PDE1_006 שיטת הפרדת משתנים

בעיית החום ההומוגנית

נודר נדר שאם אתם עדיין לא צפיתם בסרטון הזה אתם תכשלו בקורס:

נראה כעת איך בעזרת פתרון בעיית שטורם-ליוביל אנחנו פותרים את משוואת החום בשיטת הפרדת משתנים:

הגדרה:

משוואת החום החד-ממדית היא מד”ח מהצורה הבאה:

כאשר ל- קוראים מקדם פיזור החום והוא תלוי בחומר.

משוואת החום תגיע כחלק מבעיית החום:

כאשר הא פונקציה נתונה.
הבעיה מתארת את הטמפרטורה של מוט חד-ממדי (כלומר צר וארוך ומבודד תרמית לאורכו) באורך , כך שקצותיו מוחזקים בתוך אמבט בטמפרטורה . אנו מניחים כי אין מקור חיצוני המספק חום למערכת ולכן אנו דנים במשוואה חלקית הומוגנית. ברצוננו לחשב כיצד התפלגות טמפרטורת המוט משתנה לאורך זמן בינתן כי ההתפלגות שלה בזמן היא .
נשים לב גם שהבעיה הנתונה היא עם תנאי שפה מסוג תנאי דיריכלה.

נרצה כעת לפתור את הבעיה בעזרת הפרדת משתנים, בדומה מאוד למה שעשינו במשוואת הגלים. נניח כי הפתרון הוא מהצורה:

כאשר ו- הן פונקציות של משתנה אחד. נגזור את הפתרון:

כעת נבצע את הפרדת המשתנים:

קיים קבוע הפרדה כך ש:

נגיע למערכת מד”ר:

מכיוון ש- אינו הפתרון הטריוויאלי, נובע כי:

וקיבלנו בעיית שטורם-ליוביל רגולרית על הפונקציה :

זוהי בעיה שכבר פתרנו בעבר, והסקנו כי הע”ע והפ”ע שלה הן:

נציב את ערכים אילו במד”ר ל-:

ונקבל כי:

קיבלנו סדרה של פתרונות למשוואה ולתנאי שפה:

על פי עיקרון הסופרפוזיציה, פתרון כללי שיקיים את המשוואה ותנאי השפה יהיה מהצורה:

נרצה גם שהפתרון יקיים את תנאי ההתחלה:

הדרך היחידה בה ניתן לקבל את השוויון הנ”ל היא כאשר אגף ימין הוא הפיתוח של לפי הפ”ע של הבעיה. כלומר כאשר:

דוגמה:

נפתור את בעיית החום עבור תנאי השפה דיריכלה , ותנאי ההתחלה:

נחשב את המקדמים (לפי הנוסחה):

נבצע אינטגרציה בחלקים:

נוכל כעת להמשיך באינטגרציה:

ולכן הפתרון לבעיה שלנו:

תנאים לרציפות וגזירות הטור

כזכור, בשביל פתרון אמיתי, נרצה לוודא לכל הפחות כי הנגזרות המופיעות משוואה מוגדרות עבור הפתרון. כדי לבדוק רציפות וגזירת נצטרך להשתמש במשפט הבא:

משפט:

תהי סדרת פונקציות רציפות בקטע .

1. אם קיימת סדרת מספרים כך ש- לכל ו- מתכנס אז הטור מתכנס לפונקציה רציפה.
2. אם גזירות, הטור מתכנס עבור כלשהו, קיימת סדרת מספרים כך ש- לכל ו- מתכנס, אז הטור מתכנס לפונקציה גזירה בקטע , וניתן לגזור איבר-איבר:

משוואות אי הומוגניות עם תנאי שפה הומוגניים

נביט בבעיית התחלה-שפה אי הומוגנית פרבולית (הטיפול בבעיה אליפטית או היפרבולית הוא דומה) כללית עם תנאי שפה הומוגניים:

התנאי שפה הנתונים הם תנאי דיריכלה, אבל ניתן גם להרחיב למקרה היותר כללי של תנאי נוימן או תנאים מעורבים. באותו אופן עבור התנאי התחלה, שיכל להינתן גם עבור הנגזרת .

את הבעיה הזאתי נפתור באופן מאוד דומה לבעיות הומוגניות. למעשה, אנו נפתור את הבעית שטורם ליוביל ההומוגנית המתאימה כדי למצוא ע”ע ופ”ע, ואת אנו נמצא ע”י הצבה בפתרון הכללי ופיתוח לטור פורייה.
בפיתוח זה נמצא סדרת (או סדרות) מקדמים ב-, ונמצא ביטוי מפורש אליהם ע”י הצבת תנאי ההתחלה.

---

תרגיל:
נתונה הבעיה הבאה:

פתרון:
המשוואה ההומוגנית המתאימה היא:

נפתור בעזרת שיטת הפרדת המשתנים:

נציב במשוואה:

ונקבל כי:

נרצה לקבל עבור בעיית שטורם ליוביל מוכרת, ולכן נשאיר את ה- בצד של :

נמצא את הפונקציות העצמיות, ולאחר מכן אנחנו לא נפתור עבור בשיטה זו, אלא נשתמש בשיטה אחרת שנראה בהמשך כדי למצוא את .
הבעיית שטורם ליוביל עבור , אחרי שהתחשבנו בתנאי שפה:

נמצא כי:

נמצא את -ים המתאימים. אנו לא נציב במשוואה שקיבלנו מקודם כי היא נכונה עבור המשוואה ההומוגונית, ואנו רוצים למצוא את הפתרון עבור המשוואה האי הומוגונית.
אז, נניח שלכל קיימת ואז הפתרון הכללי:

נגזור ונציב במשוואה האי הומוגונית:

נצטרך לפתח את לפי פונקציות עצמיות כדי למצוא את . לפי השוואת מקדמים:

מתקיים:

ולכן המקדמים:

במקרה שלנו ו-, ולכן:

נבצע השוואת מקדמים עם כדי למצוא את :

זוהי מד”ר שצורתה ההומוגנית:

שפתרונה (ההומוגני):

כאשר .
מאחר והיא אי הומוגנית, והחלק האי הומוגני שלה הוא פולינום ממעלה , נציע פתרון פרטי (כמו במד”ר במשוואות לא הומוגניות):

נציב במד”ר:

מצאנו את ה- שלנו:

נותר להציב בפתרון הכללי:

כדי למצוא את , נציב את התנאי התחלה:

נשים לב שאנחנו אפילו לא צריכים לפתח את אגף ימין, כי הוא מצורה פשוטה. אפשר פשוט להראות כי:

נעביר אגפים:

ולכן פתרון של הבעיה:

נרצה לדעת האם זהו פתרון אמיתי. נשים לב כי:

משיקולים מתרגילים קודמים, נשים לב כי הפתרון בעל קצב התכנסות של ולכן מתכנס, ולפיכך רציף. כאשר נגזור פעם אחת (עם או עם ), נקבל קצב התכנסות של , ולכן מתכנס, ולפיכך גזיר ברציפות.
עבור ו- כבר נקבל קצב התכנסות של , ולכן לא בהכרח נוכל לדעת האם הוא גזיר פעמיים ברציפות. נסיק כי אנו לא יודעים האם הפתרון האמיתי.

משוואות עם תנאי שפה אי הומוגניים

אם בבעיה שלנו נתונים תנאי שפה אי הומוגניים, ניצור בעיה חדשה עם תנאי שפה הומוגניים שממנה נוכל בקלות לעבור בחזרה לבעיה המקורית שלנו.
ישנם מספר אפשרויות לתנאי השפה:

כאשר נתונה בעיה כזו, נאפס קודם כל את תנאי השפה:

עבור , נציע:

עבור , נציע:

ואז נגדיר:

ונדרוש שתנאי השפה עבור יהיו הומוגניים.

למשל, עבור תנאי שפה , נציע:

ולכן נגדיר:

נדרוש שתנאי השפה של יהיו הומוגניים:

ולכן:

אם נבצע זאת עבור כל אחד מהמקרים, נקבל את הפונקציות תיקון עבור כל המקרים:

---

תרגיל:

נתונה הבעיה:

פתרון:
נציע (לפי הנוסחאות שפיתחנו):

ונבנה בעיה חדשה עבור (ישנם מספר שיטות, אנו פשוט נרשום במקום , ונמצא את החלק האי הומוגוני החדש):

נבנה את התנאי התחלה:

תנאי השפה החדשים:

קיבלנו את אותה הבעיה שפתרנו בפרק קודם:

הפתרון שלה:

כאשר .
נותר פשוט להציב:

---

אינטגרל האנרגיה ויחידות הפתרון

שיטת האנרגיה היא שיטה יסודית בתאוריה של משוואות חלקיות. אחד היישומים הפשוטים הוא להוכחת יחידות הפתרון לבעיות התחלה-שפה. השיטה במקורה היא בעלות משמעות פיזיקלית - במקרים רבים סך האנרגיה של מערכת נתונה אינו יכול לגדול כפונקציה של הזמן. אך יש לזכור כי האובייקט שמתמטית אנו מכנים אותו אנרגיה אינו בהכרח האנרגיה המתמטית של המערכת הפיזיקלית.

כדי להוכיח את היחידות עבור בעיית התחלה-שפה לינארית, מספיק להראות כי הפתרון היחיד של הבעיה ההומוגנית עם תנאי שפה והתחלה הומוגניים הוא פתרון האפס.

עבור בעיות הומוגניות מסוימות ניתן להגדיר אינטגרל אנרגיה, כך שאינטגרל זה הוא פונקציה של הזמן . מראים שזו פונקציה אי-שלילית שאינה עולה. בנוסף, עבור האנרגיה היא אפס ולכן היא אפס תמיד. בגלל חיוביות האנרגיה והתנאים הנלווים נובע כי הפתרון הוא אפס באופן זהותי.

כדי להוכיח את יחידות הפתרון, נשתמש בשיטת אינטגרל האנרגיה:

• עבור משוואת החום , נשתמש ב:
• עבור משוואת הגלים , נשתמש ב:

---

תרגיל:
נתונה הבעיה:

הוכיחו שאם לבעיה יש פתרון אמיתי, אז הוא יחיד.

פתרון:
נניח שיש לנו שני פתרונות אמיתיים . נגדיר:

נרשום את הבעיה החדשה עבור :

נשתמש באינטגרל האנרגיה:

נרצה לדעת מה קורה לפונקציה הזאת כתלות בזמן. לכן, נגזור אותה (אנו יכולים כי הנחנו כי הפתרונות אמיתיים ):

נוכל לפי משפט (שלא נסביר כי אין לנו כוח) להכניס את פעולת הגזירה לאינטגרל:

נבצע אינטגרציה בחלקים:

ולכן:

קיבלנו כי , ולכן:

כלומר:

נציב ונראה כי:

לכן:

ולפיכך:

מאחר והאינטגרנד רציף, וערך האינטגרל הוא , נסיק כי גם האינטגרנד הוא זהותית :

מכיוון ששני הביטויים בצד שמאל חיוביים, מהמשוואה נסיק כי:

לפי שני המשתנים הנגזרת היא אפס, ולכן בעצמה היא קבוע כלשהו:

מתנאי התחלה, , ולכן:

נסיק כי .