CAL2_010 נקודות אקסטרמום

הערות:

כל הגדרה כאן ניתן בקלות להרחיב לפונקציה ב- משתנים.

נקודות קריטיות

ניזכר בנקודות קריטיות של פונקציות במשתנה אחד.
ישנו גם אנלוג בפונקציה בשני משתנים:

נקודה קריטית בשני משתנים

הגדרה:

תהי מוגדרת בתחום הפתוח . נאמר שהנקודה היא נקודה קריטית של אם מתקיימים אחד מהתנאים הבאים:

1. נקודות בהן .
2. נקודות בהן אחת מהנגזרות החלקיות לא מוגדרת ב-.

דוגמאות:

1. מצא את הנקודות הקריטיות הפונקציות הבאות:

פתרון:
נמצא נקודות חשודות:

נסיק כי היא נקודה קריטית של .
עבור :

הנגזרת החלקית של לפי לא מוגדרת ל- ולכן היא נקודה קריטית.

מקסימום ומינימום מקומי

הגדרה:

תהי הפונקציה בתחום והנקודה נקודה פנימית ב-. נאמר ש- היא נקודת מקסימום מקומי של אם קיים עיגול פתוח המוכל כולו ב- , וכך שלכל בעיגול זה מתקיים:

באותו אופ עבור נקודת מינימום מקומי:

הערות:

1. נקרא לנקודות מינימום ומקסימום מקומיים גם אסקטרמומים.

מקסימום ומינימום מוחלט

הגדרה:

תהי מוגדרת ב- נאמר שב- יש ל- מקסימום מוחלט ב- אם לכל ב- מתקיים:

באותו אופן נאמר כי הוא מינימום מוחלט אם:

משפט פרמה לשני משתנים

• פרמה למשתנה אחד.

משפט:

תהי הפונקציה המוגדרת ב- בעלת מקסימום או מינימום מקומי בנקודה . אם קיימות בנקודה זו הנגזרות חלקיות של , אז מתקיים:

אלגוריתם: מציאת נקודות קיצון מוחלטות בתחום

עבור פונקציה בתחום :

1. נבנה רשימה של נקודות חשודות:
   • נקודות קריטיות
   • נקודות על גבול התחום
   • נקודות ב”פינות” על גבול התחום (נקודות התפר בין גבולי התחום השונים, במידה וישנם מספר תוחמים שונים).
2. מבין כל הנקודות, אלה בעלי הערכים הכי גדולים והכי קטנים הם המינימום/המקסימום המוחלטים בתחום.

מבחן הנגזרת השנייה

מבחן הנגזרת השנייה לפונקצייה בשני משתנים

• מבחן הנגזרת השנייה למשתנה אחד.

משפט:

תהי גזירה פעמיים ברציפות לפי ולפי בנקודה , ומתקיים:

נסמן את הדיסקימיננטה :

אזי:

1. אם ו-, אז היא נקודת מינימום מקומי.
2. אם ו-, אז היא נקודת מקסימום מקומי.
3. אם , אז היא נקודת אוכף.
4. אם , אין מידע - דרושה חקירה נוספת.

מזכיר משהו?

גבעות גורל.

הסבר לדיסקרימיננטה:
(לקוח מ-Khan Academy)

נתרכז בביטוי הראשון:

ניתן לחשוב על זה כביטוי חכם המעיד אם הקמירות/קעירות של הגרף היא היא זהה גם בכיוון וגם בכיוון . למשל, נביט בפונקציה :

יש לה נקודת אוכף בנקודה ב-. הנגזרות השנייה שלה לפי היא חיובית:

כלומר, הפונקציה קמורה כלפי מעלה כאשר אנו נעים בכיוון .
לעומת זאת, הנגזרת השנייה לפי היא שלילית:

כלומר, הפונקציה קעורה כלפי מטה כאשר אנו נעים בכיוון .
חוסר ההתאמה בין ו- מניב לנו נקודת אוכף, וניתן להסיק זאת מהערך השלילי של המכפלה של שני הנגזרות השניות:

מאחר ו- יכל להיות רק חיובי, כאשר נתחשב גם בו, נסיק כי הביטוי רק ייעשה עוד יותר שלילי:

במקרה בו שתי הנגזרות השניות באותו סימן - שתיהן חיוביות או שתיהן שליליות, כיווני ה- וה- מסכימים לגבי הקמירות/קעירות של הפונקציה. בכל מקרה, הערך יהיה חיובי.

אבל, זה לא תמיד מספיק.

נביט בפונקציה:

כעת מתקיים:

כיוון שהנגזרות השניות ו- שתיהן חיוביות, נסיק שהגרף קמור כלפי מעלה כאשר אנו נעים בכיווני ה- או ה-. אבל, אם נביט בגרף הפונקציה, כאשר אנו משנים את ערך ה- מ- ל-:

לחצו על הכפתור אנימציה בצד שמאל למטה.

נשים לב כי גם כיוונים אחרים חוץ מה- וה- חשובים לסיווג הנקודה הקריטית. אם נביט רק בגרף :

יש לה נקודת אוכף ב-. לא כי יש חוסר התאמה בין הנגזרות החלקיות לפי ו-, אלא בגלל שיש קמירות כלפי מעלה בכיוון , וקעירות כלפי מטה בכיוון .

נחשב את הביטוי הדיסקרימיננטה המלא:

כאשר , כל הביטוי שלילי, ואז לפי מבחן הנגזרת, קיבלנו כי אכן יש נקודת אוכף. כאשר , הביטוי חיובי, ויש ל- נקודת מינימום מקומית.

ניתן לחשוב על הביטוי כמדד לכמה הפונקציה דומה לפונקציה בסביבה של הנקודה .

מה אבל יש אינסוף כיוונים, איך רק 3 ביטויים מכסים את כולם? איפה ההסבר האלגברי???

Reasoning behind second partial derivative test (article) | Khan Academy

נרצה כעת להרחיב את משפט הנגזרת השנייה לפונקציה ב- משתנים. לשם כך נגדיר:

מטריצת הס

הגדרה:

תהי פונקציה (ב- משתנים). אם גזירה פעמיים לפי כל המשתנים שלה, אז המטריצת הס של היא מטריצה מסדר המוגדרת באופן הבא:

ציטוט מנאדר:

“אני עשיתי טעות טוטאלית כשהסכמתי ללמד את הקורס הזה…”

אז עבור :

עבור :

מאחר ונעסוק כאן בפונקציות גזירות פעמיים ברציפות, לפי משפט:

כלומר, מטריצת הס שלנו תהיה מטריצה סימטרית.

מטריצה מוגדרת חיובית

הגדרה:

נאמר כי מטריצה ריבועית סימטרית היא מטריצה מוגדרת חיובית אם כל הערכים עצמיים שלה חיוביים.

ניתן לומר שמטריצה סימטרית היא לכסינה (משפט שאין טעם להרחיב עליו כאן), ולכן קיימים עבורה ערכים עצמיים ממשיים.

הערות:

1. ההגדרה האמיתית של מטריצה מוגדרת חיובית שונה, אבל אין טעם להתייחס אליה בקורס זה.
2. באותו אופן נגדיר מטריצה מוגדרת שלילית.

משפט הנגזרת השנייה הכללי

משפט:

אם גזירה פעמיים ברציפות לפי ומקיימת את התנאי:

בנקודה , אז עבור המטריצת הס שלה:

1. אם היא מוגדרת חיובית בנקודה, אז זוהי נקודת מינימום מקומית.
2. אם היא מוגדרת שלילית בנקודה, זוהי נקודת מקסימום מקומית.
3. אם חלק מהע”ע העצמיים שלה חיוביים וחלק שליליים, זוהי נקודת אוכף.
4. אם אחד מהע”ע העצמיים הוא , והשאר בעלי אותו סימן, אין מידע, נדרשת חקירה מעמיקה יותר.

למה?

וואלק אין לי שמץ. ניסיתי לקרוא על זה, וזה דורש הבנה טיפה יותר מעמיקה של אלגברה לינארית וקירובים ריבועיים.

בחלק מהמקרים, חישוב הערכים העצמיים של המטריצת הס הוא בעייתי ומסורבל. למזלנו, יש תנאי מספיק והכרחי הקובע כי אם כל ה**מינורים הראשיים** של המטריצה חיוביים, אז המטריצה מוגדרת חיובית:

תנאי סילבסטר

מי???

משפט:

תהי מטריצה סימטרית ממשית מסדר . אזי מטריצה מוגדרת חיובית אמ”ם המינורים המובילים הראשיים (כל הדטרמיננטות הבנויות מריבוע המתחיל באינקס ) חיוביים.

במינורים המובילים הראשיים, הכוונה לדטרמיננטות של המטריצות המסומנות בירוק:

אם ניקח לדוגמה את המטריצת הס של פונקציה בשני משתנים (גזירה ברציפות פעמיים וכו’):

נוכל לדעת אם היא מוגדרת חיובית אם:

שזה שקול ל:

קיבלנו את מבחן הנגזרת השנייה לפונקצייה בשני משתנים.

עבור 3 משתנים:

נוכל לדעת אם היא מוגדרת חיובית אם:

הערות:

1. כמובן באותו אופן נוכל לומר לגבי מטריצה מוגדרת שלילית.
2. אם אנו מקבלים כי חלק שליליים וחלק חיוביים, לא נוכל להסיק מסקנות לגבי אם המטריצה מוגדרת חיובית/שלילית. ניאלץ לחזור ולבדוק ע”ע אם נרצה לבצע את מבחן הנגזרת השנייה.

תרגילים:

1. נתונה הפונקציה . מצאו את כל הנקודות הקריטיות ומיינו אותם.
   פתרון:
   נגזור: שתי הנגזרות מתאפסות בנקודות:

נחשב את הנגזרות השניות:

ההסיין בנקודה הוא:

ולכן זוהי נקודת אוכף.
לרבקה לא היה כוח לחשב עבור הנקודות האחרות.
2. נתונה המשוואה:

- האם מוגדרת באופן יחיד בסביבת .
פתרון:
נסמן:

נמצא את בנקודה :

נקבל כי .
בנוסף, בעלת נגזרות חלקיות בנקודה ובסביבתה. מתקיים גם:

לכן לפי משפט הפונקציות הסתומות, מוגדרת באופן יחיד.
נגזור את המשוואה לפי :

נציב :

נגזור את המשוואה לפי :

נציב , ונקבל גם:

- הראו כי לפונקציה יש נקודה קריטית ב- וקבעו את סוגה.
פתרון:
נחשב נגזרות מסדר שני. נגזור את שוב לפי . נציב קודם לגזירה :

נגזור לפי :

נציב (וגם ):

נגזור את לפי , כאשר נציב קודם :

נגזור לפי :

נציב (וגם ):

נגזור את לפי , ונקבל:

נסיק כי ההסיין:

נסיק כי זוהי נקודת אוכף.

כופלי לגראנז’

מציאת אקסטרמומים בפונקציות בשני משתנים או יותר יכולה להיות מעיקה - גבולות התחום יכולים להיות בעייתים ולא נוחים לחישובים.

שיטת כופלי לגראנז’ באה ונותנת דרך יותר פשוטה למציאת אקסטרמומים של פונקציה תחת אילוצים מסוימים (כלומר, בתחום מסוים, או כל הגבלה אחרת). נעסוק באילוצים מהסוג:

נביט בדוגמה הבאה (לקוח מ-Khan Academy).
עבור הפונקציה (שלמעשה מתארת מישור):

והאילוץ:

ננסה למצוא את הערך הכי גדול של תחת האילוץ . כלומר, אם נטיל את המעגל על הפונקציה , באיזה נקודה נקבל מקסימלי?

נוכל להיעזר בקווי גובה של :

ונשים לב כי ישנה תופעה מעניינת כאשר אנו מטילים אותם על מישור :

מה זה אומר שהם נחתכים? מה זה אומר כשהם משיקים? כשהם לא נחתכים בכלל?
אם ו- נחתכים, זה אומר שישנם ערכי המקיימים את שתי המשוואות הבאות:

יותר מכך. ישנם ערכי עבורם ו- משיקים:

ובנקודות אלו מקבלת את האקסטרמומים שלה. למה? זכרו כי הוא למעשה ערך הפונקציה . לכן, ברגע שקו הגובה רק מתחיל לנגוע ב-, כלומר משיק, אז ערך הוא מינימלי/מקסימלי. לכן, ערך הוא מינימלי/מקסימלי.

עבור שהיא לא מישור, מסקנה זו עדיין תקפה:

נוכל לחשוב על המשוואה גם כקו גובה של הפונקציה , ונסיק כי כאשר שתי העקומות ו- משיקות, אז הנורמלים של שתי העקומות בנקודות ההשקה באותו כיוון.

אנחנו יודעים כי ממשפט הגראדינט נורמל לקו הגובה בנקודה. נוכל לקבוע כי הגראדיאנטים של שתי הפונקציות באותו כיוון. או, במילים אחרות, פרופרציונליים:

כופל לגראנז’

משפט:

תהי הפונקציה בתחום ב-, והעקומה . אם ו- גזירות ברציפות בנקודה אם מתקיימים כל התנאים:

1. השוויון .
2. התנאי: .
3. הנקודה היא נקודת אקסטרמום של תחת .

אז קיים כופל לגראנז’ המקיים:

באופן שקול נוכל לרשום:

אלגוריתם: שיטת כופלי לגראנז’ למציאת מינימום ומקסימום

1. מגדירים .
2. פותרים את המערכת .
3. מציבים את הנקודות בחזרה ב- ומחליטים על ערכי המינימום והמקסימום.

הערות:

1. לפונקציה קוראים לגראנז’יאן.
2. בפתרון המערכת , אנו בעצם בונים את מערכת המשוואות הבאה:

3. לפעמים נגדיר . הסימן לא באמת משנה, נקבל את אותם התוצאות.

הערות:

1. זוהי שיטה רק למציאת נקודות מינימום ומקסימום על שפת התחום, לא בתוכו! כדי למצוא בתוך התחום, יש להשתמש באלגוריתם מציאת נקודות קיצון מוחלטות בתחום, כאשר בעזרת כופלי לגראנז’ מוצאים את האקסטרמומים על שפת התחום.
2. אם התחום מורכב ממספר משוואות סתומות, אז צריך לפרק את אילוץ זה לכל השפות השונות של התחום, ועל כל שפה בנפרד להשתמש בכופלי לגראנז’. בנוסף, כל נקודת פינה (חיתוך של שתי שפות) היא גם נקודה חשודה, כי כופלי לגראנז’ “מדלגים” על נקודות אילו.
3. נקודות בהן גם הן נקודות חשודות, כי גם עליהן כופלי לגראנז’ “מדלג”.

תרגילים:

1. מצאו את הערך הגדול ביותר והקטן ביותר של הפונקציה בתחום:

    **פתרון**:
    בתוך התחום:
    $$
    \begin{gather}
    f'_{x}=y=0 \\
    f'_{y}=x=0
    \end{gather}
    $$
    קיבלנו $(0,0)$.
    לא בתוך התחום ולכן לא נתחשב בנקודה זו.
    על התחום, ניעזר בכופל לגראנז':
    $$
    F=xy+\lambda(x^{1/2}+2y^{1/3}-1)
    $$
    נגזור:
    $$
    \begin{aligned}
    &F'_{x}=y+\frac{1}{2}\lambda x^{-1/2}=0 \\
    &F'_{y}=x+\frac{2}{3}\lambda y^{-2/3}=0 \\
    &F'_{\lambda}=x^{1/2}+2y^{1/3}-1=0
    \end{aligned}
    $$
    מפתרון מערכת המשוואת נקבל:
    $$
    \left( \frac{4}{25}, \frac{27}{1000} \right)
    $$
    בשפות $x=0, y=0$ מתקיים $f'=0$. לכן גם כל נקודות אלו חשודות.
    נציב את כל הנקודות החשודות בחזרה בפונקציה ונקבל כי $f$ מקבלת ערך מקסימלי ב-$\left( \frac{4}{25},\frac{27}{1000} \right)$.
   

2. נתונה הפונקציה:
   
   המוגדרת על פני המשטח:
   
   מהו הערך המינימלי/מקסימלי של על פני ?
   פתרון:
   
   נגזור:
   
   אפשרות 1:
   
   אבל זה לא מקיים אילוץ.
   אפשרות 2:
   
   נציב באילוץ , ונקבל . לפי סימטריה נבצע זאת עבור ו- ונקבל כי גם:
   
   נקודות חשודות. בסך הכל 6 נקודות שבכולן .
   אפשרות 3:
   
   נקבל:
   
   נציב באילוץ:
   
   נקבל:
   
   מטעמי סימטריה נקבל 12 נקודות שבכולן .
   אפשרות 4:
   
   ולכן:
   
   נציב באילוץ:
   
   נקבל:
   
   מטעמי סימטריה נקבל 8 נקודות שבכולן .
3. יהי פרמטר, ונגדיר:
   
   - מצאו אם ישנן נקודות קיצון מקומי של ברביע הראשון וסווגו אותן.
   פתרון:
   
   
   
   לכן , או . ביקשו ברביע הראשון ולכן נתעסק באפשרות השנייה:
   
   כלומר:
   
   נסווג לפי הסיין:
   
   נקבל:
   
   בנוסף, , ולכן הנקודה שמצאנו היא מינימום מקומית.
   - הוכח כי אין לפונ’ מקס’ ב-, ומצאו את המינימום בתחום זה.
   
   פתרון:
   תהי נקודה בתחום :
   
   
   נציב בפונקציה:
   
   וזהו מספר גדול כרצוננו, כלומר ל- אין מקסימום:
   
   עבור המינימום, נביט מחוץ לתחום :
   
   על ציר , ו-:
   
   על ציר . כלומר נקבל ולכן המינימום מתקבל על השפה או בתוך התחום. כעת כל מה שעלינו לעשות זה להשתמש בכופלי לגראנז’, אבל לא נעשה את זה כי לרבקה אין כוח.