SLD2_006 קריטריוני כניעה וכשל

• ניזכר בכשלים ממבוא להנדסת חומרים.

מבוא

מ(Lifshitz, 2004):
כאשר דנים בכשל של חומרי מבנה, מתכוונים בדרך כלל לאחת משתי אפשרויות:

1. לשבר החומר ולהפרדתו למספר חלקים. בכשל זה אנו מפרידים בין מישורים בחומר - המישורים מתרחקים מספיק עד שהם מתנתקים אחד עם השני, ולרוב תקרה כתוצאה ממאמץ נורמלי.
2. לדפורמציה פלסטית. כשל זה מתאפיין בהחלקה של מישורי החומר אחד כלפי השני, ולכן הוא לרוב יקרה כתוצאה ממאמץ גזירה.

האפשרות הראשונה היא דרסטית וברורה ומתקיימת בחומרים פריכים כמו ברזל יציקה או זכוכית בטמפרטורת החדר. האפשרות השנייה פחות דרסטית ולפעמים קשה לזהותה. היא קיימת בחומרים משיכים כגון פלדות, אלומיניום, נחושת וכו’.

אלו עסקנו רק בהעמסות חד ציריות בלבד, לא היינו זקוקים לתיאוריות כשל. כל שהיה עלינו לעשות הוא להשוות את המאמץ הצירי השורר בחומר, למאמץ כניעה הנמדד במעבדה (והמצוי בטבלאות של תכונות פיזיקליות). כל עוד המאמץ בחומר נמוך מ- החומר לא יכשל. אבל במציאות המצב שונה ובדרך כלל החומר עמוס לא רק בכיוון חד צירי.

השאלה העומדת בפנינו היא מה ההשפעה ההדדית בין רכיבי טנזור המאמץ בנקודה על כשל החומר. בכדי לענות על שאלה זו פותחו תיאוריות כשל, המתבססות על הנחות פיזיקליות שונות. ככל שההתאמה בין התיאוריה להתנהגות החומר בתנאי העמסה מורכבים טובה יותר, התיאוריה מוצלחת יותר.

נסקור בקצרה שלוש תיאוריות כשל: מאמץ נורמלי מקסימאלי (רנקין); מאמץ גזירה מקסימאלי (טרסקה); ואנרגית שינוי צורה מקסימלית (פון מיזס). מבין השלוש, רק האחרונה מניחה כי הכשל נקבע על ידי אינטראקציה בין רכיבי טנזור המאמצים בנקודה.

קריטריון רנקין

קריטריון רנקין (Rankin) הוא קריטריון לכשל בחומרים פריכים כמו ברזל יציקה. ע”פ תיאוריה זו, חומר נכשל כאשר מאמץ נורמלי, על חתך כלשהו בנקודה הנדונה, מגיע לערך הקריטי .

תפקידנו, אם כן, הוא למצוא את המאמץ הנורמלי המקסימאלי בנקודה. כידוע, מאמץ בנקודה מוגדר על ידי רכיבי טנזור המאמצים. בכדי לקבוע מהו המאמץ הנורמלי המקסימלי יש לחשב תחילה את המאמצים הראשיים בנקודה:

המאמץ החיובי הגדול מבין 3 המאמצים הראשיים הוא מאמץ המתיחה הגדול ביותר הקיים בנקודה והמאמץ השלילי הגדול ביותר (בערכו המוחלט) מבין 3 המאמצים הראשיים הוא מאמץ הלחיצה הגדול ביותר בנקודה. שימו לב כי ערכם של המאמצים הראשיים אינו תלוי במערכת הצירים, שאנו בוחרים באופן שרירותי, למרות שכל אחד מרכיבי טנזור המאמצים כן תלוי בבחירת מערכת הצירים. למעשה אנו מצפים כי קריטריון כשל לא יהיה תלוי במערכת הצירים שאנו בוחרים אלא רק במצב העומס. במלים אחרות: הקריטריון צריך להיות תלוי באינוריאנט של המאמצים.

בדרך כלל נעסוק בבעיות מישוריות, בהן אחד המאמצים הראשיים (נניח ) מתאפס. במקרה כזה התיאור הגרפי של הקריטריון במישור המאמצים הראשיים יהיה ריבוע כמתואר בציור:

לכל מצב מאמצים מתאימה נקודה במישור הגרף. כל עוד הנקודה נמצאת בתוך הריבוע, אין כשל. כאשר הנקודה מגיעה לגבול הריבוע מתרחש כשל. המודל שלנו אינו מאפשר מאמצים מחוץ לריבוע.

נרשום את הנוסחה לחישוב מאמצים ראשיים במקרה המישורי, ונקבל את הקריטריון שלנו:

הקריטריונים שנעסוק בהם הינם מאוד גסים - לא מדויקים. אנחנו לוקחים משפחה מאוד גדולה חומרים פריכים ונותנים להם קריטריונים כלליים. באותה מידה עבור חומרים משיכים. קריטריון רנקין הוא לא קריטריון גס, הוא קריטריון גס מאוד. לאט לאט ניתן קריטריונים טיפה פחות גסים, אבל נשים לב שככל שנרצה קריטריונים יותר מדויקים, נצטרך לבצע יותר ניסויים והרבה יותר חישובים.

חומרים פריכים לרוב מאוד רגישים לסדקים שישנם בגוף, ובקורס זה אנחנו לא מתחשבים בהם - לכן הקריטריונים שנראה כאן מאוד רחוקים מהמציאות. אבל, הם מהווים בסיס טוב לחקירת שברים.

מאמץ גזירה מקסימלי (Tresca)

בחומרים משיכים כגון פלדות ואלומיניום, נמצא מהרבה מאוד ניסויים, שהכניעה אינה רגישה לתוספת של מאמץ הידרוסטטי.

קריטריון טרסקה מתבסס על ההבחנה כי דפורמציה פלסטית מתרחשת בהשפעת מאמץ גזירה. לפיכך,יש לחשב מהו מאמץ הגזירה הגדול ביותר הקיים בנקודה בחומר ולהשוותו למאמץ גזירה קריטי () הגורם כניעה פלסטית בניסויי מעבדה.

ראינו כי מאמץ הגזירה הגדול ביותר בנקודה חומרית שווה למחצית ההפרש בין המאמץ הראשי הגדול ביותר לבין המאמץ הראשי הקטן ביותר. באופן כללי, הקריטריון ירשם כשלוש משוואות אותן יש לבדוק בכדי לקבוע האם מתרחש כשל פלסטי:

את נמדוד מתוך ניסוי מתיחה חד צירי:

ברגע הכניעה:

מצב המישורים הראשיים:

נסיק כי:

כלומר, מאמץ הגזירה הקריטי שווה למחצית מאמץ הקריטי:

לכן נוכל לרשום את קריטריון הכניעה בעזרת הצבת מסקנה זו ב-:

כאשר החומר לא מגיע לכניעה, ההפרש בין כל זוגות המאמצים במשוואה זו יהיה נמוך מ-.

במקרה שבו מוסיפים מאמץ הידרוסטטי , המאמצים הראשיים גדלים גם כן ב-, ולכן ההפרש בינהם לא משתנה. מכך, אנו רואים שקריטריון זה מקיים את מה שראו בניסויים - הכניעה של חומרים משיכים לא רגישה למאמץ הידרוסטטי.

נביט במקרה הפרטי :

כל עוד מצב המאמצים בחומר מתואר ע”י נקודה בתוך המצולע, אין כשל. כאשר מגיעים להיקף המצולע, מתרחש כשל פלסטי. נשים לב כי ברביע הראשון והשלישי, כאשר שני המאמצים הראשיים שווים זה לזה, קריטריון טרסקה חוזה כשל כמו קריטריון רנקין. לעומת זאת, ברביעים השני והרביעי, היכן שסימני המאמצים הראשיים הפוכים זה לזה, קריטריון טרסקה חוזה כשל במאמצים נמוכים בהרבה מאמצי הכשל החזויים לפי קריטריון רנקין.

הערה:

קיבלנו כאן שקריטריון טרסקה הוא יותר מחמיר מקריטריון רנקין, אבל זה רק במקרה של !

קריטריון פון מיזס

לפי קריטריון זה, כקודמו, מתאים לחומרים משיכים בהם הכשל הוא כשל פלסטי, והוא מתבסס על ההבחנה כי ההעמסה הידרוסטטית (לחיצה או מתיחה) אינה גורמת לכשל פלסטי. לפיו , כניעה תתרחש כאשר האנרגיה האלסטית שאגורה בחומר תעבור ערך קריטי.

הערה:

באנרגיה אלסטית הכוונה לחלק של האנרגיה שקשור ל”שינוי צורה” בלבד, ולא לשינוי נפח. כלומר רק לחלק שקשור למאמץ גזירה ולא מאמצים הידרוסטטיים.

מאמצים דביאטוריים

לפני שנגדיר אנרגיית שינוי צורה, נראה קודם שאנו יכולים לפרק את טנזור המאמצים לשני טנזורים שונים:

נשים לב כי מתאר מצב מאמצים הידרוסטטי. לטנזור השני נקרא טנזור דביאטורי:

הגדרה:

טנזור המאמצים הדביאטורי (deviatoric) של טנזור מאמצים מוגדר בצורה הבאה:

כדי להבין את משמעותו הפיזיקלית, נראה כי אם אין שינוי נפח, אז, , ולכן גם :

ההפוך גם נכון: אם אז אין שינוי בנפח.

בחלק הדביאטורי, ערכי האלכסון אכן מתאפסים:

נסיק כי החלק הדביאטורי של טנזור המאמצים לא אחראי על שינוי הנפח. מאחר והוא מכיל רק מאמצי גזירה, הוא אחראי על השינוי צורה.
החלק הידרוסטטית מתאר עיבור הידרוסטטי - כלומר הוא מתאר רק שינוי נפח.

דוגמה:

במערכת ראשית:

אז הטנזור הדביאטורי:

והטנזור הספרי:

אנרגיית שינוי צורה

מפיזיקה, נזכור כי האנרגיה השמורה בקפיץ היא:

עבור קובייה אינפיניטסימלית בעלת שטח חתך ואורך השינוי :

קיבלנו כי האנרגיה ליחידת נפח היא:

באופן כללי:

לפי חוק הוק המוכלל:

נציב ב-:

נעשה טיפה אלגברה ונקבל:

השלב הבא שנדרש הוא לחלץ מביטוי זה רק את החלק של האנרגיה שקשור לשינוי צורה, ללא שינוי נפח. אז נוציא את האנרגיה הקשורה למאמצים הידרוסטיים ():

(כאשר השתמשנו בקשר ).

קריטריון פון מיזס

לפי קריטריון זה, מעטפת הכניעה מוגדרת כ:

כדי למדוד את , נשתמש במידע מניסוי מתיחה צירי. בניסוי הזה, כניעה מתרחשת כאשר:

לכן:

נציב ב-:

את מעטפת כניעה זו אנחנו יכולים לצייר כאליפסה (במצב בו ):

כאשר הקו המקווקו הוא מעטפת הכניעה לפי טרסקה.

מאמץ אקוויוולנטי ומקדם ביטחון

מאמץ אקוויוולנטי

לפעמים נוח יותר להציג כל אחד מהקריטריונים בעזרת מאמץ אקוויוולנטי, שמגדיר לנו את מעטפת הכניעה. אז למשל עבור קריטריון פון מיזס:

או עבור קריטריון רנקין:

טרסקה:

מקדם ביטחון

לפעמים נרצה להחמיר עוד יותר את הקריטריונים שלנו מלאכותית. נוח להשתמש במקדם ביטחון , כאשר . אז המאמץ האקוויוולנטי:

מיכלי לחץ גליליים

נביט במיכל לחץ גלילי דק דופן, כך ש:

נרצה לחשב את המאמצים במיכל כאשר הוא נמצא תחת לחץ פנימי . נביט בחתך במישור :

נשים לב ששטח החתך הוא דפנה עגולה דקה ששטחה הוא:

לפי שיקולי כוחות:

אם יש לחץ פנימי במיכל, הוא מפעיל כוחות על דפנות המיכל. נבצע חתך המאונך ל-:

נרצה להטיל את הלחץ לכיוון , ולכן נכפיל אותו ב-, כאשר הוא הזווית בין ל-. נבצע עליו אינטגרל כדי לסכום את תרומת הלחץ לאורך כל החתך, כאשר נשים לב שאורך הקשת האינפיטסימלית נתון ע”י . לפי שיקולי כוחות:

נביט כעת בחתך המאונך ל-:

נבצע עוד חתך בדפנה כך שנחלק אותה לשניים:

בדפנה החיצונית:

ובדפנה הפנימית:

נסיק כי משתנה לאורך עובי הדפנה, כך ש- . מאחר ואנו מניחים שהעובי מאוד דק, ו- מאוד קטן ביחסית ל- ו-, נזניח את :

לסיכום:

כאשר בכיוון האורכי של המיכל, פועל בכיוון ההיקפי של המיכל, פועל בכיוון הרדיאלי של המיכל.

באופן כללי יכול להתקיים גם גזירות, שלמשל נובעים מפיתול:

נוכל רשום את שלושת המאמצים האלו בצורת טנזור במערכת ראשית:

הערה:

טנזור זה נכון רק עבור המקרה של מיכל לחץ דק דופן עם לחץ פנימי, והוא תקף לכל נקודה בדפנות המיכל (ולא על המכסים שלו).
אם המיכל אכן היה נתון תחת מומנט פיתול , אז:

---

תרגיל:
נתון מיכל לחץ גלילי בעל מאמץ כניעה , רדיוס ולחץ פנימי .

1. מהו המאמץ הראשי המינימלי?
   פתרון:
   ראינו כבר כי: זוהי כבר מערכת צירים ראשית. קל לראות כי המאמץ הראשי המינימלי הוא:
2. מהו עובי הדופן המינימלי של המיכל על פי קריטריון רנקין?
   פתרון:
   בקראיטריון רנקין: לכן, נרשה למאמץ המקסימלי להיות גדול עד כדי גודל מאמץ הכניעה: לכן:
3. מהו עובי הדופן המינימלי של המיכל על פי קריטריון טרסקה?
   לפי טרסקה: לכן:
4. מהו עובי הדופן המינימלי של המיכל על פי קריטריון טרסקה. בהתחשב במקדם ביטחון ?
   פתרון:
   כעת, נדרוש: ולכן:

---

תרגיל
נתון מיכל לחץ בין שני קירות קשיחים וחלקים. כמו-כן, נתונים ו- של המיכל.

1. מצא את טנזור המאמצים.
   מאחר ואין עיבור בכיוון , נוכל להסיק כי: נשים לב ש-, אז נציב: זהו מיכל לחץ עם לחץ פנימי, ולכן:
2. מצא את טנזור העיבורים.
   לפי קשרי מאמץ עיבור: אין מאמצי גזירה, ולכן: לפיכך:
3. מהו שינוי הנפח היחסי של גוף המיכל?
   פתרון:
   לפי הנוסחה לשינוי נפח יחסי:

ביבליוגרפיה

1. Lifshitz, J.M., 2004. מכניקת מוצקים 2, 2nd edition. ed. Faculty of Mechanical Engineering, Technion.