IME1_001 מבוא ומושגי יסוד

שימו לב!

פרק זה מכיל את כל החומר עד בערך שבוע 6. כלומר, חצי מכל הקורס הזה הוא פשוט חזרה על פיזיקה 2 וקצת מערכות לינאריות.

מבוא

הביטוי מכטרוניקה מתייחס לתחום מתפתח בהנדסה שעוסק בעיצוב של מוצרים שאופן פעולתם מסתמך על השילוב של חלקים מכניים וחלקים אלקטרוניים שמתאומים ע”י בקרה כלשהי.
הדיאגרמה הבאה מתארת את כל החלקים הטיפוסיים במערכת מכטרונית:

חלקים טיפוסיים במערכות מכטרוניקה. (Alciatore, 2019).

המפעילים (actuators) יוצרים תנועה או גורמים לאיזושהי פעולה; החיישנים קולטים את המצב של המערכת - קלט, פלט, פרמטרים נוספים. דוגמה טובה למערכת מכטרונית היא מדפסת - כמעט כל הרכיבים בדיאגרמה לעיל נמצאים במדפסת משרדית:

דוגמה: מדפסת משרדית

במדפסת משרדית יש מעגלים דיגיטליים ואנלוגיים, חיישנים, מפעילים, ומעבדים מיקרוסקופיים.

מעגלים חשמליים ומרכיביהם

תאכלס, כל מערכת מכטרונית מכילה מעגלים חשמליים. כדי להבין מערכות כאלו, חייבים שליטה טובה בתפקידי המרכיבים האלקטרוניים וניתוח מעגלים אלו. לכן, יש לעבור על הנושאים הבאים מפיזיקה 2:

• חוק קולון

• זרם חשמלי

• קבלים

• נגדים

• חוקי קירכהוף

  הערה:

  לחוק הצמתים של קירכהוף נקרא KCL - Kirchhoff’s Current Law, ולחוק הלולאה של קירכהוף נקרא KVL - Kirchhoff’s Voltage Law.

• מעגלי RC

• משוואות מקסוול

וכמובן כל החומרים הנלווים אליהם.

מבחינת סימונים:

מונחים במעגל חשמלי. (Alciatore, 2019).

סימונים סכמתיים למרכיבים חשמליים. (Alciatore, 2019).

מקורות מתח וזרם

כאשר אנו מנתחים מעגלים חשמליים, אנו לרוב מניחים שמקורות המתח והזרם הם אידיאליים:

• למקור מתח אידיאלי יש אפס התנגדות ויכול לספק אינסוף מתח.
• למקור זרם אידיאלי יש אינסוף התנגדות ויכול לספק אינסוף מתח.
• למד-מתח אידיאלי יש אינסוף התנגדות ולא צורך זרם בכלל.
• למד-זרם אידיאלי יש אפס התנגדות ואין עליו מפל מתח.

אבל, בעולם האמיתי זהו לרוב לא המקרה. באיור הבא מוצג מקור מתח “אמיתי” שניתן למדל אותו כמקור מתח המחובר בטור עם נגד הנקרא אימפידנס (impedance) יציאה של המכשיר.

מקור מתח אמיתי עם אימפידנס יציאה. (Alciatore, 2019).

כאשר מחובר עומס כלשהו למקור ויש זרם חשמלי במעגל, המתח יציאה יהיה שונה ממתח המקור מתח . אימפידנס היציאה לרוב המקורות מתח (למשל, ספקי כוח) די נמוך.
כפי שמתואר באיור הבא, ניתן למדל מקור זרם “אמיתי” כחיבור במקביל של מקור זרם ונגד הנקרא גם אימפידנס יציאה:

מקור זרם אמיתי עם אימפידנס יציאה. (Alciatore, 2019).

באותו אופן, נוכל גם להגדיר אימפידנס כניסה למד-מתח ומד-זרם:

אימפידנס יציאה של מד-מתח ומד-זרם. (Alciatore, 2019).

שיטות זרמי החוגים ומתחי הצמתים

בהינתן מעגל חשמלי מסוים, המורכב מנגדים לינאריים, נוכל בעזרת חוקי קירכהוף למצוא את מתחי הצמתים וזרמי הענפים במעגל. ישנם שתי שיטות:

אלגוריתם: שיטת זרמי החוגים

עבור ענף בודד במעגל, לפי חוק אוהם מתקיים . עבור מעגל שלם מתקיים:

כאשר:

• המספר הוא מספר החוגים, המחושב באופן הבא:
• המטריצה היא מטריצת האימפידנסים המוגדרת בצורה הבאה:
  • הערכים הם סכום כל ההתנגדויות (אימפידנסים) בחוג .
  • הערכים הם סכום ההתנגדויות המשותפות לחוגים ו-, כאשר אם כיוון הזרמים זהה הסימן יהיה חיובי, ואם כיוון הזרמים שונה הסימן יהיה שלילי.
• הוקטור הוא וקטור המתחים המוגדר בצורה הבאה:
  • הערך הוא סכום מקורות המתח בחוג (הסימן נקבע לפי כיוון הזרם והמוסכמה).
• הוקטור הוא וקטור זרמי החוגים.

נפעל בצורה הבאה:

1. אם יש מקורות זרם נמיר אותם למקור מתח.
2. נקבע את זרמי החוגים.
3. נבנה את מטריצת האימפידנסים .
4. נבנה את וקטור המתחים .
5. נפתור את מערכת המשוואות.

המרת מקור הזרם במקור מתח נעשית בצורה הבאה:

אופן המרת מקור זרם במקור מתח.

דוגמה:

נתון המעגל הבא:

מצאו את הזרמים במחוגים השונים באמצעות שיטת זרמי החוגים.

פתרון:
ישנם שלושה חוגים במעגל הנתון. מטריצת האימפידנסים היא:

וקטורי המתח והזרם:

מערכת המשוואות שלנו היא:

נקבל ש:

למעשה זה כמו לרשום עבור כל חוג סגור את KVL האומר שבחוג סגור .

אלגוריתם: שיטת מתחי הצמתים

באופן דומה לשיטת זרמי החוגים, נוכל לבנות את מערכת המשוואות:

כאשר:

• המספר הוא מספר הצמתים (כולל הנקודת ייחוס) פחות (כדי להתעלם מנקודת הייחוס).
• המטריצה היא מטריצת האדמיטנסים (admittance) המוגדרת בצורה הבאה:
  • הערכים הם סכום כל המוליכויות (אדמיטנסים) בצומת .
  • הערכים הם מינוס הסכום של המוליכויות בין לצומת .
• הוקטור הוא וקטור המתחים בצמתים.
• הוקטור הוא וקטור זרמי החוגים.
  הערך הוא סכום מקורות הזרם הנכנסים לצומת (הסימן נקבע לפי כיוון הזרם והמוסכמה).

נפעל בצורה הבאה:

1. אם יש מקורות מתח נמיר אותם למקור זרם.
2. נמצא את כל הצמתים ונקבע צומת ייחוס.
3. נבנה את מטריצת האדימטנסים .
4. נבנה את וקטור הזרמים .
5. נפתור את מערכת המשוואות.

המרת מקור המתח במקור זרם נעשית בצורה הבאה:

אופן המרת מקור מתח במקור זרם.

דוגמה:

המעגל הבא זהה למעגל בדוגמה הקודמת, רק שמקורות המתח הומרו למקורות זרם:

מצאו את מתחי הצמתים במעגל באמצעות שיטת מתחי הצמתים.

פתרון:
ישנם שני צמתים במערכת הנתונה. נקבל את מערכת המשוואות:

ולמתרגל לא היה כוח להמשיך מכאן. גם לי אין.
למעשה זה כמו לרשום עבור כל צומת את חוק KCL האומר ש- .

מחלק מתח ומחלק זרם

על סמך שיטת הצמתים, KCL על המעגל הפשוט

נגדים מחוברים בטור. (Alciatore, 2019).

המתח על הוא:

למעגל זה קוראים מחלק מתח כי מקור המתח מחולק בין כל נגד.
לעומת זאת, מעגל המורכב משני נגדים המחוברים במקביל למקור זרם נקרא מחלק זרם מקור הזרם מחולק בין כל נגד. ניתן להראות כי במקרה זה:

פישוט מעגלים ע”פ מעגלי תבנין ונורטון

לפעמים, כדי לפשט מעגלים מסובכים, נרצה להחליף את מקורות המתח והנדים עם מקור מתח ונגד שקול. למעגל כזה נאמר שהוא שקול תבנין למעגל המקורי.
משפט תבנין קובע שעבור זוג הדקים בתת-מעגל, נוכל להחליף את התת-מעגל ע”י מקור מתח אידיאלי המחובר בטור לנגד . ה- שווה למתח המעגל הפתוח לאורך ההדקים, ו- הוא המתח השקול לארוך ההדים כאשר המקורות המתח הבלתי תלויים מקוצרים, והמקורות זרם הבלתי תלויים מוחלפים עם מעגלים פתוחים.

נדגים את המשפט בעזרת המעגל הפשוט הבא:

מעגל להדגמת משפט תבנין. (Alciatore, 2019).

החלק של המעגל בתוך המלבן המקווקו יוחלף עם השקיל תבנין. נמצא את המתח של המעגל הפתוח (open circuit) נמצא ע”י ניתוק שאר המעגל ומציאת המתח לאורך ההדקים של המעגל שנותר. נקבל מניתוח מהיר של המעגל (למשל, לפי חוקי קירכהוף, או מחלק מתח). נקבל:

כדי למצוא , המתח, נקצר את המקור מתח (כלומר, ), מה שמאריק את הצד השמאלי של . עם היה מקורות זרם במעגל, היינו מחליפים אותם עם מעגלים פתוחים. מאחר ו- ו- מחוברים במקביל ביחד להדקים הפתוחים, ההתנגדות השקולה היא:

מעגל שקול תבנין. (Alciatore, 2019).

עוד שיטה לפישוט מערכות היא בעזרת מעגל שקול נורטון, המוצג באיור הבא:

מעגל שקול נורטון. (Alciatore, 2019).

כאן, המעגל מוחלף ע”י מקור זרם אידיאלי וההתנגדות תבנין היא במקביל למקור. את ניתן לחשב ע”י הזרם שהיה זורם דרך ההדקים אם הם היו מקוצרים ביחד, עם התעלמות מוחלטת של שאר המעגל. ניתן להראות שהזרם הזורם דרך יוצר את המתח תבנין .

ניתוח מעגלי זרם משתנה

כאשר מערכת לינאריות מעוררות ע”י זרם משתנה (AC) בתדרים נתונים, הזרם דרך והמתח לאורך כל רכיב במעגל הם גם אותות AC באותה התדירות. אות מתח סינוסואידי מתואר באיור הבא:

אות סינוסואידי.

מתמטית, ניתן לתאר את ע”י הביטוי:

כאשר הוא האמפליטודה של האות, הוא התדירות (הזוויתית), ו- הוא זווית הפאזה ביחד לאות ייחוס .

ניתוח מעגלי AC במצב מתמיד מפושט אם משתמשים במה שנקרא ניתוח פאזורי, שמתבסס על השימוש במספרים מרוכבים ונוסחת אויילר.
ברגע שכל תגובות המעבר נעלמים במעגל AC לאחר שכוח סופק למערכת, המתח לאורך והזרם דרך כל רכיב יתנוד באותה התדירות . האמפליטודה של המתח והזרם בכל רכיב יהיו זהים, אבל יכולים להיות שונים בפאזה מהכניסה. עובדה זו מאפשרת להתייחס לפרמטרי המעגל (מתחים, זרמים, אימפידנסים) כאקספוננציאלים מרוכבים. פאזור (מתח באמפליטודה ופאזה ) הוא ייצוג וקטור של האקספוננציאל המרוכב:

הערה:

בקורס שלנו נהוג להשתמש בסימון:

כך ש:

כאשר נקרא הייצוג הפולארי.

ייצוג פאזורי של אות סינוסואידי.

ניתן להרחיב את חוק אוהם לניתוח נגדים, קבלים ומשרנים במעגל AC כ:

כאשר הוא האימפידנס של הרכיב. זהו מספר מרוכב, וניתן לחשוב על כהתנגדות, תלויה בתדירות, מרוכבת.
עבור נגד, כיוון ש- , אז גם:

עבור משרן, כיוון ש- , אם , אז:

לכן האימפידנס של משרן הוא:

שמעיד על כך שהמתח יהיה בפאזה של ביחס לזרם.
עבור קבל, כיוון ש- , אם , אז:

ולכן:

לכן, האימפידנס של קבל הוא:

תרגילים

תרגיל 1

בהינתן המעגל הבא, מצאו מתח וזרם על נגד בעזרת תבנין.

המעגל הנתון בשאלה.

פתרון:
נמצא את ה”התנגדות השקולה” ע”י יצירת קצר במקורות המתח והתעלמות מהנגד הרצוי, שנסמנו (הוא לא מופיע באיור הבא):

מעגל לחישוב ה”התנגדות השקולה”.

כעת הנגד על מחובר במקביל, כך שההתנגדות השקולה על ההדקים:

נחשב את המתח בין הדקי העומס. נחזיר את מקורות המתח (אבל לא את ).

המעגל ללא הנגד .

נצטרך למצוא את הזרם, ונעשה זאת לפי קירכהוף, עם כיוון הזרם המשורטט:

ולכן המתח בין הדקי העומס הוא:

כעת נחבר את הנגד של למעגל החדש - מעגל תבנין:

מעגל שקול תבנין.

כעת, לפי |KVL:

נציב נתונים ונקבל שהזרם על הנגד הוא:

ולכן המתח על הנגד:

תרגיל 2

המעגל הנתון בשאלה.

חשבו את הזרם והמתח על הנגד לפי שיטת תבנין.

פתרון:
ננתק את הנגד הרצוי ונקצר מקורות מתח כדי למצוא את ה”התנגדות השקולה”:

מעגל לחישוב ה”התנגדות השקולה”.

מהדיאגרמה ההתנגדות השקולה:

נחשב את המתח בין הדקי העומס. נחזיר את מקורות המתח (אבל לא את ).

המעגל ללא הנגד .

נשים לב שכיוון שההדקים ו- נמצאים על ענף לא סגור, כביכול לא יזרום שם זרם (דרך ), כך שהמתח שנופל עליהם הוא המתח שנופל על ו-.

לפי מחלק מתח ומחלק זרם:

נוכל כעת לשרטט שקול תבנין:

מעגל שקול תבנין.

מעגל זה יותר פשוט, ונוכל ממנו למצוא את המתח על ההדקים:

ולכן:

ולפי חוק אוהם, המתח על הנגד :

תרגיל 3

המעגל הנתון בשאלה.

מצאו את שקול תבנין ביחס ל-.

פתרון:
ננתק מקורות מתח ונקצר מקורות מתח כדי למצוא את ה”התנגדות השקולה”:

מעגל לחישוב ה”התנגדות השקולה”.

נמצא כי ההתנגדות השקולה היא:

נחשב את המתח בין הדקי העומס. נחזיר את מקורות המתח והזרם.

מעגל לחישוב המתח נתק.

לפי KCL:

ולכן המעגל השקול תבנין:

מעגל שקול תבנין.

תרגיל 4

הביטו במעגלי RC הבא:

מעגל RC.

מצאו את , בהנחה ו- כאשר הוא פונקציית מדרגה Heavside.

פתרון:
מהגדרת הקיבול:

והזרם על הנגד הוא פשוט:

לפי KCL על הצומת בין הנגד לקבל:

כיוון ש- , אז קיבלנו מד”ר הומוגנית:

כאשר הוא קבוע אינטגרציה.
נציב תנאי התחלה:

נקבל כי ולכן:

תרגיל 5

כאשר נפתור בעיה עם סופרפוזיציה, נאפס כל פעם את כל המקורות מלבד אחד. כלומר, מקור זרם יהפוך לנתק, ומקור מתח יהפוך קצר.

נתון המעגל הבא:

סכמת המעגל.

יש למצוא את המתח על וההספק על .

פתרון:
על מנת לפתור בשיטת הסופרפוזיציה, נחשב קודם את תרומת מקור הזרם - נקצר את מקור המתח:

המעגל ללא מקור המתח.

את נגדים נוכל להפוך לנגד שקול:

לפי מחלק זרם:

כעת, כאשר הזרם ידוע, נתייחס אליו כאל “מקור זרם” מקומי הפועל על הנגדים ונשתמש שוב במחלק זרם על מנת למצא את הזרם בנגד :

לכן:

כעת נמצא את תרומת מקור המתח - ננתק את מקור הזרם:

המעגל ללא מקור הזרם.

נמיר את הנגדים בנגד שקול:

נשתמש במחלק מתח כדי למצוא את המתח על הנגד השקול שהוא גם המתח על :

לכן הזרם דרך הוא:

אך נשים לב שכיוונו של הזרם במקרה זה הוא הפוך מכיוון הזרם הנתרם ע”י מקור הזרם ולכן .
כעת נחבר את התרומות מ- המקורות ונקבל:

לכן ההספק על :

מבחינת המתח על :