FLD1_HW005 תרגיל בית 5

	סטודנט א’
שם	עידו פנג בנטוב
ת”ז	322869140
דואר אלקטרוני	ido.fang@campus.technion.ac.il

שאלה 1

סכימת הערבול הזרימה המציפה

נשים לב כי החלפת משתנים הפוכה מפולאריות לקרטזיות היא:

סעיף א’

נוכל לתאר את פונקציית הפוטנציאל של שדה הזרימה המתואר כסופרפוזיציה של זרימות אלמנטריות. פוטנציאל של ערבול הממוקם ב-:

פונקציית הפוטנציאל של זרימה מציפה:

הבעיה בשתי הזרימות הפוטנציאליות האלה הן שסכומן לא יקיים את תנאי האי-חדירה על הקיר. לפיכך, נשקף את הערבול מצידו השני של הקיר, בעוצמה הפוכה (נגד כיוון השעון), במרחק שווה (במיקום ):

נסכום:

נוודא שאכן תנאי האי-חדירה מתקיים:

ואכן, כאשר :

כך שהתנאי אי-חדירה מתקיים.

עבור רכיב המהירות בכיוון :

כאשר :

בפתרון הרשמי מניחים ש- , ואז כדי לתאר את הערבול המתואר בשרטוט, צריך להוסיף מינוס לפני ה-. מאחר ויש עוד סעיפים, נניח מכאן שעוצמת הערבול המתוארת בשרטוט היא לא , אלא :

סעיף ב’

נתון ששדה הזרימה אי-רוטוציוני, כך שנוכל להשתמש בברנולי בין כל שתי נקודות בשדה זרימה. נבחר נקודה כללית על הקיר, ונקודה רחוקה מהקיר:

רחוק מהקיר, כאשר , אפשר לראות משדה הזרימה שקיבלנו בסעיף קודם שמתקיים . נציב:

סעיף ג’

נבצע אינטגרציה לאורך על הלחץ, מה שבהגדרתו הוא הכוח שפועל על הקיר. נניח שגם מתחת לקיר ישנו לחץ אטמוספרי, כך שרכיב זה מתבטל:

עבור האינטגרל השמאלי אנו ידועים איך לפתור מאינטגרלים מידיים. האינטגרל הימני דורש שיטות שלא למדנו:

לסיכום:

שאלה 2

העפיפון ושדה הזרימה הנתונים

סעיף א’

בחירת מערכת הצירים

אנו יודעים שכדי לתאר את הבעיה הנתונה, נוכל לבצע סופרפוזיציה של זרימה מציפה, זוגן, וערבול:

מהחלפת משתנים :

נמצא את המהירות הרדיאלית:

מתנאי אי-חדירה, אנו יודעים ש- :

כלומר, כדי שתנאי אי-חדירה יתקיים, צריך להתקיים . נציב בפוטנציאל:

נמצא את המהירות המשיקית:

נשים לב ש- נגרר מתוספת הערבול לשדה הזרימה. נדרוש שתוספת זו, שנסמן , תהיה שווה למהירות הגליל ברדיוס . כלומר, נדרוש ש- :

ולכן:

סעיף ב’

סכימת המצב המתואר

ניתן לראות מהאיור שמהירות הזרימה מעל הגליל תהיה גבוהה יותר מתחת לגליל. לפי ברנולי, אנו יודעים שכאשר המהירות גבוהה, הלחץ נמוך, כך שמתחת לגליל ישנו לחץ גבוה יותר מהחלק העליון של הגליל.
לפיכך, העפיפון ינוע כלפי מעלה.

סעיף ג’

כוח העילוי על הגליל:
מסעיף קודם, נסיק ששדה הזרימה הוא:

רחוק מהגליל (כאשר ):

על הגליל (כאשר ):

כיוון שהזרימה פוטנציאלית, נוכל לבצע ברנולי בכל המרחב, בפרט הרחק מהגליל, ועל הגליל:

נרצה למצוא את הכוח בכיוון . עבור נקודה כללית על שפת הגליל, המוגדרת ע”י :

לחץ המופעל בנקודה כללית על שפת הגליל.

אכפת לנו רק מסך הכוח בכיוון , אז נטיל אותו כאשר נבצע אינטגרציה, כאשר לא נשכח את היעקוביאן, :

הפונקציה אי-זוגית ביחס ל- בתחום , ולכן נישאר רק עם:

שוב מופיע לנו קבוע כפול בתוך האינטגרל כך שהוא ייתאפס באינטגרציה. נשים לב שגם ל- את אותה התכונה, כך שגם הוא ייתאפס. נישאר עם:

מזהויות טריגונומטריות אנו יודעים ש- . בנוסף, במקרה שלנו, . נקבל:

במקרה בו (הגליל מסתובב עם כיוון השעון), אנו מקבלים כוח כלפי מעלה, בהסכמה עם [[#שאלה 2#סעיף ב’|סעיף ב’]].

כוח הכבידה:
מהנתונים, נוכל להסיק שכוח הכבידה על כדור הוא פשוט:

השוואת הכוחות:
כדי שהעפיפון יישאר בגובה קבוע, נדרוש ששני הכוחות שווים אחד לשני:

שאלה 3

סכימת הגליל

סעיף א’

כדי לפתור את הבעיה בעזרת זרימה פוטנציאלית, צמיגות הזורם צריכה להיות זניחה (), ומספיק שבהתחלה הזרימה היא אי-רוטוציונית ().

סעיף ב’

באופן דומה ל[[#שאלה 2#סעיף א’|סעיף א’ בשאלה קודמת]], פונקציית הפוטנציאל תהיה סופרפוזיציה של זרימה מציפה וזוגן:

ההבדל מסעיף א’ בשאלה הקודמת הוא שכעת אין ערבול, וגם שהזרימה המציפה היא הפעם בכיוון , שבקואורדינטות פולאריות הוא .

סעיף ג’

נפעל באותו אופן לפיתוח משוואת ברנולי שאנו מכירים, רק עם כמה טוויסטים. נתחיל ממשוואות אויילר:

נוכל להשתמש בזהות הבאה:

ואז נקבל:

בזרימה פוטנציאלית, . נישאר עם:

במערכת צירים צמודת הגליל, שהיא מערכת לא אינרציאלית, כוח הגוף שפועל על הגליל הוא מינוס התאוצה של המערכת צירים (הגליל). כלומר, , או במונחים של :

לכן:

מעצם הגדרת פונקציית הפוטנציאל, מתקיים . נציב:

נכפיל את שני הצדדים ב- ():

כמו בפיתוח למשוואת ברנולי, נוכל לבצע “אינטגרציה” לפי מיקום . מאחר וישנו גם משתנה לפי זמן , בצד ימין יופיע “קבוע” שתלוי ב-:

סעיף ד’

משוואת ברנולי שמצאנו ב[[#שאלה 3#סעיף ג’|סעיף ג’]] תקפה לכל שדה הזרימה ברגע מסוים. נשווה בין שפת הגליל , לנקודה רחוקה , כך שמתקיים בה הלחץ . נצטרך למצוא את ו-:

חישוב :
מפתרון [[#שאלה 3#סעיף ב’|סעיף ב’]]:

לכן:

חישוב :
מפתרון סעיף ב’:

ולכן:

נעלה בריבוע (נכפיל סקלרית בעצמו):

לכן:

נציב בפתרון בברנולי מ[[#שאלה 3#סעיף ג’|סעיף ג’]]. מצד אחד, אנחנו יודעים שעל הגליל:

מצד שני, ב- :

נשווה:

באופן יותר מדויק:

בנקודה , . נציב ונקבל:

סעיף ה’

נוכל לפרק את כוח העילוי על הגליל לשתיים - חלקו העליון וחלקו התחתון. כמו ב[[#שאלה 2#סעיף ג’|סעיף ג’ בשאלה קודמת]], נצטרך להטיל את הלחץ לכיוון :

חלק מהאיברים נוכל לחבר לאינטגרל יחיד:

הפונקציה אי-זוגית ביחס ל- בתחום , כך שהאינטגרל הראשון מתאפס. נישאר עם:

נוציא קבועים:

ערכו של כל אינטגרל:

נציב בחזרה:

הערה:

כאן מתחיל ההבדל שלי מהפתרון הרשמי. משום מה אם המקדם של הוא , ולא , מקבלים את הפתרון הרשמי. אבל אני יכול לומר די בוודאות ש- .

כיוון שאנו מזניחים כבידה, הכוח היחיד שפועל על הגליל הוא שמצאנו, כך שמחוק שני של ניוטון:

ולכן:

זוהי מד”ר פרידה:

נציב תנאי התחלה :

נציב בחזרה:

הפתרון תקף כל עוד (ו- תלוי ב-).

שאלה 4

סעיף א’

קו העקימון אינו , ולכן הכנף לא סימטרית.

סעיף ב’

נפעל באותו אופן כמו בתרגול.
נרצה להשתמש במשוואת מקדם העילוי:

כאשר את נוכל למצוא ע”י האינטגרלים:

לכן, נחשב את הנגזרות של לפי בכל אחד מהתחומים:

באינטגרלים, אנו בהחלפת משתנים, ע”י ההתמרה:

נציב בנגזרות:

נרצה לדעת מהם גבולות התחומים במונחים של :

נציב באינטגרלים:

נחשב על הדרך גם את כי נצטרך אותו בהמשך:

נוכל כעת למצוא את מקדם העילוי:

מהגדרת מקדם העילוי:

נדרוש , ונקבל שגם . נציב בביטוי שקיבלנו ל-:

סעיף ג’

בסעיף קודם, מצאנו כי:

נציב ונקבל:

סעיף ד’

נציב פשוט בנוסחה למקדם המומנט ברבע מיתר:

ולכן:

סעיף ה’

נדרוש שסכום המומנט שנוצר ע”י כוח העילוי במרחק מהרבע מיתר, והמומנט סביב רבע מיתר יהיה שווה לאפס:

נציב את הערכים שקיבלנו בסעיפים קודמים:

מרחק זה נמדד מהרבע מיתר, ולכן המרכז האווירודינמי לפי מערכת הצירים המקורית היא: