ALG1_010 וקטורים עצמיים וערכים עצמיים

ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים

ערך עצמיים ווקטור עצמי

הגדרה:

יהי אופרטור לינארי כש- מ”ו מעל השדה . אומרים שהסקלר הוא ערך עצמי של אם קיים כך ש:

וקטור זה ייקרא ווקטור עצמי השייך לערך העצמי .

דוגמאות:

1. עבור אופרטור הגזירה.

אזי: וקטור עצמי, ערך עצמי.

לכסון

הגדרה:

יהי אופרטור לינארי. אומרים ש- ניתן ללכסון, אם קיים בסיס של , כך שהצגת לפיו, היא אלכסונית. כלומר לפי בסיס :

תנאי הכרחי ללכסינות אופרטור

משפט:

אופרטור לינארי לכסין אמ”ם יש ב- בסיס שכולו מורכב מוקטורים עצמיים של .

הוכחה:
אופרטור לינארי לכסין אמ”ם (לפי הגדרה) יש בסיס של כך ש:

אזי:

שזה שקול לכך ש- הוא בסיס שכולו מורכב מוקטורים עצמיים של .

הערות:

1. אם לכסין, אז באלכסון הראשי של ההצגה האלכסונית, מופיעים הערכים העצמיים המתאימים.

ע”ע וו”ע למטריצה

הגדרה:

תהי . אומרם שהמספר הוא ערך עצמי של אם קיים כך ש-. כזה נקרא וקטור עצמי של , המתאים לע”ע .

התאמה בין אופרטור למטריצה המייצגת שלו

משפט:

יהי אופרטור לינארי ו- מטריצה מייצגת של לפי בסיס כלשהו סדור . אזי ל- ול- אותם ערכים עצמיים ו- ו”ע של ו”ע של .

הוכחה:
מתקיים:

הערות:

1. מתקיים:

ולכן כשיר כו”ע של .

דוגמאות:

1. תהי . מצאו את כל הע”ע והו”ע של .
   פתרון:
   יהי . נדרוש:

למערכת ההומוגנית יש פתרון לא טריוויאלי אמ”ם מטריצת המקדמים לא הפיכה.
לכן נדרוש על דטרמיננטת מטריצת המקדמים להיות :

הביטוי שקיבלנו נקרא הפולינום האופייני (פ”א) של . שורשי הפולינום האופייני הם הע”ע .

פולינום אופייני וריבוי אלגברי

הגדרה:

הריבוי של ע”ע כשורש של הפולינום האופייני, נקרא הריבוי האלגברי (ר”א) של . נסמן אותו .

בדוגמא שלנו, כל ע”ע מריבוי אלגברי .

מרחב עצמי

הגדרה:

קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית שמתקבלת עבור ע”ע , נקראת המרחב העצמי של . כאשר כוללים את במרחב זה כשיודעים שהוא לא יכל להיות ו”ע.

בדוגמא שלנו:

• עבור :
• עבור :

ריבוי גיאומטרי

הגדרה:

מימד המרחב העצמי של נקרא הריבוי הגיאומטרי (ר”ג) של . נסמן אותו .

בדוגמא שלנו, נסיק שהריבוי הגיאומטרי של הוא .

אלגוריתם: מציאת ע”ע וו”ע

נכתוב את האופרטור כמטריצה מייצגת:

נדרוש .
למערכת יש פתרון לא טריוויאלי אמ”ם:
מתקיים:

שורשי הפתרון הם הע”ע. מציבים במערכת למציאת הו”ע.

הגדרה:

תהי אומרים ש- ניתנת ללכסון אם דומה לאלכסונית. כלומר אם קיימת הפיכה, כך ש:

ו- נקראת המטריצה המלכסנת.

שאלה: מאיפה לעזאזל הגיע דמיון מטריצות?

תשובה:
דמיון מטריצות אנלוגי להצגת אותו אופרטור לינארי ע”י שני בסיסים. אם אחת מהמטריצות אלכסונית, זה אומר שאפשר להציג את האופרטור ע”י מטריצה אלכסונית, ולכן לפי הגדרה, הוא לכסין.

מטריצה לכסינה אמ”ם יש לה ו”ע בת”ל

משפט:

המטריצה לכסינה (כלומר דומה לאלכסונית) יש לה ו”ע בת”ל.

הערות:

1. מסתבר שאם לכסינה אז המלכסנת בנויה מהו”ע הבת”ל בעמודותיה.
   הסבר:
   ניזכר שמתקיים:

כש- היא מטריצת המעבר מהבסיס לבסיס . כלומר בדוגמתנו הקודמת מעבר מהבסיס הסטנדרטי לבסיס של הו”ע.
למשל, אם יצאו ו”ע:

אז:

אכן מופיעים בעמודות הו”ע הבת”ל.

דוגמאות:

1. תהי כך ש- הוא שיקוף כל נקודה במישור ביחס לישר .

• מצא את כל הערכים העצמיים כולל ריבוייהם האלגבריים והגיאומטריים. בנוסף קבע את כל הו”ע המתאימים.
  לפי הנתון:

ולכן:

נדרוש:

קיבלנו ו- כל אחד מריבוע אלגברי . נציב במערכת:

עבור

קיבלנו:

הריבוי הגיאומטרי של הוא .
עבור :

הריבוי הגיאומטרי של הוא גם .

• קבע האם לכסין. אם כן, מצא הפיכה ו- אלכסונית, כך ש-.
  נמצאו 2 () ו”ע בת”ל כי הם לא פרופורציונליים לכן לכסין.
  מתקיים:

ו”ע של ע”ע שונים הם בת”ל

משפט:

נניח הם ע”ע שונים של עם ו”ע מתאימים . אז הקבוצה בת”ל.

דוגמאות:

1. תהי:

קבע האם היא לכסינה, מבלי למצוא את הו”ע שלה.
פתרון:

קיבלנו 3 ע”ע שונים ולכן לפי המשפט, מתאימים להם 3 ו”ע בת”ל. לפי משפט, לכסין.

מסקנה:

1. במשולשת, הע”ע באלכסונה הראשי.
2. תנאי מספיק (אך לא הכרחי) ללכסון:
   אם ל- יש ע”ע שונים, אז ודאי ש- לכסינה.
   התנאי לא הכרחי, סתם למשל, מטריצת היחידה . כנ”ל מטריצת האפס.

תכונות הריבוי הגיאומטרי

מסקנה:

הריבוי הגיאומטרי שווה ל- .
הוא גם מספר הו”ע הבת”ל ששייכים ל-.

ניסוח נוסף של התנאי המספיק ללכסינות

משפט:

אם הפ”א מתפרק לגורמים לינאריים ושונים זה מזה מעל שדה , אז לכסינה מעל שדה זה.

צמוד של ע”ע ו-ו”ע

משפט:

תהי ממשית. אם , אז גם הו”ע העצמיים המתאימים מקיימים .

דוגמאות:

1. תהי . מצא את כל הע”ע כולל ריבוי אלגברי וגיאומטרי, כל הו”ע. קבע האם לכסינה. אם כן, מצא מלכסנת ו- אלכסונית דומה:

• מעל .
  פתרון:

מעל אין ע”ע, ודאי שאין ו”ע, ודאי שלא לכסינה.

• מעל .
  פתרון:

לכל אחד ריבוי אלגברי .
עבור :

ניתן לדעת ישירות ש-, כי הרי אם , אז היה לנו הפתרון הטריוויאלי. כלומר , אבל אנו מחפשים וקטורים ששונים מאפס, אז הפתרון של הממ”ל חייב להיות בעל דרגה שקטנה מ-. באופן יותר כללי, קטן מ-. נחזור לתרגיל, מספיק לנו רק השורה הראשונה:

קיבלנו ולכן, הריבוי הגיאומטרי .
מצאנו פתרון כללי:

יהי החופשי. נבחר :

לכן וקטור עצמי של :

לפי המשפט, עבור , ו”ע מתאים הוא:

קיבלנו לכסינה מעל כי מצאנו לה 2 ו”ע בת”ל.
נמצא את ואת :

נחזור לשמורות הדמיון.

שמורת הפולינום האופייני

טענה:

אם דומות, אז יש להן אותו פולינום אופייני.

הוכחה:

שמורת הערכים העצמיים

טענה:

אם ו- דומות, אז יש להן אותם ע”ע (כולל ריבויים אלגבריים מתאימים).

ריבוי אלגברי גדול שווה לריבוי גיאומטרי

משפט:

לכל ע”ע מתקיים: הריבוי האלגברי הריבוי הגיאומטרי. כלומר, אם הופיע בריבוי בפולינום האופייני, אז יתיאמו לו לכל היותר ו”ע בת”ל.

תרגילים:

1. הוכיחו כי לא הפיכה הוא ע”ע של .
   פתרון:
   המטריצה לא הפיכה קיים וקטור כך ש-. נוכל גם לכתוב: וזה, הוא ע”ע של .
2. תהא הפיכה. הוכיחו כי ע”ע של , אז ע”ע של .
   פתרון:
   הע”ע אם ו”ע . לכן: נכפול בשמאל ב-: ולכן הוא ע”ע של (לפי הגדרה).

תרגילים:

1. נתונה המטריצה: מצאו פ”א, ע”ע, ר”א, ר”ג, לכסינה?
   נחשב את הפ”א: נחשב את הו”ע: לאחר דירוג נקבל: ולכן נוכל להסיק כי ישנם 2 ד”ח, ולכן הר”ג של הוא .
   לכן: ולכן מרחב הפתרונות: כלומר: שניהם ו”ע (בת”ל) של ע”ע .
   עבור : לאחר דירוג, ופתירת המערכת נקבל:

תרגילים:

1. נתונה כאשר: האם לכסינה? אם כן, מצאו בסיס כך ש- אלכסונית.
   פתרון: ראינו כבר את המטריצה הזאת בדוגמה קודמת ומצאנו כי היא לכסינה, כאשר מטריצת המעבר למטריצה האלכסונית היא: ולכן הבסיס הוא:
2. מצאו הפיכה ו- אלכסונית כך ש-. פתרון:
   המטריצה לא הפיכה ולכן הוא ע”ע. בנוסף, , ולכן גם הדרגה של היא . לכן . כלומר, הר”א של הוא .
   נשים לב כי מתקיים: ולכן ע”ע עם ו”ע .
   לפי משפט, ולכן .
   מצאנו את כל הע”ע, כעת נחשב את הו”ע:
   עבור : ולכן: עבור : עבור : ואת זה מצאנו מיידית, כי העמודה הראשונה של היא כפולה ב- (הע”ע) שלה. נוכל להסיק כי:

סכום ומכפלת הערכים העצמיים

משפט:

לכל מטריצה בעלת ע”ע :

הערות:

1. נובע מויאטה.

משפט קיילי המילטון

משפט:

המטריצה מאפסת את הפולינום האופייני שלה.

הוכחה:
נוכיח עבור לכסינה:
ניתן לכתוב:

ונניח כי הפ”א:

נציב:

ולכן:

כאשר ( הוא סימון):

קיבלנו כי:

אבל הוא אפס, כי זוהי פשוט הצבת הע”ע בפולינום האופייני, והע”ע הוא שורש של הפולינום האופייני.
לכן:

תרגילים:

1. נתון: אלו מהמטריצות דומות?
   פתרון:
   מתקיים , ולכן לא דומה ל-. נבדוק אם דומות:
   ל- 3 ע”ע שונים ולכן לכסינה. כלומר, דומה ל: אם אז ו- דומות.
   נותר לבדוק אם לכסינה והע”ע של הם . אם כן, אזי דומה ל- וסיימנו.
2. נתון כך ש: לאלו ערכי לכסין?
   פתרון:
   נסמן: זהו בסיס. נמצא כי: ולכן: מכך נסיק כי ע”ע עם ר”א=ר”ג=. נמצא מתי הר”ג של הוא : ולכן: ולכן לכסין אמ”ם .

שימושים של קיילי המילטון

1. חישוב חזקה של מטריצה.
   חשבו את כאשר: פתרון: ולפי קיילי המילטון: לכן:

מטריצה סקלרית לכסינה אמ”ם הע”ע העצמי שלה בעל ריבוי .

טענה:

תהי בעלת ע”ע מריבוי אלגברי . אזי, לכסינה אמ”ם:

הוכחה:
הע”ע מריבוי אלגברי . כדי ש- תהיה לכסינה (מעל השדה המתאים), צריך שגם הריבוי הגיאומטרי של , הוא . כלומר נדרוש:

ולכן:

תרגילים:

1. הראו שאין קשר בין לכסינות והפיכות ע”י שתביא דוגמה מכל מצב:

• הפיכה ולכסינה:
• לא הפיכה וכן לכסינה:
• לא הפיכה ולא לכסינה:
• הפיכה, אך לא לכסינה:

הקשר בין ע”ע ופעולות על מטריצה

טענה:

תהי ע”ע של עם ו”ע . אזי:

1. לכל :

כלומר, הוא ע”ע של עם אותו ו”ע .

1. אם :

כלומר, הוא ע”ע של עם אותו ו”ע .

תרגילים:

1. נתח: פתרון:
   מתקיים: ונשים לב כי . לכן ל- יש את הערכים העצמיים: הערכים העצמיים של הם . (לא נראה כאן איך מצאנו אותם) לכן: עם הו”ע העצמיים של :

   הערות:

   1. נשים לב שכיוון של- ול- יש אותם ו”ע, אז כיוון של- יש 3 בת”ל גם לכסינה.
   2. יהי ונתון ש: . נתון גם של- יש ע”ע שונים. הוכח של- ול- יש לכסון משותף (אותה מלכסנת).
      פתרון:
      ל- יש ע”ע שונים היא לכסינה. כלומר, לכל ע”ע של , יש ר”א, ולכן גם ר”ג.
      יהי ו”ע של , המתאים לע”ע שלה ().
      נתבונן ב:

   מתקיים לפי הנתון , ולכן לכל מתקיים:

   ולכן:

   לכן גם ו”ע של , המתאים לע”ע . אבל הר”ג של הוא , לכן ת”ל ב- . כלומר, קיים כך ש:

   קיבלנו כי לפי הגדרה, ו”ע גם של , עם ע”ע . לכן, גם ל- יש אותם ו”ע בת”ל. מכאן של- ול- לכסון משותף.
   3. נתח את המטריצה הבאה:

   המטריצה לא הפיכה, ולכן מר”ג . בנוסף:

   נתבונן ב-:

   נשים לב כי:

   ולכן גם ע”ע של .
   4. האם למטריצות דומות אותם ו”ע?
   פתרון: הטענה שגויה. למשל:

   5. האם ל- ול- אותם ו”ע?
      פתרון: הטענה שגויה. למשל: