PHY2_004 מעגלים חשמליים

זרם חשמלי

עד כאן התעסקנו באלקטרוסטטיקה - הסתכלנו על מצבים בהם המטענים החשמליים במנוחה. כעת נעבור לדון בתנועה של מטענים חשמליים.

במוליך יש כמות אדירה של נושאי מטענים חופשיים. ללא הפעלת שדה חשמלי, הם נמצאים בתנועה אקראית. אם ניקח חתך במוליך כזה, סך כל המטען שיעבור דרך החתך יהיה שווה לאפס.

כאשר ניצור שדה חשמלי בתוך המוליך, המטענים יתחילו לנוע בכיוון מועדף מסוים. נוכל ליצור את השדה החשמלי ע”י הפרש פוטנציאלים בין קצוות המוליך ע”י חיבור מקור מתח חיצוני.

השדה יפעל על המטענים ויגרום להם לנוע מהפוטנציאל הגבוה לפוטנציאל הנמוך (אם נחשב על מטענים חיוביים, למרות שאנו יודעים שמה שבאמת פיזית זז הם האלקטרונים).

במצב זה, ייווצר זרם חשמלי .

הגדרה:

זרם חשמלי הוא מדד לתנועה מכוונת של מטען חשמלי.

הזרם החשמלי נמדד ביחידות של אמפר .

הערות:

1. מקובל לקבוע את כיוון הזרם החשמלי מהפוטנציאל הגבוה לנמוך ככיוון תנועת המטען החיובי. זאת למרות שבמוליכים, נושאי המטען החופשיים הם למעשה האלקטרונים שמטענם שלילי.
   נושאי מטען לא חייבים להיות שליליים - למשל במי מלח יש יוני נתרן חיוביים ויוני כלור שליליים. במוליכים למחצה יש גם אלקטרונים וגם חורים אלקטרונים.
2. במוליך יש התנגשויות בין האלקטרונים החופשיים ליונים החיוביים - כמו חיכוך - וחלק מהאנרגיה הקינטית של האלקטרונים מועבר לאנרגיה תנודתית של הפרוטונים - התנגדות לזרם. עבור חומרים מסויימים (מוליכי על) ניתן ע”י קירור מתחת לטמפרטורה קריטית לקבל התנגדות אפסית.

צפיפות זרם חשמלי

הגדרה:

צפיפות זרם היא מידת הצפיפות של זרם חשמלי. היא מוגדרת כוקטור שגודלו הוא הזרם החשמלי ליחידה של שטח החתך, וכיוונו ניצב לחתך.

איך מוצאים את צפיפות הזרם?

כאשר היא צפיפות המטען הנפחית ו- היא מהירות המטענים. נציב בהגדרה:

כאשר הוא צפיפות החלקיקים, ו- הוא מטען כל חלקיק.
אם יש כמה סוגים של חלקיקים (מטענים שונים, צפיפויות שונות, מהירויות שונות):

מוליכות והתנגדות

ברוב המקרים, מה שגורם לזרם חשמלי זה השדה החשמלי:

בגלל התנגשויות של המטענים החשמליים (למשל, ביונים חיוביים), לנושאי המטען תהיה מהירות , שפרופורציונית לשדה (אמפירית). לכן גם צפיפות הזרם פרופורציונית לשדה:

משפט:

חוק אוהם הדיפרנציאלי/המיקרוסקופי קובע שצפיפות הזרם נתונה ע”י:

כאשר היא המוליכות הסגולית (conductivity); ו- הוא השדה החשמלי.

אם נסתכל על חתיכה של מוליך בגודל סופי, שעבורו צפיפות הזרם מפולגת באופן אחיד בחתך.

צפיפות זרם כתוצאה משדה חשמלי

מחוק אוהם הדיפרנציאלי נסיק ש:

אם השדה אחיד במוליך:

כאשר .

הגדרה:

עבור נגד פשוט, ההתנגדות מוגדרת כ:

כאשר הוא אורך הנגד; הוא שטח החתך; הוא המוליכות הסגולית; ו- הוא התנגדות סגולית.
עבור מתכות שונות:

מתכת	התנגדות סגולית ()
נחושת
כסף
ברזל

קיבלנו את חוק אוהם המקרוסקופי:

משפט:

חוק אוהם המקרוסקופי קובע את היחס בין התנגדות, הפרש פוטנציאלים, וזרם בצורה הבאה:

כאשר הוא המתח; נקרא התנגדות המוליך; ו- הוא הזרם החשמלי.

דוגמה: נגד בצורת קליפה גלילית עבה

נמצא את התנגדות של נגד בצורת קליפה גלילית עבה לזרם בכיוון הרדיאלי.

נתון: רדיוס פנימי , חיצוני , אורך , התנגדות סגולית אחידה.

דרך א’: שימוש בחוק אוהם המיקרוסקופי והמקרוסקופי
ניצור שדה חשמלי רדיאלי בתוך הקליפה הגלילית העבה. נסמן את הפרש הפונציאלים:

צפיפות הזרם ברדיוס :

במצב יציב הזרם הכולל דרך כל קליפה גלילית שנמצאת במרחק מציר הסימטריה, צריכה להיות זהה. נחשב את הזרם הכולל דרך כל קליפה גלילית:

לכן נוכל לרשום:

נפעיל שוב את חוק אוהם המיקרוסקופי:

לכן הפוטנציאל חשמלי:

נזהה את חוק אוהם המקרוסקופי:

כאשר:

דרך ב’: שימוש בנוסחה של נגד פשוט וחיבור נגדים
ננסה לבנות את הנגד שלנו בתור אוסף של נגדים פשוטים. האלמנטים של ההתנגדות יהיו קליפות דקות בעובי , גובה , עשויות מחור בעל התנגדות סגולית . הזרם זורם בכיוון הרדיאלי.

נרצה להשתמש בנוסחה להתנגדות של נגד פשוט:

נתאים זאת למקרה שלנו. כל קליפה דקה תורמת:

אלמנטי ההתנגדות מחוברים בטור (אותו זרם זורם דרך כל הקליפות). בחיבור בטור:

במקרה שלנו נכליל לאינטגרל:

ולכן:

הספק חום מהתנגדות

כאשר מזרימים זרם חשמלי במוליך כלשהו, חלק מהאנרגיה הקינטית של האלקטרונית מועברת לאנרגיה תנודתית של הפרוטונים, ובכך מייצרים חום.

נוסחה:

הספק החום שנוצר (נקרא גם חימום ג’ול) בין הפרש פוטנציאלים וזרם חשמלי נתון ע”י:

חיבור נגדים

חיבור נגדים בטור

לנגדים המחוברים בטור יש זרם משותף (אותו זרם עובר דרך כל הנגדים):

סכום המתחים על הנגדים שווה למתח הכולל:

חיבור נגדים בטור

נשתמש בחוק אוהם ונציב במשוואת המתחים:

חיבור נגדים במקביל

לנגדים המחוברים במקביל יש אותו מתח:

הזרם הכולל מתפצל לזרמים דרך הנגדים המחוברים במקביל:

חיבור נגדים במקביל

נשתמש בחוק אוהם ונציב במשוואת הזרמים:

כוח אלקטרומניע

כוח אלקטרומניע (כא”מ) הוא מנגנון שמאפשר העברת מטען בניגוד לכיוון השדה החשמלי.

הגדרה:

הפרש פוטנציאלים על מקור מתח (כמו סוללה או מצבר), כאשר הזרם דרכו נקרא כא”מ, ומסומן ב-. הכא”מ הוא העבודה ליחידת מטען שעובר דרך המקור, כלומר, העבודה הדרושה להעברת יחידת מטען במעגל, חזרה לאותה נקודה:

התנגדות פנימית של סוללה

בתוך סוללה מתרחשות ריאקציות כימיות שמזיזות מטענים מהדק אחד להדק השני. באנלוגיה - כמו משאבה ששואבת מים ממקום נמוך לגבוה.

המרה של אנרגיה כימית לאנרגיה פוטנציאלית של מטענים. המרה של אנרגיה קינטית לאנרגיה פוטנציאלית של המים.

נחבר סוללה עם כא”מ נתון, לנגד . בסוללה אידיאלית נקבל זרם . בסוללה אמיתית לעומת זאת, יש התנגדות פנימית .

על הנגד (של הסוללה) יהיה מתח .

• אם נמדוד את הפרש המתחים בין ההדקים כאשר לא זורם זרם (מעגל פתוח), נקבל את .
• נמדוד את הפרש המתחים כאשר זורם זרם:

  הערה:

  >לרוב נניח שהמקורות מתח הם אידיאליים - אם לא, זה בדרך כלל נאמר במפורש.

חוקי קירכהוף

חוקי קירכהוף הם חוקים שנובעים מחוקי שימור מטען ואנרגיה.

1. חוק הצומת (שימור מטען): סכום הזרמים הנכנסים לצומת שווה לסכום הזרמים היוצאים מהצומת.
   

   סכום הזרמים בצומת הוא אפס

ניתן לכתוב:

כאשר מסמנים בסימן פלוס זרם נכנס ובסימן מינוס זרם יוצא.

1. חוק הלולאה (שימור אנרגיה): סכום המתחים בלולאה סגורה שווה ל-.

דוגמה:

מצאו את הזרמים במעגל הבא, כאשר נתון:

1. נקבע שרירותית את הזרמים.
   בהתאם לזרמים שסימנו, נקבע את כיוון המתח על כל הרכיבים חוץ מהסוללות. עבור הסוללות - נקבע בהתאם להדקים שלהם.
2. נקבע את כיוון ההליכה בלולאה באופן שרירותי.

נכתוב את חוקי קירכהוף:
חוק הצומת - יהיו לנו משוואות כמספר הצמתים, פחות אחד:

חוק הלולאה - יהיו לנו משוואות כמספר הלולאות. עבור לולאה :

עבור לולאה :

קיבלנו שלוש משוואות בשלושה נעלמים. לאחר פתרונם נקבל:

כאשר הסימן השלילי מעיד לכך שהזרם הפוך למה שסימנו.

מעגלי RC

טעינה של קבל

נביט במעגל הבא:

מעגל RC - טעינה של קבל

נניח שהמתג נמצא במצב - מצב הטעינה של הקבל. נרצה לחשב את הזרם במעגל בתלות בזמן. לפי חוק הלולאה של קירכהוף:

נציב את הגדרת הקיבול ואת חוק אוהם המקרוסקופי:

נציב גם את הגדרת הזרם:

קיבלנו מד”ר. נגזור לפי כדי להפוך את זה למד”ר על :

פתרון המד”ר:

כאשר נקבע מתנאי התחלה. נהוג לסמן , כאשר ל- קוראים קבוע הזמן של המעגל. לכן:

אם ברגע הזרם במעגל היה , נקבל:

אם ב- הקבל לא היה טעון, מתקיים , ואז נקבל:

אם נתעניין במטען שעל הקבל:

עבור קבל שלא היה טעון () ברגע :

טעינת קבל שלא היה טעון ב- .

מבחינת מתחים על הקבל ועל הנגד:

הערות: מעגל טעינה

1. כאשר הקבל לא טעון הוא מתנהג ברגע (כשרק מחברים אותו) כמו קצר, .
2. כאשר הקבל נטען לחלוטין והזרם במעגל נפסק, כלומר, הקבל מתנהג כמו נתק.
3. קבוע הזמן מוגדר להיות הזמן שבו הזרם מגיע ל- מערכו המקסימלי.

פריקה של קבל

נניח שברגע הקבל היה טעון במטען התחלתי (והמתח עליו ). ברגע זה מחברים את המתג למצב : מקור המתח מתנתק, והקבל הטעון מתפרק דרך הנגד .

מעגל RC - פריקה של קבל

בתהליך הפריקה, כיוון הזרם יהיה הפוך לכיוון זרם הטעינה, כמו כן הפרש הפוטנציאל על הנגד הפוך בכיוונו.

עבור פריקה נקבל:

כאשר ו- .

פריקה קבל שהיה טעון ב- ב- .