SLD2_011 שיטות אנרגיה

אנרגיה אלסטית בקורה

כאשר קורה מסוימת חווה כפיפה, היא אוגרת אנרגיה אלסטית מסוימת. כאשר נחשב את האנרגיה האגורה במבנה נוכל לחלץ ממנה מסקנות לגבי השקיעות שלה.

נתחיל מהאנרגיה האלסטית האגורה במוט שנתון למתיחה או לחיצה חד צירית.

ראינו כבר שהאנרגיה האלסטית ליחידת נפח נתונה ע”י:

ולכן האנרגיה האלסטית בכלל הגוף:

מהדג”ח:

ולכן:

נציב:

נפרק את האינטגרל לאינטגרציה על השטח ואינטגרציה על האורך:

במקרה הנפוץ של קורה אחידה תחת עומס אחיד, לא תלויות ב-, ולכן:

הערה:

נשים לב שאנו רואים כאן בעצם התגלמות של האנרגיה האלסטית של קפיץ:

כאשר , כמו שראינו במוצקים 1.

נביט כעת בעוד דוגמאות נפוצות:

דוגמה:

נביט בדוגמה הבאה של גל (מוט) בעל חתך אחיד הנתון לפיתול :

ממוצקים 1 נזכור ש:

במקרה שלנו, . נרשום את הביטוי לאנרגיה אלסטית האגורה בכלל הקורה:

נפתח את האינטגרנד:

מחוק הוק, . נסכם:

נציב בחזרה באינטגרל:

במקרה שלנו, של קורה אחידה ועומס אחיד:

דוגמה:

נביט בדוגמה של קורה הנתונה לכפיפה:

אנו יודעים שמאמצי הגזירה ו- בכל חתך לאורך הקורה זניחים יחסית ל-.
נרשום את הביטוי לאנרגיה אלסטית האגורה בכלל הקורה:

נפתח את האינטגרנד:

כאשר היא האנרגיה הקשורה לגזירה (עבור יחידת נפח), שנחשב בנפרד בהמשך.
נסיק כי:

מחוק הוק, מאחר ו-, נסיק כי:

נציב:

כדי לחשב את , יהיה לנו נוח לעבוד במערכת ראשית:

נציב:

נפרק לאינטגרל על האורך ואינטגרל על השטח:

נשים לב כי , וגם ולכן הביטוי הופך להרבה יותר פשוט:

שכחנו מ-! אם היינו מפתחים גם עבורו, היינו מגלים ש- מאוד קטן ביחס ל- שמצאנו, ולכן נזניח אותו. בכל זאת, הנה הביטוי הסופי עבורו:

כאשר . פרמטרים אלו הם חסרי מימד, והם נותנים מיד לגבי גיאומטריית החתך בלבד.
ניתן להראות ש- . כאשר נחשב את היחס בין ל-, נקבל ש:

מאחר ואנו מדברים על קורות תמירות בהן , כאשר בריבוע, אנו נקבל ש- , ובכך אנו מזניחים את הצדקתו.

חישוב שקיעות בשיטות אנרגיה

כוחות מוכללים והזזות מוכללות

נסמן ב- את הכוח המוכלל (סכום הכוחות, כולל כיוונים) בכיוון . בנוסף, נסמן ב- את ההזזה המוכללת המתאימה ל-. זוהי קואורדינטה בכיוון של , שמאפשרת לחשב את העבודה שעושה הכוח .

כעת נוכל לרשום ביטוי עבודה שמבצע הכוח :

ראינו במבוא לאלסטיות שהקשרים בין הכוחות להזזות הם לינאריים. לכן נוכל לרשום:

ל- נקרא מטריצת הקשיחות, ו- נקרא מטריצת ההיענות. מטריצות אלו הופכיות, ולכן:

נרחיב טיפה על המשמעות של הרכיבים .

המשמעות הפיזיקלית של מטריצת ההיענות

במקרה בו פועל רק הכוח . לכן:

נסיק כי משמעותו הוא הזזה של עקב כוח מוכלל בגודל יחידה.

מבחינת יחידות, אם היחידות של הם (כלומר, כוח), ועבור הם , אז היחידות של הם .
אם היחידות של הם (כלומר, מומנט), ועבור הם , אז היחידות של הם .

עבודת כוח מוכלל

מאחר וראינו כי היחס הוא קבוע בין ל-, נסיק כי העבודה היא מהצורה הבאה:

משפט ההדדיות של בטי-מקסוול

נביט כעת במשפט הלא אינטואיטיבי הבא:

משפט:

משפט ההדדיות של בטי-מקסוול קובע כי:

כדי להדגים את חוסר האינטואיביות, נדמיין כנף של מטוס, ואדם העומד על הקצה של המטוס. ממשקל האדם, אמצע הכנף שוקעת למטה (נסמן ).
אם האדם עומד באמצע המטוס, קצה הכנף תשקע למטה (נסמן ב-). באיזה מקרה השקיעה תהיה יותר גדולה, או ?
משפט ההדדיות טוען שהם שווים! כלומר, ש- .

הוכחה:
נוכיח ש-, ומהוכחה זו ניתן להכליל בקלות לכל .
נסתכל על שני סוגים של העמסה:

1. נגדיל בהדרגה את בלבד, עד לערכו הסופי. לאחר מכן נגדיל בהדרגה את בלבד, עד לערכו הסופי.
2. נגדיל בהדרגה את בלבד עד לערכו הסופי. לאחר מכן נגדיל בהדרגה את בלבד, עד לערכו הסופי.

כלומר, ההבדל בבין שני סוגי ההעמסה הוא הסדר של מי מועמס קודם - או .

נוכיח שהאנרגיה הסופית בשני סוגי ההעמסה שווה, ולכן בהכרח .

ראינו כבר כי כאשר פועל רק :

כשפועל רק :

עבור העמסה הראשונה, כלומר קודם ואז , נחשב את העבודה:

מאחר והעבודה היא פשוט השטח מתחת לגרף:

עבור ההעמסה השנייה, כלומר קודם ואז .

לכן העבודה:

מאחר והאנרגיה הסופית בשני התהליכים חייבים להיות שווים, אז:

נציב, ונקבל כי:

הערה:

כאשר מדובר בכוחות מוכללים שלא מאותו סוג, כלומר כוחות ומומנטים, אז ל- יהיו מידות שונות. השוויון הוא רק נכון מבחינה מספרית, לא נכון מבחינת מידות.

המשפט השני של קסטיליאנו

את ה- שחישבנו מקודם חישבנו עבור העמסה קוואזיסטטית - כלומר אין איבודי אנרגיה.

נוכל להשוות אותה לאנרגיה האלסטית שאגורה בגוף:

נגזור לפי הכוח , כאשר נשים לב שזוהי נגזרת מכפלה:

נזכור מההדלתא של קרונקר ש- , ולכן:

לפי משפט ההדדיות של בטי-מקסוול מתקיים . לכן:

קיבלנו את המשפט השני קסטיליאנו:

משפט:

הנגזרת של לפי כוח נתונה ע”י:

נביט בדוגמאות שונות לחישוב שקיעות בעזרת שיטות אנרגיה:

דוגמה:

עבור המקרה הבא:

נחשב את השקיעה בקצה הקורה.
במקרה זה, , וההזה שלו היא .

כבר ראינו כי עבור קורה במתיחה/לחיצה חד צירית:

עבור חתך שלילי, במרחק מהקצה, מתקיים:

לכן:

נגזור את הביטוי שקיבלנו עבור ב-, כאשר נשים לב שלפי המשפט, הוא שווה ל-:

קיבלנו נוסחה שחייבים לשנן:

דוגמה:

נביט במסגרת הבאה:

נחשב את ההזזה האופקית של נקודה .
נשים לב כי שיטה זו מאוד מסובכת לפתרון לפי המשוואות הדיפרנציאליות מפרק קודם. לעומת זאת, לפי שיטות אנרגיה, נקבל פתרון בצורה הרבה יותר פשוטה.
נסמן את הקורה האופקית ב- ואת הקורה האנכית ב-.

נשים לב שלפי חתך שלילי בנקודה (כלפי מעלה), מתקיים:

כאשר הוא המרחק האנכי של הקצה מהחתך.
נגזור לפי ונציב:

ולכן:

כאשר אנו מביטים בתוצאה זו, ניתן לראות סוג של סופרפוזיציה בתהליך. כלומר:

הביטוי הוא ההזזה של נקודה כאשר כל האלמנטים המבניים קשיחים לחלוטין, חוץ מאלמנט .

דוגמה:

נתון המבנה הבא:

נחשב את השקיעה בקצה הקורה.

מחתך סמוך לקצה הקורה:

נגזור:

נציב בחזרה בנגזרת של לפי :

עבור כל שנקבל, נוכל להציב בנוסחה זו כדי לקבל את השקיעה בקצה, . גם אם למשל, . מה מיוחד בזה?
אם הבעיה לא הייתה נתונה עם , אלא רק עם עומס מפורש , לא היינו יכולים להשתמש במשפט השני של קסטיליאנו, כי אין לנו כוח מוכלל בקצה הקורה. כלומר, לא נצליח למצוא ביטוי עבור .
אבל, בבעיה עם , כפי שראינו, אנו יכולים פשוט להציב , ויש לנו פתרון. כלומר, אפשר לחשוב על ככוח מדומה שאנו ממציאים רק לפתירת הבעיה, ואז פשוט להציב .

---

תרגיל:
שתי קורות באורך , אשר מהוות מסגרת, מחוברות ביניהן בזווית ישרה בנקודה ורתומות בנקודה . המסגרת נמצאת במישור .
הפרמטרים ו- אחידים (קבועים בכל המסגרת).

חתך הקורות עגול ומלא בקוטר . בנוסף, נתון .
המסגרת מועמסת במומנט , וכן בכוח בנקודה .

עבור שני הסעיפים הבאים

1. מהו גודל זווית הסיבוב בכיוון של חתך ?
2. מהו גודל התזוזה האנכית בכיוון של חתך

עבור שני הסעיפים הבאים , ו-.

3. מהו גודל התזוזה האנכית בכיוון של חתך ?
4. מהו גודל זווית הסיבוב בכיוון של חתך ?

כעת, מחברים בין נקודה לנקודה חוט אנכי באורך , שטח חתך ומודול יאנג . נסמן: .

5. מהו הכוח המתפתח בחוט?

פתרון:

כדי לפתור בעיה זו נשתמש ב”סוג של סופרפוזיציה” שראינו בדוגמאות. נפרק את הקורה לאלמנטים, ונפתור עבור כל אלמנט את הבעיה הנתונה, כאשר נקשיח את כל האלמנטים האחרים במבנה חוץ ממי שאנו עובדים עליו. במקרה שלנו יש רק שני אלמנטים - ו-. בסוף, נבצע על הפתרונות שלנו סופרפוזיציה כדי לקבל את הפתרון הסופי.

בנוסף, נשים לב כי כל פעם שואלים אותנו רק על עומס אחד - או מומנט או כוח.

1. נשים לב כי קיים רק מומנט, ללא כוח בכלל. נפתור פעם כאשר קשיח, ופעם כאשר קשיח.
   

   עבור מקרה , גמיש. נוכל למצוא את הזווית שלנו מטבלת שקיעות:

   עבור מקרה , גמיש:

   לכן זווית הסיבוב הכללית של :

   נקבל כי:

   נמצא את ו-. ה- הרלוונטי עבורנו הוא , ולכן:

   העובדה שקיבלנו כאן היא לא במקרה, היא נובעת מגיאומטריית החתך.
   נציב כדי למצוא את הזווית, כאשר נשים לב ש- .

   לכן:

2. נפרק שוב לאותם מקרים. במקרה , גמיש וחווה פיתול, ולכן חתך לא שוקע:

   עבור מקרה , גמיש וחווה מומנט בקצה שלו. לכן, מטבלת שקיעות:

   נסכום, ונמצא כי הגודל:

3. נשים לב כי כעת העומסים שונים. נפרק שוב לאותם מקרים.
   במקרה , רק גמיש, וכתוצאה מהכוח , חתך שוקע. מטבלת שקיעות:

   במקרה , רק גמיש. כאשר נבצע דג”ח כדי למצוא את העומסים שפועלים על בנקודה כתוצאה מהכוח , נראה כי פועל גם כוח בכיוון השלילי , וגם פיתול בכיוון החיובי של . שניהם יתרמו לשקיעה בחתך . מקבלת שקיעות, עבור הכוח:
   

   עבור הפיתול, נמצא את הסיבוב ונכפול אותו ב- כדי למצוא את השקיעה של (בהנחת זוויות קטנות, השקיעה תהיה פשוט זווית כפול האורך).
   

   נסכום את שלושת הביטויים שקיבלנו:

   ולכן:

4. נפרק לאותם מקרים. במקרה , בנקודה , יש כוח ומומנט . שניהם פותחים זווית בנקודה סביב . עבור הכוח:
   
   הזווית תהיה:

   עבור המומנט:
   
   הזווית תהיה:

   במקרה , הכוח יוצר פיתול ב-, שכעת גמיש, ובכך מסובב את חתך ב-, ובכך מסובב את חתך בכיוון .
   
   הזווית תהיה:

   נסכום הכל ונקבל:

5. נפרק שוב לאותם מקרים, כך שנוכל להסיק כי התזוזה ב- היא:

   אנו יודעים כי נקודה לא זזה, ולכן . נקשור בין ההתארכות של החוט לכוח הפנימי שמתפתח אצלו:

   נציב את שמצאנו, ומקצת אלגברה:

---

תרגיל:
מסגרת ריבועית בעחת קשיחות נתונה לעומס הפועל בנקודה . מהי תזוזת נקודה ?

פתרון:
נרצה למצוא את האנרגיה האלסטית האגורה במבנה. נוכל לפרק את המסגרת הנתונה לארבעה קורות, שעבור כל אחת מהן נוכל להשתמש במקרה הפשוט של קורה הנתונה לכפיפה כדי לחשב את האנרגיה האלסטית האגורה בהן.
מטעמי סימטריה, נראה כי כל החלק העליון והתחתון של המסגרת זזים באותו הגודל, ולכן כל מה שעלינו לעשות הוא להכפיל את השקיעה שנקבל פי .

נבצע דג”ח חיצוני:

נעבור כעת לדג”חים פנימיים כדי למצוא את הכוחות הפנימיים. החלק העליון, כאשר נשים לב שמטעמי סימטריה, הכוחות הפנימיים בשני הצדדים זהים והפוכים בכיוונם (לפי ציר ).

משקול כוחות נקבל:

נבצע דג”ח על אחד מהצדדים:

משקול כוחות:

נבצע כעת את החתך הבא, שבו אנו כבר יודעים את כל הכוחות הפנימיים:

נרצה לדעת כמה הנקודה זזה ביחס לנקודה . אזי, נרתום את נקודה , ונשאל כמה כעת זזה:

המומנט הפנימי בחתך במרחק מנקודה נתון ע”י:

נציב בנוסחה עבור כדי לקבל את האנרגיה האלסטית:

אנו יודעים שבקצה הזווית לא משתנה (מטעמי סימטריה על כלל המסגרת). לכן, אנו יודעים לדרוש לפי המשפט השני של קסטיליאנו ש:

נגזור ונציב בביטוי שקיבלנו עבור :

נוכל כעת להמשיך ולפתור את האינטגרל כדי למצוא את :

ולכן נתון ע”י:

לפי המשפט השני של קסטיליאנו, נוכל כעת פשוט לגזור את לפי כדי למצוא את ההזזה של נקודה (בדג”ח שביצענו):

זוהי ההזזה של ביחס לנקודה . מטעמי סימטריה, נסיק כי זוהי גם ההזזה של ביחס ל-, ולכן ההזזה הכוללת של נקודה היא:

---