מבוא

בהיפוך תהליך ראינו שבקר מושלם המניב לאות ייחוס הוא:

לא ניתן למימוש במציאות
עלול להיות מאוד לא יציב בגלל אי-יציבות פנימית.

נעסוק כעת באיך נוכל לדרוש במקום .

עבור בקר בחור פתוח מהצורה:

bookhue
יש לתגובה שני מרכיבים בלתי תלויים:

תגובה להפרעה , שלא ניתן לשליטה ע”י הבקר .
תגובה לייחוס שניתן לשליטה ע”י הבקר .

נעסוק במה שאנו כן יכולים לשלוט, הדינמיקה המבוקרת

והתגובות מצב מתמיד (steady-state) ומעבר (transient) שלו.

תגובה במצב מתמיד

יהי ל- יציבה. נרצה למצוא את במצב מתמיד. במקרה והאות ייחוס שלנו הוא מהצורה

𝟙

אז השגיאה שלנו תהיה

כי התגובה במצב מתמיד של אות מדרגה תואם ל- (תזכורת).
במילים אחרות, השגיאה שווה לגודל של התגובת תדירות של .
נאמר שהשגיאה “קטנה” אם:

במקרים מסוימים יהיה יותר נוח לחשוב על טענה זאת כ

כי ו- .
מאחר ו- , אז במידה והאות ייחוס שלנו הוא תנודתי עם תדירות כלשהו, כדי לקבל את במצב מתמיד מספיק לנו לדרוש:

שזה לא אותו הדבר כמו לדרוש . הדרישה החדשה שלנו הרבה יותר חלשה! אנחנו בעצם מבצעים כאן היפוך תהליך רק בתדירות מסוימת, . אם נרצה עוד תדירויות, נוכל פשוט להוסיף את הדרישות לתדירויות האלה בנוסף.

הערה:

אם אנו עובדים במערכות עם פרמטרים ממשיים, אז לדרישה נצטרף להוסיף את הדרישה הצמודה . הסיבה לכך היא שהדרישה הראשונה אמנם מבטיחה לנו שהעוצמה של תהיה שווה לעוצמה של במצב מתמיד, אבל אין שום הבטחה על הפאזה שלה. ע”י הדרישה של הצמוד של , שהוא , בעצם אנו “מסדרים” את כך שגם הפאזה של תהיה שווה לפאזה של במצב מתמיד.

דוגמה:

אם , כלומר $𝟙$ , אז:

מה שאומר שאנו צריכים לקבוע את ההגברה הסטטית הנכון לבקר. למשל במקרה של מערכת מסה-גלגלת עם ריסון וקפיץ:

נבחר

כי ההגברה הסטטית של מערכת זו היא . הבקר הבא

הופך את , כך ש- :

ברור שהתגובת מעבר (transient response) היא לא מה שרצינו, אנחנו בכלל רצינו פונקציית מדרגה, אבל כן ענינו על הדרישה במצב מתמיד, ועוד יש לנו דרגת חופש עם !

אם כעת $𝟙$ , אז אמ”ם:

נוכל לענות על דרישות אלו אם לכל :

ונמצא את ו- ע”י הצבה בדרישות:

נוכל לייצג זאת מטריצית:

שניתנת לפתרון לכל .
במידה ו- , לכל , הבקר ב

הופך את כך ש- :

ניתוח מודלי

נרצה לאפיין מערכות באופן איכותי ע”י מבט פשוט באפסים/קטבים שלהם. במקרים של מערכות מסדר ראשון או שני אנו מכירים כבר איך עושים זאת עם דיאגרמות בודה, אבל נביט קצת יותר לעומק בקטבים והאפסים ופרמטרים אחרים העלולים לעזור לנו בעזרת מה שנקרא ניתוח מודלי (modal analysis).

ניתוח מערכות מסדר ראשון ושני

במקרה של מערכת מסדר ראשון:

יש לה קוטב אחד ממשי ב:

כאשר הוא החלק הממשי של הקוטב. לכן:
bookhue

תגובת מדרגה של מערכת מסדר ראשון. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

נשים לב שככל ש- גדול יותר, התגובת מעבר מהירה יותר.

עבור מערכת מסדר שני תת מרוסנת עם פונקציית תמסורת מהצורה:

עם הקטבים ב

כאשר ו- הם הערכים בערך מוחלט של החלקים הממשיים והמדומים של הקטבים. נשים לב ש:

כלומר:

היחס בין החלקים הממשיים והמדומים של הקוטב תלוי רק ב-.
הערך המוחלט של הקוטב תלוי אך ורק ב-.

bookhue

תגובת מדרגה של מערכת מסדר שני תת-מרוסנת. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

נראה כי:

ככל שהיחס יותר גדול, כך התגובת יתר (overshoot) יותר נמוכה.
המהירות של התגובה פרופורציונלית לערך המוחלט של הקטבים.

הערה:

נשים לב שממשפט הערך ההתחלתי השיפוע ההתחלתי של מערכת עם הפרש קטבים ואפסים שגדול מ- הוא תמיד , עבור כניסת מדרגה.

רמות תגובות יתר ותדירות טבעית

מהגרף של תגובת מדרגה של מערכת מסדר שני לעיל אנו רואים שעבור יחס קבוע התגובת יתר קבועה, כך שנוכל לשרטט על המישור המרוכב קווים המתארים תגובות יתר קבועות:
bookhue

קווים רדיאליים של תגובות יתר קבועות. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

אם נרצה לדרוש תגובה יתר מקסימלית כלשהית, נוכל לשרטט על המישור את כל האזור שמקיים :
bookhue

האזור במישור המרוכב עבורו הקטבים יקיימו . (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

הערה:

רמת המקדם ריסון הם אותם קווים רידאליים.

נשים לב גם שתדירות טבעית קבועה ניתנת לתיאור כחצאי מעגלים במישור המרוכב - . אם נרצה לדרוש תדירות טבעית כלשהית , נוכל לשרטט על המישור את כל האזור בהם הקטבים מקיימים :
bookhue

האזור במישור המרוכב עבורו הקטבים יקיימו . (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

כעת, כדי לדרוש תגובה מעבר שהיא גם יחסית מהירה () וגם לא תנודתית מדי (), נצטרך לדרוש שהקטבים שלנו יתמקמו בשני האזורים לעיל:
bookhue

האזור בו כל הקטבים ממקומים כדי ליצור תגובות מדרגה “מהירות מספיק” ו”חלקות מספיק”. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

השפעה של קוטב נוסף ואפס נוסף

יהי

עבור . ניתן לחשוב על מערכת זו כחיבור בטור של מערכת מסדר ראשון ומערכת מסדר שני:
bookhue

ניתן לחשוב על התגובה של כהתגובה למערכת מסדר שני לקלט “מדרגה חלקה”. לכן נצפה שהתגובה תהיה איטית וחלקה יותר.
bookhue

התגובה של עבור ערכים שונים של , כאשר שקול למערכת מסדר שני. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

נשים לב שככל ש- גדל (ולפיכך גם גדל):

התגובת יתר קטנה.
הזמן עלייה (raise time) עולה.

נביט כעת בהשפעה של אפס נוסף על המערכת. יהי:

עבור . לא נתעמק יותר מדי במה קורה פה, מספיק שנדע שאם המערכת מסדר שני המוחבאת כאן היא תת-מרוסנת:
bookhue

תגובת מדרגה ל- עבור ערכים שונים של , כאשר המערכת מסדר שני הבסיסית היא תת-מרוסנת. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

ככל ש- גדל:

התגובת יתר גדלה.
התגובת חסר (undershoot) גדלה.
הזמן עלייה קטן.
הזמן רגיעה גדל.

במידה והמערכת מסדר שני הבסיסית מרוסנת-יתר:
bookhue

תגובת מדרגה ל- עבור ערכים שונים של , כאשר המערכת מסדר שני הבסיסית היא מרוסנת-יתר. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

ככל ש- גדל:

התגובת יתר גדלה, במידה ו- .
התגובת חסר גדלה, במידה ו- .
הזמן עלייה קטן.

ראינו כעת שבעוד ניתוח מודלי עובד טוב למערכות מסדר ראשון ושני, הוא כושל במקרים בהם מוסיפים למערכות אלו קטבים ואפסים נוספים. למשל, עלולה להיות לנו תגובת יתר למערכות רק עם אפסים/קטבים ממשיים.

אבל, במקרים מסוימים, נוכל להרחיב את הניתוח המודלי למערכת מסדר גבוה יותר אם הדינמיקה הדומיננטית של המערכת היא מסדר נמוך.

דינמיקה דומיננטית

הגדרה: אפס/קוטב דומיננטי

נאמר שקבוצה של אפסים/קטבים הם דומיננטיים אם אחת מהטענות הבאות תקפות:

כלל האפסים/קטבים האחרים רחוקים בלפחות פי מהציר המדומה .

האפסים/קטבים הקרובים “כמעט מבטלים” אחד את השני.

bookhue

קטבים ואפסים (בכחול) שנחשבים לא דומיננטיים. קוטב מסומן ב-, אפס מסומן ב-. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

דוגמה:

לכל , נגדיר:

הקטבים הם ויש אפס יחיד ב-. נשווה למערכת מסדר נמוך:

השוואה של התגובות מדרגה של המערכת ממעלה שלישית ומערכת ממעלה ראשונה . (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

ניתוח תגובת תדירות

עוד דרך לאפיין מערכות היא בעזרת ניתוח תגובת תדירות (frequency-response analysis). נביט למשל בגרף בודה-הגבר (magnitude) של מערכת מסדר ראשון

bookhue

גרף בודה-הגבר (magnitude) של . (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

נשים לב ש:

ככל ש- קטן, הרוחב-פס (bandwidth) מתרחב (תזכורת לפילטרים).

אם נביט בתגובת תדירות ומדרגה שלו:

bookhue

תגובת תדירות ומדרגה של עבור שונים. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

נסיק ש:

עבור רוחב-פס רחב יותר אנו מקבלים זמן עלייה קצר יותר - תגובת מעבר מהירה יותר.

מבחינת מערכת מסדר שני:

הגרף בודה שלו:
bookhue

גרף בודה-הגבר (magnitude) של . (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

נשים לב שהרוחב-פס :

גדל כאשר גדל (והתגובת מדרגה הופכת להיות מהירה יותר).
גודל מעט כאשר יורדת (והתגובת מדרגה הופכת להיות מהירה יותר).
פסגת התהודה (resonant peak):
גדל כאשר קטנה (והתגובת מדרגה יותר רַעְדָנִית, shaky).

אם נביט בתגובת תדירות ומדרגה שלו עבור קבוע ו- משתנה:
bookhue

תגובת תדירות ומדרגה של עבור ו- . (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

מה שמראה ש:

רוחב-פס רחב יותר מניב זמן עלייה קצר יותר (מעבר מהיר יותר).

עבור משתנה ו- קבוע:
bookhue

תגובת תדירות ומדרגה של עבור ו- . (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

מה שמראה ש:

תהודה גדולה יותר גורמת לתגובת יתר גדולה יותר.

אחד מהיתרונות של ניתוח תגובת תדירות הוא שאת הכללי אצבע שעובדים עבור מערכות מסדר ראשון ושני ניתן גם להרחיב למערכות כלליות. למשל, אם:

ואז עם ו- קבועים, ו- משתנה:
bookhue

תגובת תדירות ומדרגה של עבור ו-. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

וגם כאן:

רוחב-פס רחב יותר מניב זמן עלייה קצר יותר (מעבר מהיר יותר).
תהודה גדולה יותר גורמת לתגובת יתר גדולה יותר.

בכללי נוכל לומר ש:

טיפים:

ככל ש- גדול יותר, התגובות יתר וחסר יהיו גדולים יותר.

בדרך כלל:

פסגות צרות יותר מעידות על תגובה תנודתית עם תדירויות הקרובות לתדירויות של הפסגה בדיאגרמת בודה-הגבר.

פסגות רחבות יותר מעידות על תגובת יתר או חסר ללא תנודות.

רוחב-פס רחב יותר מניב זמן עלייה קצר יותר (מעבר מהיר יותר).

מודל ייחוס

בהינתן תהליך יציב ,
bookhue

נרצה למצוא ש:

מייצב פנימית את המערכתץ
מבטיח שגיאות אפסיות במצב מתמיד עבור אותות ייחוס מסויימים.
מספק תגובת מעבר (transient) “טובה” (למשל, מספיק מהיר וחלק).

בעוד ייצוב המערכת הוא יחסית פשוט (צריך רק לדאוג שגם יהיה יציב), די קשה לנו לאכוף את התנאים על התגובות במצב מתמיד, ובמיוחד על התגובת מעבר.

נתחיל מלבטא את הבקר שאנו רוצים ב-, שנקרא לו המודל ייחוס, כלומר נרצה ש:

כאשר ה- מקיים את כל התנאים הרצויים לעיל.
לכן, נרצה ש:

כדי שתהיה יציבות פנימית, צריך ש- וגם יהיו יציבים, מה שמגביל את הבחירה של .

נסמן:

מיציבות פנימית, אנו צריכים ש- יהיו Hurwitz. במקרה זה:

נסיק כי לבקר אין קטבים לא יציבים אמ”ם:

כל אפס של שנמצא ב- הוא גם אפס של .

בנוסף, הבקר הוא proper אמ”ם:

עודף הקטבים של הוא לפחות גדול כמו העודף קטבים של .

אם מקיים את שני התנאים לעיל והוא גם יציב בפני עצמו, נאמר כי הוא מודל ייחוס קביל/אפשרי/מותר (admissable).
חוץ מכך, נרצה גם שהמודל שלנו יהיה:

עם מבנה low-pass:
- הרוחב-פס שנבחר כולל את התדירויות שאנו מעוניינים בהם ולא יותר (אין סיבה לבחור ברוחב פס רחב - קשה מדי ליישם, דורש די הרבה מאמץ מהבקר שלנו).
- ל- יש לאות ייחוס מדרגה.
- הקטבים ממוקמים באזורים “טובים” כדי שהמעברים יהיו חלקים.
פשוט:
- לרוב נרצה מסדר ראשון או שני.
- אם לא ניתן להימנע ממערכות מסדר גבוה, אז נרצה שלפחות התגובה הדומיננטית תהיה מסדר ראשון או שני.
- אם חייבים להיות אפסים ב-RHP, נצמצם את הרוחב פס.

מאמץ בקרה

דוגמה:

בהינתן המעלית שלנו עם פונקציית תמסורת:

נוכל לבחור כל יציב, שהפונקציית תמסורת שלו עם לפחות עודף קוטף אחד. לכן נוכל לבחור

ו-נכוונן את קבוע הזמן שלו כדי שיהיה לנו:

תגובות מעבר מהירות מספיק

רוחב פס רחב של תדירויות של ש- יעקוב אחריהם (כלומר, כמה שיותר עבורם .

נקבל בקר מהצורה:

תגובת מדרגה של . (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

נדמה כי ניתן ליישם לכל , ואם אנו רוצים תגובה מאוד מהירה, אנו רק צריכים לבחור קטנה מספיק.
הבעיה מתחילה כאשר נביט בתגובת מדרגה של הבקר:

תגובת מדרגה של הבקר . (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

אנו יכולים לראות שעם ההאצה של אנו דורשים יותר מהבקר שלנו - מהירות עצומה של . לתופעה זו אנו קוראים מאמץ בקרה, ונרצה להשאיר אותו כמה שיותר קטן. למשל, במקרה של המעלית המתוארת בדוגמה, קשה לנו מאוד לבנות מנוע שיוכל להגיע למהירויות זוויתיות עצומות כאלה. אנחנו גם לא נרצה לעשות זאת בדרך כלל, זה סתם יעיף את כל מי שבתוך המעלית לתקרה.

נראה כי גם בתגובת תדירות יש לנו בעיה:

תגובת תדירות של - דיאגרמת בודה-הגבר. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

ככל ש- קטנה, השיאים של עולים, מה שגורם לשיאים יותר גבוהים ב-. הסיבה שאנו מקבלים שיאים כל כך גבוהים ב- נהיית יותר ברורה כאשר אנו ניזכר בהגדרה , וב- שדרשנו:

תגובת תדירות של ו- -דיאגרמת בודה-הגבר. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

ניתן לראות שכאשר אז גם , שזה נובע ישירות גם מההגדרה.

נרצה לדעת האם יש עוד תנאי שנוכל לדרוש על בבחירה שלנו כדי להימנע ממאמץ בקרה עודף - נרצה לדעת האם יש תנאי כללי שנוכל להכתיב עליו שיגרום לכך ש- .

ניתן לראות בדוגמה האחרונה (בגרף האחרון, יש גם גרף של ) של- יש שיפוע של בערך עבור , ושיפוע עבור .
לכן, הדעיכה של הרבה יותר מהירה מאשר הדעיכה של לרוחב של בערך decade שלמה. בנוסף, חוסר איזון זה מתרחש מעבר לרוחב פס של לכל (שוב, ראו את הגרף האחרון בדוגמה הקודמת).
נסיק, שאולי, אם נדרוש על ש- , אז, אולי, נקבל מאמץ בקרה יותר הגיוני ליישום.

דוגמה:

עם אותה המערכת מהדוגמה הקודמת, נבחר מסדר שני כדי לקיים :

למערכת זו רוחב פס מיוחד המקיים , והיא נקראת פילטר Butterworth. במקרה זה:

שהוא יציב לכל , שהוא הדרגת חופש שלנו (מקודם היה לנו את , עכשיו זה ).

התגובות מדרגה:

תגובות מדרגה במערכת החדשה. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

עדיין, האצה של דורשת מאמץ בקרה יותר גבוה, ואם נביט בתגובת תדירות

תגובת תדירות של - דיאגרמת בודה-הגבר. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

נראה שככל ש- עולה, השיאים של גדלים.
אבל, כאשר נביט גם בתגובת תדירות של :

תגובת תדירות של ו- -דיאגרמת בודה-הגבר. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

אנו רואים ש- מתחילה לגדול מעל כאשר הרוחב פס של מתחיל לעבור את הרוחב פס של .

משתי הדוגמאות לעיל נסיק שככלל אצבע:

טיפ:

כדאי לדרוש מודל ייחוס שהרוחב פס שלו לא עולה על הרוחב פס של התהליך, כי זה לרוב דורש מאמץ בקרה גדול לאמץ את התהליך להגיב מהר יותר מהמהירות תגובה הטבעית שלו (בהנחה ולשניהם יש מבנה low-pass).

תרגילים

תרגיל 1

bookhue

מפות קטבים-אפסים ותגובות מדרגה. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

התאימו בין המפות קטבים-אפסים והתגובות מדרגה באיורים.

פתרון:
ניתן לראות מהמיקומי קטבים איזה מהמערכות הן מסדר ראשון ואיזה מסדר שני. מבחינת התגובות מדרגה נוכל להסיק איזה סדר המערכת מהשיפוע שלו בהתחלה. ל- כולם יש שיפוע התחלתי אפס (אצל יותר קשה לראות, אבל הוא קיים), מה שמעיד על כך שהם מסדר שני.
עבור , שכבר הבנו שיש לה שני קטבים, נשים לב שהיא תת-מרוסנת, כך ששני הקטבים שלה הם ממשיים ב-LHP, ולכן:

מבחינת ו-, נותר לנו רק את ו- מבחינת מערכות מסדר שני. נשים לב של- קטבים שרחוקים פי מהקטבים של , אבל יש להם את אותו החלק המדומה. כלומר, ל- יחס יותר גדול, מה שמעיד על כך שיש ל- יותר קטן, ופחות תנודות. נסיק ש:

מבחינת מערכות מסדר ראשון, יש לנו את ו-, עם . ל- קוטב יותר רחוק, מה שמעיד על תגובה מהירה יותר. לכן:

נשים לב גם שב- הקוטב הדוימננטי הוא הקוטב שגם מופיע ב-, כך שנצפה שהתגובות תדירויות שלהם יהיו דומות - אכן, ו- דומות.

תרגיל 2

bookhue

תגובות מדרגה ודיאגרמות בודה-הגבר. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

התאימו בין התגובות מדרגה לדיאגרמות בודה.

פתרון:
אנו יודעים שלמערכות עם גרף בודה-הגברש יורד מונוטונית יש בדרך כלל תגובות מדרגה לא תונדות. בנוסף, ככל שרוחב הפס רחב יותר, התגובת מדרגה מהירה יותר. מבין הגרפי בודה, ה- ו- הם מונוטונים, מה שתואם ל- ו-. מביניהם, ל- יש את הרוחב פס הכי גדול, ולכן הוא מתאים לתגובת מדרגה הכי מהירה, :

מבחינת ו-, נשים לב של- יש שיפוע של בערך (עודף של 2 קטבים), בעוד ל- השיפוע הוא כ- (עודף של קוטב אחד). במקרה של עודף אחד נצפה לראות שיפוע התחלתי שאינו אפס (נובע ממשפט הערך ההתחלתי). עבור עודף קטבים גדול יותר, נצפה לראות שיפוע התחלתי אפס. מאחר ול- שיפוע התחלתי אפס, נסיק כי:

למערכות עם תהודות צרות יש בדרך כלל תגובות מדרגה תונדות, עם תדירויות הקרובות לתדירות התהודה. מבין ו-, ל- יש תדירות תהודה יותר נמוכה, ולכן הוא מתאים יותר ל- שעם תדירות נמוכה יותר מ-.

תרגיל 3

הביטו במערכת הבאה:

bookhue

סכימת המערכת. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

שתי מסות מחוברות ע”י גלגלת חסרת מסה וקפיץ בעל קבוע קפיץ , ומקדם חיכוך . המגע בין המסות מייצר כוח חיכוך שפרופורציונאלי במהירות, עם מקדם , נגד כיוון התנועה. ההעתק של המסה הימנית הוא הקלט וההעתק של המסה השמאלית הוא הפלט . המערכת נשלטת ע”י בקר בחוג פתוח עם בקר ותגובה מבוקרת עבור אות ייחוס .

סעיף א’

אם המסות לא נוגעות אחת בשנייה (כלומר, אין כוח חיכוך הפועל ביניהם, עם ), אז לתהליך יש את הפונקציית תמסורת:

מדלו את הבקר עבורו לתגובות המבוקרות לאות ייחוס יהיה את פונקציית התמסורת:

תחת אלו תנאים על המערכת היא יציבה פנימית?

פתרון:
עם התהליך הנתון והמערכת הרצויה , נסיק כי:

מערכת זו:

היא proper אמ”ם .
יציבה רק אם , כי אז כל הקטבים שלו יהיו ב-LHP.

עבור , היא מערכת strictly proper וגם יציבה.
לפיכך המערכת יציבה פנימית אמ”ם .

סעיף ב’

שרטטו את התגובות מדרגה של ו- עבור .
פתרון:
bookhue

תגובת מדרגה של . (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

bookhue

תגובת מדרגה של . (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

ניתן לראות שכאשר קבוע הזמן של המערכת המבוקרת, , יורדת, התגובה של מהירה יותר, כפי שמצופה ממערכת מסדר ראשון . אבל, כפי שניתן לראות מהגרף השני, תגובה מהירה יותר דורשת יותר מאמץ גבוה יותר.
ניתן לראות זאת גם מהדיאגרמת בודה-הגבר של הבקר בגרף הבא:
bookhue

דיאגרמת עוצמה-בודה של . (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

ההגבר הגדול בתדירויות הגבוהות אחראי לשיאים הגבוהים בהתחלה - הרגע בו המדרגה מופעלת. העלייה בעוצמה בתדירויות הגבוהות מוסברות ע”י ההשוואה בין ההתנהגות של ו- בתדירויות הגבוהות:

bookhue

דיאגרמת עוצמה-בודה של ו-. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

אנו יכולים לראות שב- קטן, קטן משמעותית לאט יותר מאשר . לכן, היחס ביניהם, שהוא , גדל.

סעיף ג’

נניח כעת שאנו צריכים שהשגיאת מצב מתמיד בין ו- עבור גם $𝟙$ וגם $𝟙$ עבור נתון, ולכל . דרשו ש

עבור ו- . האם ה- המתקבל יציב?

פתרון:
כדי להבטיח שהמערכת המבוקרת היא , נדרוש שוב ש- . לכן:

הפונקציית תמסורת הזו היא proper (מונה ממעלה רביעית, מכנה ממעלה רביעית), וכלל הקטבים שלו, ו- כולם ב-LHP. לכן, יציבה, ומאחר וגם יציבה, מערכת הבקרה יציבה פנימית.

נדרוש כעת שהשגיאה היא אפסית במצב מתמיד לאות ייחוס עם תדירות . לכן, נדרוש ש:

בגלל ההגבר של , אז אנו יודעים ש-. לכן:

כעת נעבור לתנאים על ו-. נתחיל מלהציב כללי במקום ישירות או מסיבות שנראה בהמשך. כלומר, נדרוש ש:

נציב את :

נציב , החלקים הממשיים והמדומים של המשוואה מופרדים באופן מאוד יפה:

מ”השוואת מקדמים”:

נקבל את דיאגרמת הבודה:
bookhue

דיאגרמת בודה של עבור . (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).

ניתן לראות מהגרף לעיל שבאמת לבקר יש הגבר עבור פונקציית מדרגה () והתדירות הרצויה . בנוסף, הוא גם לא מוסיף או מחסיר מהפאזה בתדירויות אלו, שזאת בזכות הדרישה ש- .

סעיף ד’

כעת, הניחו שהמסות נוגעות אחת בשנייה, ויוצרים כוח חיכוך ביניהם עם מקדם . מצאו את משוואות התנועה של המערכת במקרה זה.

פתרון:
משוואת התנועה החדשה היא:

לכן פונקציית התמסורת של המערכת היא:

כיוון ש- , נשים לב מהמונה שיש לנו אפס ימני (אפס שנמצא ב-RHP) - מה שנקרא גם שהמערכת ב- nonminimum-phase.

סעיף ה’

שרטטו סכמתית את התגובת מדרגה של המערכת.

פתרון:
bookhue

תגובת מדרגה של (בכחול) כאשר . הקו האדום מייצג תגובת מדרגה של מערכת מסדר שני תת-מרוסנת עם שני קטבים שמאליים, וללא אפסים. (Leonid Mirkin’s Homepage, n.d.).