DYN1_E2022SA 2022 אביב מועד א'

שימו לב

לקוח מהפתרון הרשמי של מירון.

שאלה 1

הגדרת מערכת צירים , אשר ראשיתה בנקודה , ו- הוא וקטור הכיוון מ- ל-.

מהגדרת מערכת הצירים:

דג”ח על הגליל

לפי מאזן תנע קווי בגק”ש:

מכך שאין החלקה נסיק כי לכל אורך המעבר, ולכן גם . נמצא את בעזרת משוואות גוף קשיח:

נציב בחזרה במאזן תנע קווי:

נמצא את ו- בעזרת שימור אנרגיה. מפני שאין החלקה, כוחות הריאקציה לא מבצעים עבודה, ושאר הכוחות הם כוחות משמרים, כך שמתקיים שימור אנרגיה:

השינוי באנרגיה קינטית יהיה:

מגלגול ללא החלקה ומשוואת גוף קשיח נקבל:

לכן וגם . עבור גליל גם מתקיים , ולכן:

השינוי באנרגיה הפוטנציאלית יהיה:

נציב בשימור אנרגיה:

כדי למצוא את נגזור ונקבל:

נציב בחזרה במאזן תנע קווי:

ונקבל:

סעיף ב’

תנועת המעבר הינה כאשר וצריך לקבוע כך שלא תתקיים קפיצה. קפיצה תתבצע כאשר הכוח הנורמלי מתאפס. נבדוק מתי זה קורה:

נשים לב שמפני ש- ומפני ש- חיוביים, צריך להתקיים:

מפני שנתון ש- , הרי שהתנאי מתקיים (אחרת לא קיימת ), ולכן יש לדרוש:

ולכן:

שאלה 2

סעיף א’

מהגדרות מערכת הצירים, נסיק שהמהירות הזוויתית של הג’ירוסקופ היא:

סעיף ב’

דג”ח על הדסקה והמוט . הוא הריאקציה על פרק , המשרוטט בכיוון כללי.

לפי מאזן תנע קווי בגק”ש:

נמצא את וקטור התאוצה באמצעות גזירת וקטור המיקום:

נגזור לפי כלל האופרטור, כאשר נשים לב ש- :

ולכן:

נציב בחזרה במאזן תנע קווי:

ממאזן תנע זוויתי סביב נקודה :

התנע הזוויתי הינו:

עבור גליל דק, אנו יודעים שרכיבי טנזור האינרציה הם:

ולכן התנע הזוויתי:

נגזור לפי כלל האופרטור ונקבל:

סכום המומנטים סביב הינו:

נציב במאזן התנע הזוויתי ונקבל:

קיבלנו שלושה משוואות בשלושה נעלמים:

נכפיל את המשוואה הראשונה ב- ונחסר את המשוואה הראשונה מהשלישית כדי לקבל:

נשתמש בנתון :

נפתור את המשוואה הריבועית:

על מנת שיהיה יותר מקצב פרסציה אחד צריך להתקיים:

סעיף ג’

בסעיף קודם כבר ראינו ש:

סעיף ד’

האנרגיה קינטית של הגירוסקופ הינה:

נחשב כל רכיב בנפרד:

וגם:

נציב ונקבל:

שאלה 3

סעיף א’

בעת ההתנגשות קיים רק מתקף של הכוח הנורמלי:

דג”ח על אחד מהגלילים ברגע ההתנגשות.

לכן המתקף הזוויתי הופעל הגלילים ביחס למרכז המסה שלו הינו אפס, ולכן לא יהיה שינוי בתנע הזוויתי כלומר:

ולכן:

סעיף ב’

מסימטריית הבעיה נקבל כי המהירויות של המסה הימנית והשמאלית בבעיה לאחר ההתנגשות יהיו:

כאשר משתנים.
משימור תנע קווי כללי על המערכת (אין כוחות חיצוניים):

נביט במסה הימנית רגע לאחר ההתנגשות.

דג”ח על המסה הימנית רגע לאחר ההתנגשות. הקפיץ רפוי ולכן לא מפעיל כוח.

ממאזן מתקף קווי:

ניתן לראות כי על המסה הימנית מתקיים שימור תנע בכיוון (הכיוון קבוע) ולכן נכפול בו סקלרית את מאזן התנע הקווי:

כמו כן מתקיים שימור אנרגיה כי ההתנגשות אלסטית לחלוטין:

בנוסף, אין כוחות משמרים במערכת כך ש- , ולכן:

מאנרגיה קינטית של גק”ש מרחבי:

נציב את הקשר שמצאנו בין ל- ואת :

לאחר פתרון המשוואה הריבועית נקבל:

הפתרון הראשון אינו פיזיקלי (סתירה עם חוק שימור האנרגיה), ולכן:

כך ש:

מכאן המהירויות הן:

סעיף ג’

הרגע בו הקפיץ התכווץ באופן מקסימלי הוא הרגע בו המסות נעצרות בכיוון . כלומר, משימור אנרגיה:

סעיף ד’

דג”ח על המסה הימנית רגע לאחר ההתנגשות.

עתה יש לנו מתקף של כוח החיכוך. בנוסף, מאחר ואנו מניחים החלקה, מתקיים:

אנו יודעים שהמהירות לפני ואחרי:

מקדם התקומה הינו ולכן:

ממאזן מתקף קווי על המסה הימנית:

מהמשוואה הראשונה נשים לב ש- . נציב במשוואה השנייה:

ולכן המהירויות של המסות (מסימטריה) הן:

סעיף ה’

ממאזן מתקף זוויתי על המסה הימנית סביב מרכז המסה שלה:

מסימטריה המסה השמאלית תסתובב במהירות זוויתית בעלת אותו גודל אך בכיוון מנוגד: