DVI1_008 רטט במערכות רציפות

מבוא

עד עכשיו עסקנו במערכות בדידות - מערכות בהן אנו מניחים שהמסות מרוכזות בנקודות יחידות, דיסקרטיות, והן מחוברות ביניהן ע”י מוטות, קפיצים ואלמנטים אחרים קשיחים חסרי מסה. התנועה של מערכות אלו מתוארת ע”י מד”רים, עם משוואה אחת לכל מסה, ומספר המסות מגדיר את מספר דרגות החופש של המערכת.
כעת, כאשר נעבור למודל טיפה יותר מדויק של מערכות - מערכות רציפות, המשוואות המתארות את התנועה של המערכת יהיו מד”חים. כיף חיים. נצטרך לקחת בחשבון עקרונות ממוצקים, בנוסף לתנאי שפה.

משוואות התנועה של חוט תונד

כדי למדל תנועה של מוט אורכי רציף, אנו יכולים לפרק אותו למספר מסות בדידות, ולהשאיף את פירוק זה לאינסוף. עוד דרך היא לפתח מאזן תנע קווי על כל אלמנט דיפרנציאלי של החוט, כמו שעשינו בפיזיקה 2. ישנה עוד דרך המסתמכת על עיקרון המילטון.

פירוק החוט למספר סופי של מסות. (a) החוט כמערכת בדידה. (b) דג”ח על המסות בחוט. (Meirovitch, 2001).

פירוק החוט לאלמנטים דיפרנציאליים. (a) החוט כמערכת רציפה. (b) דג”ח על אלמנט של חוט. (Meirovitch, 2001).

מפיתוחים אלו אנו מקבלים את משוואת התנועה:

כאשר:

• היא המתיחות בחוט.
• היא צפיפות המסה של החוט.
• הוא הכוח הניצב לאורך החוט.

משוואת תנועה בסיסית זו תקיפה גם עבור בעיות שונות דומות, למשל עבור מוט במתיחה או גל בפיתול. בשביל ההמרות ניתן להיעזר בטבלה הבאה:

גדלים אנלוגיים. (Meirovitch, 2001).

למשל, אם מדובר במוט אלסטי:

נשים לב ש- (מסה ליחידת אורך). אם שטח החתך אחיד, נוכל לרשום:

אם נסמן , נשים לב שנקבל את משוואת הגלים (האי הומוגנית).

רטט חופשי - בעיית ערכים עצמיים דיפרנציאלית

כאשר נרצה למצוא פתרונות לבעיות רטט רציפות, אנו פועלים באופן מאוד דומה לבעיות בדידות. נביט למשל במשוואת התנועה על החוט ההומוגנית:

עם תנאי ההתחלה:

בעיה זו אנו יכולים לפתור בעזרת שיטת הפרדת משתנים.
אנו נניח פתרון מהצורה:

נקבל בעיית שטורם ליוביל, נמצא אין סוף ערכים עצמיים , פונקציות עצמיות , ולכן גם , נפתח את תנאי ההתחלה והביטוי האי-הומוגני לטורי פורייה, ועבור הבעיה הספציפית שלנו, נקבל פתרון מהצורה:

כאשר במקרה הזה, . (ראו תרגיל אחרון במשוואת הגלים).

נשים לב שבתצורה זו, כבר מופיעים לנו המודים הטבעיים של המערכת. היא התדירות הטבעית, ו- ו- הן האמפליטודות והפאזות, בהתאמה, שאותן אנו מוצאים מתנאי התחלה.
הביטויים ו- הם ביטויים התלויים בתכונות המערכת עצמה, בעוד ו- תלויים במשתנים חיצוניים למערכת.

מודים טבעיים של חוט מקובע. לחוט אידיאלי ישנם אינסוף מודים טבעיים. לתדירות הכי נמוכה קוראים תדר/הרמונית בסיסית (fundamental harmonic), בעוד לתדרים היותר גבוהים קוראים אוברטונים (overtones) או הרמוניות גבוהות. (Meirovitch, 2001).

מערכות עם מסות בשפה

אם בשפה יש לנו עוד מסה בדידה, עלינו לחקור מחדש את המד”ח שהגדרנו. אנו נקבל למעשה שאחד מתנאי השפה יכלול את הערך העצמי באופן מפורש. כדי להדגים זאת, נביט במערכת הבאה:

מוט במתיחה עם מסה בקצה. (Meirovitch, 2001).

משוואת התנועה לבעיה זו היא:

כאשר הוא הקשיחות הצירית, הוא מודול יאנג, הוא שטח החתך (המשתנה) של המוט, הוא התזוזה הצירית, הוא הכוח הצירי ליחידת אורך ו- הוא המסה ליחידת אורך. בנוסף, המוט מקובע ב- , ולכן:

כדי לפתח את התנאי שפה הימני, נשים לב שהכוח הצירי קשור לדפורמציית המוט לפי:

בעצם במשוואה אנו אומרים שהכוח בקצה הוא מכפלה של שטח החתך במאמץ (ה- הוא למעשה עיבור במקרה הפשוט - כאשר אנו מכפילים אותו ב- אנו מקבלים מאמץ), בהנחה והמאמץ מפולג באופן אחיד לאורך החתך. כעת, לפי חוק שני של ניוטון על מסה :

נשווה בין ו- כדי לקבל את תנאי השפה ב- :

כעת עם המד”ח ושני תנאי השפה אנו יודעים לפתור בעזרת שיטת הפרדת משתנים. בהנחה ושטח החתך אחיד לאורך המוט, נוכל לרשום את הבעיה באופן הבא:

לפי הפרדת משתנים, תנאי השפה השני הוא:

לכן הבעית שטורם ליוביל היא מהצורה:

וכעת הפתרון של הבעיה דורש התעמקות נוספת, שאנו מבצעים אותם בתרגילים.

תרגילים

תרגיל 1

נתון מוט פיתול בעל קצה רתום וקצה נוסף המחובר לקפיץ פיתול :

סכמת המערכת.

בהמשך נתייחס גם ל-מומנט מפורש - מומנט ליחידה אורך.
המוט בעל קוטר , אורך , בעל מודול גזירה , וצפיפות חומר .

הערה:

שימו לב שכאשר מסת המוט (האינרציה) הייתה זניחה, יכולנו להתייחס אליו כקפיץ פיתול רגיל (כמו במוצקים). כעת לא נוכל לעשות זאת!

לצורך הגרפים, אנו מניחים:

סעיף א’

מצאו מודים ותדרים עצמיים באופן אנליטי.

פתרון:
ראינו שמשוואת התנועה למוט פיתול תהיה מהצורה:

במקרה שלנו המוט עגול ואחיד בצפיפותו ובגאומטריה שלו, כך ש- וגם . נוכל גם לרשום , כך ש:

כדי למצוא מודים ותדרים עצמיים, נבחן את המקרה ההומוגני, ללא כוחות חיצוניים:

נוכל לסדר כדי לקבל את משוואת הגלים:

כאשר . אנו פותרים את משוואה זו לפי שיטת הפרדת משתנים. נציע פתרון מהצורה ונקבל:

ונקבל את בעיית השטורם ליוביל:

כאשר .
לגבי התנאי שפה ב-, יש לנו קפיץ בקצה. אם נבצע דג”ח על קצה המוט, באותו אופן כמו במערכות עם מסות בשפה, נקבל מחוק שני:

נציב את הפתרון שהצענו ונקבל את תנאי השפה השני:

נסכם שהבעית שטורם ליוביל היא:

הפתרון של בעיה זו יהיה מהצורה:

את ו- נמצא מתנאי ההתחלה. נציב את פתרון זה בתנאי השפה ונקבל מערכת משוואות שנוכל לרשום בצורה מטריצית:

נדרוש פתרון לא טריוויאלי. כלומר, נדרוש שהדטרמיננטה של המטריצה לעיל תתאפס. נקבל את המשוואה:

זוהי משוואה סתומה. ניתן לפתור אותה נומרית. מבחינת הצגה גרפית, נקבל:

הצגה גרפית של הפונקציה הסתומה וחיתוכה עם ציר ה- - הפתרונות שלה.

נוכל כעת למצוא את התדרים הטבעיים ע”י הצבה ב- . עבור ששת המודים הראשונים, התדרים הטבעיים:

למעשה קיבלנו ש- הם מודים מתאימים לתדרים העצמיים המתאימים. כלומר הם המודים (הפונקציות העצמיות) וכל מוד יתקבל ע”י הצבת (עד כדי הכפלה בקבוע):

הפונקציות העצמיות/המודים של המערכת הנ”ל.

סעיף ב’

כעת נניח שפועל מומנט מפורס ומומנט מרוכז בקצה ב- . חשבו מודים מנורמלי מסה.

פתרון:
קיבלנו קודם שהמודים הם . בדומה למערכות מרובות דרגות חופש המודים נכונים עד לכדי קבוע. הסימון בא להעיד על כך שמדובר במוד לא מנורמל מסה. על מנת לנרמל במסה נשתמש בתכונות הביו-אורתוגונליות של המודים. עבור מערכת רציפה, היא מוגדרת כך:

כאשר היא הדלתא של קרונקר.
נדרוש שהקבועים במודים יהיו כאלה שהמסה המודלית של המודים מנורמלי המסה תהיה . כלומר:

לכן לכל מוד נקבל בהתאמה:

כאשר לא באמת מוגדר כי הוא פשוט המוד הטריוויאלי .

סעיף ג’

מצאו את משוואת התנועה בקואורדינטות מודליות בנוכחות מומנט מפורש כללי .

פתרון:
משוואת הגלים למוט פיתול בהינתן מומנט מפורס היא:

אנו יודעים שניתן לרשום את הקואורדינטות הפיזיקליות כקומבינציה של המודים העצמיים בעזרת הקואורדינטות המודליות באופן הבא:

נציב במד”ח ונקבל:

נכפיל מצד שמאל ב- ונקבל (לאחר ביצוע אינטגרל):

מפני שהמודים מנורמלי מסה ובגלל תכונת הבי-אורתוגונליות נקבל כי האינטגרלים שונים מאפס כאשר , וערכם:

כך שמשוואות התנועה המודליות:

כאשר:

כמו במערכות בדידות, הוא הכוח על המוד ה- - הטלה של הכוחות על הקואורדינטות המודליות.

TODO: להשלים