PDE1_002 משוואות קוואזילינאריות

משוואה קוואזילינארית מסדר ראשון

נתחיל מדוגמאות:

דוגמה:

נתונה מערכת מד”ר:

1. מצא פתרון כללי.
2. מצא פתרון פרטי המקיים:

3. מצא פתרון המקיים:

כאשר קבוע כלשהו.

פתרון:

1. נוכל לפתור בעזרת גורם אינטגרציה. נקבל:

2. משפט קיום ויחידות מבטיח לנו שקיים רק פתרון אחד המקיים את התנאים. נציב את התנאי בפתרון הכללי:

ולכן הפתרון הפרטי:

3. נציב:

ולכן הפתרון הפרטי, שתלוי עכשיו גם ב-:

מה משמעות הפתרון הזה?
למעשה תנאי ההתחלה שלנו כאן מייצגים עקום:

הפתרון שלנו מורכב מרצף עקומים שכולם עוברים דרך העקום .

דוגמה:

המערכת:

1. מצא פתרון כללי.
2. מצא פתרון פרטי המקיים:

פתרון:

1. נגזור משוואה ראשונה וניעזר במשוואה השנייה:

ולכן הפ”א:

וקיבלנו כי:

נגזור את המשוואה שקיבלנו ונציב בחזרה במשוואה הראשונה כדי לקבל:

ולגבי האחרונה:

לסיכום:

1. נציב:

וקיבלנו כי:

התנאי התחלה שלנו היה:

ניקח צעד נוסף, ונשים לב כי אוסף הפתרונות שלנו הוא למעשה פרבלואיד:

נגדיר את המשוואות שאנחנו בעצם רואים כאן:

הגדרה:

משוואה קוואזילינארית מסדר ראשון הינה מד”ח מהצורה הכללית:

הייא נקראת קוואזילינארית כי כי לא באמת לינארית - הפונקציה יכולה להיות בריבוע, בתוך וכו’.
הדרישה על לינאריות חלה רק על הנגזרת הכי גבוהה של .

אלגוריתם : שיטת האופייניים

שיטת האופייניים היא שיטה לפתירת מד”חים קוואזילינאריים.

בהינתן מד”ח קוואזילינארית:

נניח כי הוא פתרון של המשוואה. לכן, המשוואה הבאה:

מתארת את משטח הפתרון.
ניזכר שהנורמל למשטח נתון ע”י הגרדיאנט הבא:

נביט בוקטור המקדמים, והמכפלה הסקלרית עם הגרדיאנט:

קיבלנו בצד ימין את המד”ח שלנו. לכן, משטח הפתרון שלנו מתואר ע”י המשוואה:

כלומר, מאונך ל-. מאחר ו- נורמל למשטח, משיק למשטח.

לכן, כדי למצוא פתרון למד”ח הקוואזילינארית, נרצה למצוא משטח , כך שבכל נקודה על , הוקטור נמצא על המישור המשיק.

נתחיל בלמצוא עקומה שנמצאת על . אנחנו יודעים שהוקטור נמצא על המישור המשיק בכל נקודה על המשטח. לכן, נתחיל בלבנות עקומה עם פרמטריזציה כך שבכל נקודה עליה, הוקטור משיק לעקומה:

המשיק לעקומה היא הגזירה לפי :

ואנחנו רוצים ש- יהיה הוקטור הזה:

יש לנו כאן מערכת משוואות דיפרנציאליות ממד”ר שאנו יודעים לפתור.

לעקומות שאנו מוצאים אנו קוראים קווים אופייניים למד”ח. ברגע שמצאנו את הקווים האופייניים, נוכל לבנות את משטח כשילוב כל הקווים.

דוגמה:

מצאו פתרון למד”ח:

נמצא את הקווים האופייניים:

כאשר נפתור את המערכת הזאת, נקבל:

מצאנו את כל הקווים האופייניים במרחב. כעת נוסיף את תנאי ההתחלה. נבצע פרמטריזציה:

נציב אותה במערכת, עבור שאנחנו נחליט. אז עבור :

ולכן:

במודל מופיע המשטח, התנאי התחלה (הקו הפרבולי) והקו האופייני שניתן לשחק עם הקבועים שלו. התנאי התחלה בעצם מקבע את הקבועים האלו תחת משתנה אחד, ומאפשר לנו לייצר את המשטח.

זהו גם אוסף של קווים אופייניים, אבל במיוחד מצאנו את כל הקווים האופייניים שעוברים דרך עקומת התנאי התחלה. איחודם הוא המשטח הפותר. למעשה, זהו משטח בהצגה פרמטרית.
נרצה לעבור להצגה מפורשת:
נחלץ את כתלות ב- ונציב ב-:

הערה:

כאשר גזירות ברציפות אנו יודעים כי:

1. אוסף הפתרונות ממלא את המרחב (נובע ממשפט הקיום והיחידות למד”ח שנלמד בהמשך).
2. הפתרונות לא חותכים זה את זה.

משפט קיום ויחידות למד”ח קוואזילינארית

משפט:

עבור מד”ח קוואזילינארית עם תנאי התחלה , אם מתקיימים התנאים הבאים:

1. מתקיים
2. העקום חלק
3. מתקיים תנאי החיתוך:

אז בסביבה של קיים פתרון יחיד אמיתי.

---

תרגיל:
נתון המד”ח הבא:

1. פתור את הבעיה.
2. צייר את ההיטלים למישור של קו ההתחלה ושל קו האופייני העובר דרך הנקודה .

פתרון:

1. המקדמים הם: ולכן המערכת המשוואות של הקווים האופייניים הם: ממשוואה שלישית נקבל: ולכן מהמשוואה הראשונה: ולכן קיבלנו: הפתרון הכללי בצורה פרמטרית (מאחר וקיבלנו אוסף של משטחים): נציב את התנאי התחלה שלנו, אבל נבצע לו קודם כל פרמטריזציה: נבדוק שמתקיימים התנאים למשפט הקיום והיחידות:
   • מתקיים .
   • עקום חלק.
   • מתקיים:

לכן בסביבה של קיים פתרון יחיד.
נציב את הפתרון הפרטי בפתרון הכללי, כאשר נשים לב שאנחנו יכולים לבחור . אז נבחר :

קיבלנו כי:

וזהו הפתרון הפרטי בצורה פרמטרית.
נעביר לצורה מפורשת. ננסה להיפטר מה-:

קיבלנו כי:

נציב את זה בחזרה:

וזהו הפתרון הפרטי בצורה מפורשת.
התחום ההגדרה:

2. נחשב את הקו האופייני העובר דרך , כאשר נבחר :
   
   ולכן הקו האופייני שלנו הוא:
   
   במישור :
   
   

מציאת פתרון כללי

אם נרצה למצוא את הפתרון הכללי למד”ח קוואזילינארית נעשה את השלבים הבאים:
נמצא את הקווים האופייניים, כלומר, נגיע למערכת מהצורה:

ניפטר מה-, כך שנקבל משהו מהצורה הבאה:

ניפטר מה- ע”י פונקציה הפוכה:

ואז נוכל למצוא את :

כאשר נסמן את ההרכבה בפונקציה כללית חדשה, . לאחר סידור הביטוי נקבל משהו מהצורה:

תרגיל:
נתונה המשוואה:

2. צייר את ההיטלים של האופייניים למישור :
   פתרון:

   ולכן המערכת שלנו:

   משוואה ראשונה:

   נציב בשנייה:

   ולכן:

   בצורה מפורשת:

   ולכן נוכל לצייר:
   

3. מצא פתרון כללי בצורה מפורשת.
   פתרון:
   בצורה פרמטרית:

   ניפטר מה-:

   ולכן:

   נקבל:

   כאשר .

4. מצא פתרון פרטי המקיים:

   פתרון:
   נבצע פרמטריזציה של העקום:

   זהו עקום חלק. בנוסף:

   לכן בסביבה של קיים פתרון יחיד. נציב בפתרון הכללי:

   קיבלנו כי:

   ולכן הפתרון הפרטי:

5. מצא פתרון פרטי המקיים:

   פתרון:
   פרמטריזציה:

   שזהו עקום חלק. בנוסף:

   בעיה, תנאי משפט הקיום והיחידות לא מתקיים, לכן אנחנו לא יודעים אם קיים פתרון פרטי. נציב:

   כלומר, קיבלנו כי , ולכן יש לנו אין סוף פתרונות. למשל, :

6. מצאו פתרון פרטי המקיים:

   פתרון:
   פרמטריזציה:

   זהו עקום חלק. בנוסף:

   גם בעיה. נציב:

   קיבלנו:

   כלומר, קיבלנו פונקציה איפה שהיינו אמורים לקבל קבוע - זוהי סתירה ולכן אין פתרון.

7. מצאו פתרון פרטי עם התנאי התחלה:

   פתרון:
   חלק אא”ם . בנוסף:

   לכן מק”י מתקיים לכל . נציב:

   נאמר כי :

   ולכן:

   כלומר, הפתרון הפרטי שלנו:

   ניפטר מ-:

   לפי המשוואה השלישית:

תרגיל:
פתרו את המד”ח:

פתרון:

פרמטריזציה:

וזהו עקום חלק. המערכת שלנו:

משוואה שלישית:

נציב במשוואה הראשונה:

ולכן:

ולכן הפתרון הכללי בצורתו הפרמטרית:

מתקיים:

ולכן בסביבה של קיים פתרון יחיד. נמצא אותו ע”י הצבה:

ולכן:

נקבל כי הפתרון הפרטי:

כדי למצוא פתרון מפורש, ניפטר מה-. נשים לב כי:

לכן:

נשים בחזקה:

קיבלנו פתרון פרטי בצורה סתומה:

תרגיל:
עבור פונקציה גזירה ברציפות, מצאו את כל הפתרונות לבעיה הבאה ואת תחום ההגדרה שלהם.

פתרון:
מערכת המשוואות שלנו היא:

את עקום ההתחלה שנתון ניתן לתארו כ:

נבדוק את תנאי החיתוך:

נפתור:

נציב את עקום ההתחלה ב-:

נסכם כי משטח הפתרון שלנו הוא:

אם נרצה פתרון מפורש, ניתן להראות כי:

מציבים בביטוי עבור ומקבלים:

תחום ההגדרה: