PHY2_007 גלים

מבוא

גל הוא התקדמות של הפרעה במרחב.

גלים משטחיים במים

גל עומד

גל אלקטרומגנטי

גל יכל להעביר אנרגיה ותנע, גם ללא מעבר חומר.

סיווג גלים

• גל רוחבי (transverse wave) - ההפרעה מאונכת לכיוון התקדמות הגל. למשל, מצוף בבריכה, או אבן הנזרקת למים.
  

  גל רוחבי מישורי

• גל אורכי (longitudinal wave) - ההפרעה בכיוון התקדמות הגל. למשל, גל קול.
  

  גל אורכי מישורי

תיאור גלים

גל הוא הפרעה שמתקדמת- כלומר יש לו תלות בזמן. הוא גם מתקדם במרחב, כך שיש לו גם תלות במיקום.

אם נחשוב על גל שמתקדם בכיוון ציר בלבד, וכיוון ההפרעה הוא מאונך לו, בציר , נוכל לתאר את הגל כך:

גל כללי בחתכים שונים בזמן

נוכל גם לתאר את הממד כהממד השלישי:

גל כללי עם הפרעה חד-ממדית

מתמטית, נוכל לרשום ש:

אם מהירות התקדמות הגל היא , והוא נע ימינה, אז נוכל לרשום:

אם הגל נע במהירות שמאלה, אז הפונקציה תהיה:

למעשה, סכום של שתי פונקציות כאלה מהווה פתרון למשוואת הגלים.

משוואת הגלים

יש להכיר את משוואת הגלים ממד”ח.

בקורס נרשום את משוואת הגלים בצורה הבאה:

דוגמה: התקדמות של גל במיתר

מיתר בעל צפיפות מסה אורכית אחידה ומתיחות אופקית בחוט .

נביט במקטע קטן :

אנו יודעים שמסת המיתר כולו לא זזה על הציר האופקי, ההפרעה היא רק בגובה הגל. לכן, אין תאוצה בכיוון על מקטע , אלא רק תאוצה בכיוון . מחוק שני של ניוטון:

כאשר סימנו כי אנו מתייחסים לאלמנט מסה קטן , ולא כלל המסה, .
נסדר טיפה את המשוואה בכיוון :

בצעדים קטנים, אנו יודעים ש- - זה פשוט הגדרת הנגזרת (השנייה במקרה הזה). נסכם:

גם את נוכל לרשום באופן של נגזרת של :

קיבלנו את משוואת הגלים עם . לכן:

כאשר מהירות התקדמות הגל במיתר; הוא המתיחות במיתר; ו- הוא צפיפות מסה אורכית.

גלים הרמוניים

באותו אופן כמו במבוא לכימיה, נגדיר גלים מחזוריים כגלים שחוזרים על עצמם בכל אורך גל בזמן קבוע. נגדיר:

• אורך גל - המרחק המינימלי שבו הגל חוזר על עצמו - .
• זמן המחזור - פרק הזמן המינימלי שבו הגל חוזר על עצמו - .

שני הגדלים האלו מקושרים ע”י מהירות הגל , כך ש:

מקרה פרטי של גל מחזורי הוא גל הרמוני - גל סינוס או קוסינוס. למעשה (לפי פורייה), ניתן לבטח כל פונקציה מחזורית כצירוף לינארי של פונקציות סינוס וקוסינוס.

כל גל הרמוני נוכל לרשום בצורה:

לכל אחד מהאיברים בפונקציה זה יש משמעות:

• משרעת (אמפליטודה) הגל - שיעור הסטייה המקסימלי ממצב שיווי המשקל.
• מספר הגל (עבור גלים במרחב רב-ממדי - וקטור הגל). הממד של הוא .
• פאזה/מופע - הארגומנט של הקוסינוס: הפאזה נמדדת ברדיאנים (מספר טהור).
• הפרש פאזה - הסטייה של הגל מהראשית.

נרצה למצוא את הקשרים בין הגדלים השונים המופיעים בביטוי. נניח שאנחנו נמצאים בנקודה קבועה כלשהי, לשם הפשטות , ונדרוש את המחזוריות של פונקציית הקוסינוס בזמן - כלומר:

נסמן ( - תדירות זוויתית - אותו גודל שהיה בתנועה הרמונית), נקבל:

נסיק כי עבור גל הרמוני:

באותו אופן, נדרוש מחזוריות במרחב, ונקבל כי:

מאחר - , נוכל לקבל כי:

ולכן נוכל לרשום את פונקציית הגל גם בצורה:

סופרפוזיציה של גלים

כאשר ישנם מספר גלים העוברים בתוך תווך, הגל השקול מקבל ע”י סכימתם:

התאבכות בונה והתאבכות הורסת

מקרה מעניין:
התאבכות של שני גלים הרמוניים שווי אמפליטודה ותדירות:

ההבדל היחיד בין הגלים הוא הפרש הפאזה . כאשר נסכום אותם נקבל גל שקול בעל אמפליטודה ובעל פאזה .
נביט בשני מצבים מיוחדים:

• כאשר , נקבל כי , ואז: למקרה זה נקרא התאבכות בונה.
• כאשר , נקבל כי , ואז: למקרה זה נקרא התאבכות הורסת.
  

  התאבכות של שני גלים. (שמאל) שני הגלים התחתונים מתאבכים לגל בעל סכום האמפליטודות - התאבכות בונה. (ימין) שני הגלים מתאבכים לגל בעל אמפליטודה אפסית - התאבכות הורסת.

גלים עומדים

נניח שיש שני גלים בעלי מהירויות שוות בכיוונים הפוכים משרעות שוות:

נקבל שסכום הגלים הוא:

קיבלנו שהגל השקול הוא פונקציה מהצורה - מכפלה של פונקציה מרחבית בפונקציה של הגל. לא מדובר בגל שמתקדם אלא בגל עומד.

שני גלים הנעים בכיוונים הפוכים באותו התווך. במקרה פרטי זה, שני הגלים בעלי אמפליטודה ואורך גל זהים, כך שסכומם הוא גל עומד.

• לנקודות על המיתר שלא זזות נקרא נקודות הצומת (node). המרחק בין צמתים עוקבים הוא .
• לנקודות על המיתר בהן מתרחשת התנועה המרבית נקרא נקודות טבור (antinode).

גל עומד במיתר

יש כמה דרכים ליצור גל עומד במיתר:

1. כאשר שני הקצוות חופשיים - יוצרים בשני צידי המיתר גל מחזור מנוגד לגל בצד השני.
2. כאשר צד אחד תפוס - יוצרים הפרעה מחזורית בצד אחד. ההפרעה תוחזר בכיוון ההפוך מהצד השני.
3. כאשר המיתר תפוס בשני קצותיו - כמו מיתר בגיטרה.

נביט יותר לעומק במקרה השלישי - גל עומד במיתר תפוס בשני קצותיו. נניח שאורך המיתר , תנאי השפה הם . ע”י הצבה של תנאי השפה (במשוואה לגל עומד) נקבל:

מצד שני, אנחנו יודעים ש- . נשווה ונקבל:

ולכן:

קיבלנו שבשביל שיתקיים גל עומס במיתר שתפוס בשני קצותיו, אורך המיתר צריך להיות כפולה שלמה של מחצית אורך הגל. מתקבלים אופני תנודה שונים עבור שונים:

גלים עומדים במיתר - התדר הבסיסי וחמישה אופני תנודה נוספים.

התדירות של הגלים תהיה:

נסמן ונקרא לו התדר הבסיסי, כך ש:

הערות:

1. המרחק בין 2 צמתים הוא .
2. עבור האופן ה-, מספר נקודות הצומת הוא .

גלים אלקטרומגנטיים

גל אלקטרומגנטי - הפרעה הכוללת שדה חשמלי ושדה מגנטי, המאונכים אחד לשני, ושניהם מאונכים לכיוון התקדמות הגל.

גל אלקטרומגנטי

בריק, הגל האלקטרומגנטי מתקדם במהירות האור - - הרי גל אלקטרומגנטי הוא אור (או ליתר דיוק, האור הנראה הוא סוג של גל אלקטרומגנטי).

נוכיח שהשדה החשמלי והשדה המגנטי מקיימים את משוואת הגלים. עבור גל מרחבי, משוואת הגלים מקבלת את הצורה:

אנחנו טוענים שהשדה החשמלי (ובאותו האופן השדה המגנטי) הם גלים רוחביים המתקדמים במרחב. נרצה להראות שאכן מתקיים:

כאשר .

פיתוח:
בריק, צפיפות המטען היא אפסית - . כמו כן, גם צפיפות הזרם - .
נציב במשוואות מקסוול:

1. חוק גאוס החשמלי:
2. חוק גאוס המגנטי:
3. חוק אמפר:
4. חוק פאראדיי:

נעזר גם בזהות מתמטית:

נהפוך את סדר הגזירה:

זו בדיוק משוואת הגלים!
ניתן גם להראות ש- .
באופן דומה, ניתן להוכיח עבור .

גלים מונוכרומטיים מישוריים

מונוכרומטי - “צבע” אחד - כלומר, יש לקרינה אורך גל אחד. להבדיל מאור השמש, למשל, שם אנחנו מקבלים ספקטרום מאוד רחב.

הגדרה:

גל מונוכרומטי מישורי מתואר באופן כללי ע”י (מספיק לתאר אותו רק ע”י השדה החשמלי):

כאשר הוא וקטור הגל; הוא נקודה כללית במרחב; היא האמפליטודה; ; הוא כיוון השדה החשמלי.

וקטור הגל מורכב מ:

גם הוא וקטור כללי:

ולכן:

אורך הגל יהיה נתון ע”י:

נשים לב שגם:

דוגמה:

נתון הרכיב החשמלי של גל אל”מ:

במקרה זה, וקטור הוא רק בכיוון :

נמצא את הרכיב המגנטי עבור הדוגמה הזאת:
נקשר בין השדה החשמלי והשדה המגנטי מגיע ממשוואות מקסוול. נעזר במשוואת פאראדיי:

נפתח את פעולת ההכפלה הוקטורית:

לכן:

נישאר רק עם:

אם נשתמש בקשר נסיק כי:

נשים לב ש- , וגם ש- ו- מאונכים אחד לשני. כלומר:

באופן כללי, אם נתון לנו הרכיב החשמלי של הגל האל”מ, נוכל למצוא את הרכיב המגנטי :

קיטוב

נסתכל על גל רוחבי במרחב תלת ממדי:

גל אלקטרומגנטי

בשני הגלים, החשמלי והמגנטי, כיוון ההפרעה לא משתנה בזמן - נשאר בכיוון ו- נשאר בכיוון .

הקיטוב של גלים אלקטרומגנטיים מוגדר ככיוון ההפרעה של הרכיב החשמלי - . נבדיל בין שלושה סוגי קיטובים:

1. לינארי - כיוון ההתנדנדות לא משתנה בזמן.
   

2. מעגלי - כיוון ההתנדנדות משתנה בזמן, באמפליטודה קבועה.
   

3. אליפטי - כיוון ההתנדנדות משתנה בזמן, באמפליטודה משתנה.
   

אנרגיה של גל אלקטרומגנטי

ראינו כבר שכאשר קיים שדה חשמלי במרחב, צפיפות האנרגיה החשמלית:

באותו אופן עבור צפיפות האנרגיה המגנטית:

כעת אנו מסתכלים על גל אלקטרומגנטי שיש לו גם רכיב חשמלי וגם רכיב מגנטי.

נניח שיש משטח בעל שטח שאנחנו מקרינים עליו גל אלקטרומגנטי. נחשב את האנרגיה שמועברת למשטח בפרק זמן :

שטח חתך שעובר בו גל אלקטרומגנטי.

בזמן האור מועבר מרחק , כל האנרגיה שהייתה בנפח תיבה שנפחה העוברה למשטח (או דרכו).

נשתמש בקשרים:

נקבל:

ההספק הוא למעשה , ולכן נוכל לרשום:

נשתמש בקשר ונקבל:

הגדרה: צפיפות שטף האנרגיה האלקטרומגנטית הנקרא גם וקטור פוינטינג ():

הגדרה:

נגדיר עוצמת קרינה (Intensity) כהממוצע של היחס בין ההספק לשטח החתך:

כאשר הוא וקטור הנורמל לשטח החתך; הוא זמן המחזור; ו- הוא וקטור פוינטינג.

דוגמה: עוצמה של גל אל"מ

מצאנו כבר כי:

כאשר כיוון התקדמות הגל הוא .

נחשב את וקטור פוינטינג:

הגודל שלו:

אבל אם נסתכל על הממוצע:

קיבלנו:

עיקרון הויגנס

ניתן להתייחס לכל נקודה בחזית הגל כמקור נקודתי של גל חדש:
כל נקודה שמופרעת ע”י מעבר של גל דרכה הופכת למקור של גל כדורי, והתאבכות כל הגלים הכדוריים היא הגל הכולל המתקדם במרחב.

דוגמה: עקיפה לסדק רחב:

גל מישורי פוגע במחסום - מודדים את תבנית הגל על מסך בצד השני. לפי עיקרון הויגנס, התבנית המתקבלת זהה לזו של מקורות נקודתיים לאורך כל הפתח שבמחסום. לכן נראה את הגל מגיע גם לאזורים מעבר למחסום - אזורים שבהם לפי אופטיקה גיאומטרית (פוטונים כשטף חלקיקים הנעים בקו ישר) לא יגיעו קרני אור.

עקיפה של גל מישורי כאשר עובי הסדק שווה לאורך הגל.

ניסוי יאנג בגלי אור

ניסוי שני הסדקים הוא ניסוי מפורסם שהתבצע ב-1801 ע”י הפיזיקאי תומס יאנג, בו הוא הראה שהאור הנראה מתנהג כגל.

סכימת הניסוי. אור נכנס מצד שמאל דרך שני הסדקים במרחק אחד מן השני. נקודה כללית על המסך במרחק מהסדקים. הוא מוגדר ע”י זווית מהציר האופטי, שניצב למסך ונמצא באמצע שני הסדקים.

נרצה למצוא עבור איזה זוויות תהיה התאבכות בונה או התאבכות הורסת בנקודה .

ע”י ההנחה השקרית שהציר האופטי ושהאלומת אור התחתונה מקבילות (די נכון אם ), נוכל להסיק שמתקיים:

נשים לב שאם שווה בדיוק לאחד מהכפולות של אורך הגל - , נקבל התאבכות בונה. כלומר:

באותו אופן, נקבל התאבכות הורסת כאשר:

אור מלייזר ירוק העובר דרך שני סדקים ברוחב , במרחק אחד מהשני.

עוצמת האור בניסוי יאנג

נניח שיש לנו מערכת לניסוי יאנג - .
נרצה לחשב את עוצמת האור כתלות בזווית . אנחנו יודעים שהעוצמה פרופורציונית לאמפליטודה בריבוע עבור גל אל”מ עם רכיב חשמלי:

ואז:

נסתכל על הגל האלקטרומגנטי השקול שמגיע לנקודה משני הסדקים הצרים:

האמפליטודה המשותפת היא .
בניסוי יאנג אנו גם יודעים שהפרש הפאזות תלוי במרחק :

ולכן האמפליטודה המשותפת היא . לפיכך:

כך שנוכל לקבוע שהעוצמה נתונה ע”י:

עוצמת הגל כתלות ב-.