PHY2_002 אלקטרוסטטיקה - שטף חשמלי, חוק גאוס ופוטנציאל חשמלי

שטף חשמלי

השטף של שדה וקטורי הוא “כמות” השדה הוקטורי העוברת דרך משטח מסוים.

נתחיל ממקרה פרטי פשוט:
אם הוא שדה חשמלי אחיד וקבוע ו- הוא המשטח, אז מגדירים את השטף החשמלי כמכפלה:

כאשר הוא וקטור המתאר את השטח: כיוונו ניצב למשטח וגודלו שווה לגודל המשטח.

שדה וקטורי ה”חוצה” משטח מסוים עם נורמל .

• אם אז .
• אם אז השטף חיובי.
• אם אז השטף שלילי.
• אם אז השטף שלילי.
• אם אז השטף מתאפס, כי אין קווי שדה שחוצים את המשטח.

נרצה לתת הגדרה יותר כללית עבור שטף - כלומר עבור משטח כללי. נוכל לחלק את המשטח הכללי לחלקיו האינפיניטסימליים עם נורמל , ועליהם לבצע את האינטגרציה.

הגדרה:

השטף של שדה חשמלי דרך משטח מוגדר כ:

והיחידות שלו:

דוגמה: מטען נקודתי

נחשב את השטף החשמלי שעובר דרך מעטפת כדורית ברדיוס , שמרכזה מטען נקודתי .

כיוון שהנקודות של המשטח שלנו נמצאות במרחק זהה מהמטען והשדה החשמלי של מטען נקודתי הוא פשוט:

המשמעות היא שהשדה החשמלי קבוע בגודלו על פני המשטח ובכל נקודה על המעטפת היא באותו כיוון של הנורמל למשטח. אז:

לכן:

חוק גאוס האינטגרלי

נתעניין במיוחד בשטף חשמלי דרך משטחים סגורים, בנוכחות מטען חשמלי .

ראינו כבר שעבור מטען נקודתי במרכז מעטפת כדורית ברדיוס :

ניתן להראות שגודל זה נכון גם למשטח כללי סגור. לכן:

משפט:

חוק גאוס לשטף חשמלי קובע כי עבור משטח סגור , השטף החשמלי נתון ע”י:

כאשר . ה- הוא קבוע פיזיקלי הנקרא המקדם הדיאלקטרי של ריק.

נשים לב כי השטף החשמלי דרך משטח סגור כלשהו תלוי רק במטען הכלוא בתוך המשטח, .

דוגמה: תיל אינסופי

תיל אינסופי טעון בצפיפות מטען אורכית אחידה.
נחשב את השדה במרחב. נבנה מעטפת גאוסית גלילית:

נשים לב שבגלל הסימטריה של הבעיה, השדה רדיאלי, כך שאין רכיבי שדה דרך בסיסי הגליל. לכן מהגדרת השטף:

לפי חוק גאוס:

נשווה ונקבל:

דוגמה: קליפה כדורית דקה

קליפה כדורית דקה ברדיוס עם צפיפות מטען משטחית קבועה
נרצה לחשב את את השדה במרחב.

עבור - בתוך הכדור, נבנה מעטפת גאוסית כדורית.

הוצאנו את כי מסימטריה, באותו הגודל בכל נקודה על המשטח והכיוון הרדיאלי מקביל ל-.
מחוק גאוס, כאשר נשים לב שבתוך הכדור , נקבל:

ולכן:

עבור (מחוץ לכדור), נבנה מעטפת גאוסית כדורית:

מחוק גאוס:

נשווה:

(כמו השדה של מטען נקודתי המרוכז במרכז הקליפה).

דוגמה: כדור מלא

כדור מלא ברדיוס הטעון בצפיפות מטען נפחית קבועה .
נרצה לחשב את את השדה במרחב.
עבור (בתוך הכדור) נבנה מעטפת גאוסית כדורית. השטף יהיה:

הוצאנו את כי מסימטריה, באותו הגודל בכל נקודה על המשטח והכיוון הרדיאלי מקביל ל-.
מחוק גאוס, כאשר נשים לב שבתוך הכדור , נקבל:

ולכן:

עבור (מחוץ לכדור), נבנה מעטפת גאוסית כדורית:

מחוק גאוס:

נשווה:

(כמו השדה של מטען נקודתי המרוכז במרכז הקליפה).

דוגמה: מישור אינסופי

מישור אינסופי בעל צפיפות מטען שטחית קבועה
נרצה לחשב את את השדה במרחב.

מסימטריית הבעיה, השדה חייב להיות ניצב למשטח (בכיוון הנורמל). נבנה מעטפת גאוסית בצורת גלילי, ששני בסיסיו מקבילים למשטח - אחד מעליו בגובה ואחד מתחתיו ב (בציור הגובה מופיע כ-, והשטח כ-).
השטף עובר רק דרך הבסיסים.
לפי הגדרת השטף:

לפי חוק גאוס:

נשווה ונקבל:

נוכל מהשרטוט להסיק גם את הכיוון:

ההפרש בין שני הצדדים הוא:

משפט הקפיצה

גם אם יש שדות נוספים (חוץ מהשדה שנוצר ע”י המשטח הטעון), או שהמשטח עקום, ניתן להשתמש בחוק גאוס לגליל קטן מאוד (כמו בדוגמה הקודמת) שבסיסו במרחק משני צידי המשטח. נקבל כי הפרש השדות בין שני צידי המשטח הוא:

כאשר נקבע ע”פ המשטח.

דוגמה: קיבול לוחות

שני לוחות בעלי שטח נמצאים במרחק זה מזה. מתקיים , כך שניתן להתייחס ללוחות כאינסופיים. על לוח אחד צפיפות מטען משטחית ועל השני .

חוק גאוס הדיפרנציאלי

ממשפט גאוס אנו יכולים לרשום את חוק גאוס בצורתו הדיפרנציאילית:

לפיכך:

משפט:

חוק גאוס הדיפרנציאלי קובע כי אם ידוע השדה בנקודה כלשהי, ניתן לחשב ע”י הדיברנגץ את צפיפות המטען הנפחית בנקודה ע”י:

דוגמה:

נתון שדה חשמלי במרחב (נסתכל רק על ):

נמצא את צפיפות המטען במרחב, בתחום .
עבור :

הביטוי לא תלוי במיקום ולכן:

לפיכך:

עבור :

לפי חוק גאוס הדיפרנציאלי:

פוטנציאל חשמלי

ראינו במכניקה וגם באלקטרוסטטיקה שלכוחות משמרים ניתן להגדיר אנרגיה פוטנציאלית. נגדיר גודל שדומה במהותו:

הגדרה:

הפוטנציאל החשמלי הוא העבודה ליחידת מטען שיש להשקיע על מנת להביא מטען נקודתי מנקודת הייחוס לנקודה המבוקשת .

הקשר ההפוך:

הערות:

1. הפוטנציאל הוא פונקציה סקלרית של המרחב .
2. הפוטנציאל תלוי בבחירת נקודת הייחוס, .
3. הקשרים הנ”ל בין פוטנציאל ושדה הם כמו הקשרים

ממכניקה.

רק להפרשי הפוטנציאל יש משמעות פיזיקלית:

הגדרה: מתח ():

היחידות:

המידה הוא הפוטנציאל במרחק של ממטען של .

עבור מטען יחיד:

דוגמה: קליפה כדורית דקה

מהו פוטנציאל הנוצר ע”י קליפה כדורית דקה בעלת רדיוס , הטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה
ראינו קודם (בעזרת חוק גאוס):

נקבע את ראשית הצירים במרכז הקליפה, ואת נקודת הייחוס באינסוף. נחשב את הפוטנציאל במרחב.
עבור :

עבור :

נסכם:

דוגמה:

מהוא המתח (הפרש הפוטנציאלים) בין שתי נקודות כלליות עבור חוט דק טעון בצפיפות מטען אחידה , כאשר החוט אינסופי?
לפי חוק גאוס, ראינו כבר כי:

לכן הפרש הפוטנציאלים:

לכן:

דוגמה:

נתון שדה במרחב דו-מימדי:

נקודת הייחוס היא בראשית .
מהו הפוטנציאל בנקודה ?

עיקרון הסופרפוזיציה לפוטנציאל

עיקרון הסופרפוזיציה לפוטנציאל:

לפי עיקרון הסופרפוזיציה לחוק קולון:

כאשר הוא המרחק של מטען מהנקודה המבוקשת:

פוטנציאל של גוף רציף

עבודה הדרושה להזזת מטען

העבודה שיש להשקיע על מנת להעביר מטען מנקודה לנקודה כנגד השדה החשמלי היא: