטנציאל כדור הארץ להיות :

ולכן משמעות ההארקה היא שהפוטנציאל של המוליך המוארק הוא :

דוגמה:

נתונות שתי קליפות כדוריות מוליכות, בעלות מרכז משותף. רדיוסי הקליפות ו-, והן טעונות ב- וב- בהתאמה. מאריקים את הקליפה הפנימית.

1. מהו המטען על הקליפות אחרי ההארקה?
2. מהו הפוטנציאל במרחק אחרי ההארקה?

פתרון:

1. המטען על הקליפה החיצונית לא השתנה. נמצא את המטען על הקליפה הפנימית. מההארקה:

לכן, מפוטנציאל חשמלי של קליפה כדורית:

2. הפוטנציאל במרחב:

אנרגיה פוטנציאלית חשמלית

נגדיר אנרגיה פוטנציאלית חשמלית בצורה דומה מאוד לאיך שהגדרנו אנרגיה פוטנציאלית כבידתית. כלומר, נגדיר נקודה או מצב מסוים כ- , ונחשב את העבודה שהכוח האלקטרוסטטי מבצע אם המטען שלנו זז ממיקומו ההתחלתי.

אנו יכולים לעשות זאת כי הכוח האלקטרוסטטי הוא כוח מרכזי (הוא תלוי רק בגודל המרחק), ולכן משמר - לפיכך נוכל להגדיר אנרגיה פוטנציאלית, ובאופן דומה לאנרגיה פוטנציאלית כבידתית, נקבל כי .

כדוגמה כללית, נתחיל בשני מטענים חיוביים במרחק אינסופי אחד מן השני, ולאט לאט נקרב אותם אחד לשני - כלומר, נקטין את :

שני מטענים ו- במרחק אחד מהשני.

נקבע את נקודת הייחוס שלנו באינסוף, ונחשב את האנרגיה הפוטנציאלית הדרושה כדי לקרב את שני המטענים למרחק אחד מהשני:

לכן, האנרגיה הפוטנציאלית האגורה במערכת של שני מטענים (לא משנה באיזה סימן, פשוט נדאג להציב את הסימן הנכון ב-) נתונה ע”י:

אם מדובר במערכת של מטענים, נוכל להשתמש בעיקרון הסופרפוזיציה:

כאשר ה- הוא כדי לבטל את הסכימה הכפולה שאנחנו עושים, למשל פעם עם ו- , ופעם עם ו- . בנוסף, מופיע בסכימה הפנימית כי מטען בפני עצמו לא יוצר פוטנציאל חשמלי.

דוגמה:

בהינתן 3 מטענים בפינות ריבוע בעל צלע . כמה עבודה צריך להשקיע כדי להביא מטען מהאינסוף ולהציבו בפינה הריקה?
שלושת המטענים נתונים ע”י:

פתרון:
העבודה שיש להשקיע כדי להביא רק את המטען הרביעי:

לאחר טיפה אלגברה:

אנרגיה פוטנציאלית של גוף רציף

נביט בביטוי הסופרפוזיציה:

נוכל להוציא את מהסכימה הפנימית:

נשים לב שהביטוי של הסכימה הפנימית הוא בעצם - הפוטנציאל שיוצרים המטענים האחרים בנקודה של המטען :

לכן, עבור גוף רציף:

דוגמה: כדור מלא

מהי האנרגיה החשמלית האגורה במערכת של כדור מלא ברדיוס הטעון בצפיפות מטען נפחית אחידה, ?

פתרון:
בעבר ראינו:

לכן:

עבור המקרה הפנימי, נצטרך להתאמץ יותר:

נחלק את הכדור לקליפות כדוריות דקות בעובי :

כעת, לפי אנרגיה פוטנציאלית לגוף רציף:

נשים לב שלא התייחסנו לפוטנציאל מחוץ לכדור () כי אין שם מטען, כך שהביטוי עבורו מתאפס. נמשיך לפתח:

אנרגיה פוטנציאלית של נפח בשדה חשמלי

דוגמה: 2 לוחות אינסופיים

אנרגיה אגורה במערכת של לוחות, טעונים ב- וב-, .
הביעו את האנרגיה באמצעות השדה החשמלי בבעיה.

ראינו כבר כי:

המטען שורר רק על הלוחות, ולכן בחישוב האנרגיה נתמקד רק בהם:

נקבע את נקודת הייחוס ב- . לכן:

נציב בביטוי לאנרגיה:

כאשר (נפח המרחב בין שני הלוחות). נסכם:

ניתן להכליל את הדוגמה האחרונה למקרה הכללי יותר:

לפעמים גם נוח להגדיר מכך את צפיפות האנרגיה החשמלית בצורה הבאה:

דוגמה: קליפה כדורית דקה

קליפה כדורית דקה ברדיוס טעונה במטען המפולג באופן אחיד. מה האנרגיה האגורה במערכת?

• דרך א’:
  • דרך ב’:

קבלים

קיבול

הגדרה:

קיבול של מוליך היא היכולת של המוליך להיטען במטען חשמלי.

יש קשר בין ו-: ככל שנגדיל את המטען על המוליך, הפוטנציאל שלו יגדל:

כאשר הוא קיבול המוליך.

המידה פאראד היא יחידה גדולה מאוד, ולכן הרבה פעמים נשתמש ב- ו-.

דוגמה: כדור מוליך

נחשב את קיבולו של כדור מוליך ברדיוס . כבר מצאנו כי:

נסיק מהגדרת הקיבול ש:

לפיכך, הקיבול של כדור/קליפה כדורית מוליך נתון ע”י:

קבל

קבל (Capacitor) הוא רכיב חשמלי בעלת יכולת לאגור מטען חשמלי (ולפרוק אותו). קבל בנוי משני מוליכים שמופרדים ע”י תווך מבודד. כאשר הקבל טעון, על ההדקים שלו יש מטען שווה בגודלו והפוך בכיוונו כך שבין ההדקים נוצר שדה חשמלי.

נניח שיש לנו שני מוליכים:

שני מוליכים עם מטענים הפוכים

הפרש הפוטנציאלים:

מהגדרת הקיבול:

במקרה כזה, הקיבול של המערכת תלוי בשני גורמים:

1. גיאומטריה של המערכת (ממדי וצורות המוליכים, המרחק בינהם).
2. סוג החומר המבודד בין המוליכים (חומר דיאלקטרי).

דוגמה: קבל לוחות

שני לוחות מקבילים אחד לשני, שביניהם חומר מבודד. מתקיים .

נחשב את קיבול המערכת. האסטרטגיה היא . אנו יודעים שהשדה בין שני לוחות הוא:

מאחר ו- , מתקיים:

נוכל למצוא כעת את הפרש הפונציאלים:

לכן, קיבול שני הלוחות נתון ע”י:

דוגמה: קבל גלילי (קואקסיאלי)

שתי קליפות גליליות מוליכות, הקטנה ברדיוס והגדולה ברדיוס , בעלות ציר משותף ואורך . מתקיים .

נחבר את הקליפות עם מקור מתח כדי לטעון אותן. למשל, בפנים ובחוץ .

נחשב את קיבול המערכת.
נחשב את בתחום . נבנה מעטפת גאוסית גלילית ברדיוס ואורך . לפי חוק גאוס:

שטח הפנים של המעטפת הוא פשוט שטח פנים של גליל - . המטען הפנימי במעטפת הוא פשוט חלק מ-. ליתר דיוק, . לכן:

הפרש הפוטנציאלים:

לכן, מהגדרת הקיבול:

אנרגיה אגורה בקבל

קבל הוא מערכת של מוליכים. האנרגיה שאגורה במערכת מוליכים היא.

עבור קבל שטעון ב- על מוליך ו- על מוליך :

לפיכך, האנרגיה שאגורה בקבל עם קיבול נתונה ע”י:

חיבור קבלים

חיבור קבלים במקביל

בחיבור במקביל לכל הרכיבים יש את אותו המתח בין ההדקים.

חיבור קבלים במקביל

נרצה למצוא את קיבול הקבל השקול - .
אנו יודעים ש:

וגם:

מהגדרת הקיבול:

נציב בביטוי ל- ונקבל:

כלומר, בחיבור קבלים במקביל, הקיבול השקול שווה לסכום הקיבולים.

הערה:

בחיבור קבלים במקביל - הקיבול השקול גדול מקיבולו של כל קבל בנפרד.

חיבור קבלים בטור

בחיבור קבלים בטור, המטען על הקבלים יהיה זהה. המתח הכולל שווה לסכום המתחים.

חיבור קבלים בטור

נרצה למצוא את קיבולו של הקבל השקול .
אנו יודעים ש:

נציב את הגדרת הקיבול:

אפשר לבטא זאת גם בצורה:

הערה:

בחיבור קבלים בטור - הקיבול השקול קטן מקיבולו של כל קבל בנפרד.

דוגמה:

מצאו את הקיבול השקול של מערכת הקבלים הבאה, כאשר הניחו שלכל אחד מהקבלים אותו קיבול :

פתרון:
נבנה מעגל שקול - לאחר זיהוי מקטעים של קבלים מחוברים בטור:

מעגל שקול - לאחר זיהוי מקטעים של קבלים מחוברים במקביל:

מעגל שקול - לאחר זיהוי מקטעים של קבלים מחוברים בטור:

נקבל כי: