SLD2_009 מבוא לאלסטיות

קשרים דיפרנציאליים בין מאמצים

נראה שני פיתוחים שונים כדי למצוא את הקשרים הדיפרנציאליים בין מאמצים עבור גוף כללי.

פיתוח לפי משפט גאוס

יש להיזכר במשפט גאוס. נרשום את משפט זה עבור טנזור המאמצים:

או:

נביט בגוף כללי הנתון תחת עומס. נרצה לדעת מה שדה המאמצים המתפתח בחומר כתוצאה מהעומסים החיצוניים.
נביט בחתך שלו, שנגדיר את המעטפת שלו ב-:

בכל נקודה על המעטפת יש וקטור מאמץ . אם נרצה למצוא את הכוח השקול שפועל על החתך שלנו, עלינו לבצע סכימה לאורך המעטפת:

אם פועל גם כוח גוף (כוח ליחידת נפח) על החתך, למשל כמו כוח הכבידה, נדרש לסכום גם אותו:

בשיווי משקל, סכום הכוחות יתאפס:

לפי משפט גאוס, מתקיים:

או בכתיב אינדקסי, בקואורדינטות קרטזיות:

ולכן:

עבור מהנדסים אזרחיים עומס כוח הכבידה משמעותי מאוד עבור המבנים שהם מתכננים. אנחנו בקורס לרוב נזניח את השפעת עומס כוח הכבידה, כי אנו נתעסק עם מבנים יחסית קטנים שההשפעה של כוח גוף זניחה. לכן:

או בכתיב אינדקסי, בקואורדינטות קרטזיות:

יש לנו כאן שלוש משוואות:

פיתוח לפי דג”ח

נוכל להביא גם אינטואיציה דגח”ית למשוואות אילו, בדומה לאיך שפיתחנו את הקשרים הדיפרנציאליים במוצקים 1:

ניתן לבטח את הכוחות שפועלים על כל פאה של הקובייה בעזרת רכיב המאמץ המתאים שגורם לכוח בכיוון כפול שטח הפאה. נשים לב שיכולים להיות הבדלים קטנים בערכים על פאות מנוגדות, בגלל הפרש המיקומים הקטן בין הפאות.
ההפרש הקטן מיוצג ע”י הביטוי , שזה בעצם “הנגזרת הראשונה” בטור טיילור של . מאחר וההבדל בין הפאות הוא רק המרחק , הנגזרות החלקיות בכיוונים האחרים לא רלוונטים. אנו גם מזניחים כאן את הנגזרות היותר גבוהות בטור טיילור.

בדג”ח הנ”ל הראינו רק את המאמצים על מישורי בכיוון . נראה כעת גם על הפאות האחרות:

אם נסכום את כלל הכוחות בכיוון , לפי שיקולי שיווי משקל:

ולכן:

בכתיב אינדקסי:

מסימטריית טנזור המאמץ נקבל את שאר המשוואות (נזכור שסימטריית טנזור המאמץ מתקבלת משיווי משקל מומנטים על הדג”ח):

משוואות שיווי משקל על שדה ההזזה

נרצה כעת לראות איזה תנאים מתקיימים על ההזזה שלנו. לפי חוק הוק המוכלל:

לפי הגדרת טנזור העיבור:

נציב:

לפי הקשרים הדיפרנציאליים שפיתחנו, מתקיים , ולכן:

עבור חומר אחיד (שתכונותיו לא משתנות):

נפתח כעת את אותה המשוואה עבור חומר איזוטרופי.
נזכור כי בחומר איזוטרופי, לפי חוק הוק בצורת מקדמי למה:

נציב את הגדרת טנזור העיבור ממקודם:

לפי הקשרים הדיפרנציאליים, מתקיים , ולכן:

לפי שוויון נגזרות מעורבות:

מתמטיקאים אוהבים להגדיר אופרטור דיפרנציאלי שמניב את הביטוי השמאלי, ואז המשוואה הדיפרנציאלית הופכת ל:

קיבלנו כאן מערכת (יש 3 משוואות) מד”ח לינארית מסדר שני עבור . כדי לפתור אותה, חוץ מהמשוואה עצמה, נצטרך גם תנאי התחלה ושפה.
התנאי שפה שלנו יכולים להיות על עצמה, או על הנגזרת הראשונה שלה - תנאי דיריכלה ותנאי נוימן.

נוכל להניח קיום ויחידות תחת התנאי שפה.

נביט בדוגמה:

דוגמה:

תחום ההגדרה ותנאי השפה שלנו על הריתום:

מאחר וזהו ריתום, אז הוא לא זז, אז התנאי שפה שלו הוא:

וזהו תנאי שפה דיריכלה, הנקרא גם הזזה מוכתבת/ידועה.

תחום ההגדה ותנאי השפה שלנו על הפאה העליונה :

מאחר ועל הפאה יש עומס, אז התנאי שפה שלו הוא:

שאותו נוכל לרשום כנגזרת ראשונה של לפי הקשרים הדיפרנציאליים. תנאי זה הוא תנאי נוימן, הנקרא גם הטרחה מוכתבת/ידועה.

דוגמה:

נביט בבעיה הבאה:

הראה כי הפתרון שלנו הוא:

כדי להראות שזהו אכן הפתרון לבעיה הנתונה, נראה כי היא מקיימת את משוואות שיווי המשקל ואת תנאי השפה.
משדה ההזזה הנתון, נסיק מקשרי מאמץ עיבור ש:

תנאי השפה על הפאה הימנית, :

ולכן:

טנזור המאמץ אכן מקיים את התנאים האלו.
תנאי השפה על הפאה השמאלית, :

ולכן:

טנזור המאמץ אכן מקיימם את התנאים האלו.

תנאי השפה על הפאה העליונה, :

ולכן:

טנזור המאמץ אכן מקיים את התנאים האלו.

נוכל לבצע את החישובים עבור כל הפאות, ולקבל כי טנזור המאמץ אכן מקיים את התנאים. לכן, מקיום ויחידות, נסיק כי זהו הפתרון של הבעיה הנתונה.

משוואות ההתאמה

תוכנות אלמנטיים סופיים לרוב מוצאות פתרונות נומריים לשדה ההזזה, כלומר היא פולטת את . מאחר ורוב הבעיות הם מסובכות מדי כדי שאנו נפתור אותם אנליטית, ואנו לא מתעסקים בקורס זה בפתרונות נומריים לבעיות, נפשט את הבעיות. אנו “ננחש” פתרון , נחלץ ממנו את שדה המאמץ , ונראה אם הוא מקיים את משוואות שיווי המשקל ותנאי השפה.

אבל אנחנו לא תמיד נתעניין ב-, ולכן לרוב פשוט ננחש ישירות את . אבל בקיצור הזה יש השלכות - לא כל שננחש ומקיים את משוואות שיווי המשקל ותנאי השפה הוא הכרח פתרון לבעיה. הסיבה לכך היא שלשדה המאמצים ישנם רכיבים, שניתנים לחילוץ משדה ההזזות שבו יש רכיבים.

אנו מניחים ששדה ההזזה שלנו הוא שדה רציף, כך שלא נוצרים פתאום שברים בחומר או שנכנס חומר אחר. מכך נסיק ששדה המאמצים שלנו צריך להתאים לשדה הזזה רציף. לכן, נדרוש מהניחוש שלנו עוד תנאי - תנאי ההתאמה, כדי לראות אם הוא אכן פתרון לבעיה שלנו.

משוואות ההתאמה הן 6 משוואות דיפרנציאליות מסדר שני שאותם נדרוש שהניחוש שלנו יקיים. הפיתוח שלהם הוא לא בחומר לקורס. נגדיר ביטוי :

המשוואות הן:

נשים לב כי מתקיים , ולכן יש כאן רק 6 משוואות ולא 9.

אם מדובר בחומר איזנטרופי, נוכל לבטא זאת בעזרת :

---

תרגיל:

נתונה קורה עליה פועל עומס מפורש לינארי על השפה העליונה, ועל הפאה הצידית החופשית פועלים עומס מרוכז ומומנט .

בדקו האם הניחוש הבא הוא פתרון:

בהינתן שהתנאים הנ”ל מתקיימים, מהו הערך של ? מהם הערכים של ו-?

פתרון:

נבדוק את שלושת התנאים:

1. משוואות ש”מ: אכן מתקיים:
2. משוואות ההתאמה:
   זהותית מתקיים . עבור הרכיב : באותו אופן ניתן לבצע עבור שאר הרכיבים.
3. תנאי השפה:
   עבור הפאה העליונה, , תחום ההגדרה: והתנאי שפה: לכן: כאשר אנו לא מתייחסים ל- מאחר וזוהי בעיה מישורית.
   נציב את התנאים בניחוש שלנו ונראה כי הם אכן מתקיימים כלומר, כל עוד , התנאי שפה מתקיימים.
   עבור הפאה התחתונה, , תחום ההגדרה: והתנאי שפה: ולכן: נציב בניחוש, ונראה שהתנאים אכן מתקיימים: עבור הפאה הימנית, , תחום ההגדרה: תנאי השפה שלנו:
   מאחר ו- ו-, נוכל לרשום זאת בצורה: כאשר הוא רוחב החתך.
   נפרק ל- ו-. עבור , אכן הניחוש מקיים את תנאי השפה: עבור , נציב את הניחוש עבור ונקבל: כלומר, אם הניחוש הוא אכן הפתרון, אז זהו הערך של .
   נרצה לדעת כעת מה לגבי . נחשב את המומנט שפועל בשפה הימנית - נחשב את התרומה למומנט של כל אלמנט שטח ונסכום: מאחר ו- ו-, נוכל לרשום זאת בצורה: נציב את הניחוש ונקבל: כלומר, אם הניחוש הוא אכן הפתרון, אז זהו הערך של .