CAL2_005 פונקציה בשני משתנים, טופולוגיה

הערות:

כל הגדרה כאן ניתן בקלות להרחיב לפונקציה ב- משתנים.

טופולוגיה

קווי גובה

הגדרה:

עבור פונקציה , כל המקיים:

נקרא קו גובה. למעשה, זהו חיתוך גרף הפונקציה לבין המישור .

משטח רמה

הגדרה:

עבור פונקציה , כל המקיים:

נקרא משטח רמה.

---

תרגילים:

1. מצאו את אוסף משטחי הרמה של הפונקציה: פתרון:
   נשווה ל-, ונבדוק מה קורה אם : נבדוק חתכים: נקבל: כלומר אוסף מעגלים.
   נבדוק גם חיתוך עם מישור , כלומר : קיבלנו שני ישרים.
   לסיכום קיבלנו חרוט דו-צדדי.
   אם : נבדוק חתכים: נקבל: נקבל אוסף מעגלים, שמתחילים מרדיוס מסוים.
   נבדוק חיתוך עם המישור : קיבלנו היפרבולות.
   לסיכום, קיבלנו היפרבולואיד חד-יריעתי.
   אם :
   נבדוק חיתוכים: וזהו אוסף מעגלים, אבל נשים לב כי אין מעגלים עבור .
   אם: כלומר, היפרבולות שסימטריות על ציר ה-.
   לסיכום, קיבלנו היפרבולואיד דו-יריעתי.

סביבה מעגלית

הגדרה:

סביבה מעגלית של במישור, היא עיגול פתוח (לא כולל שפה מעגלית) שבו כל נקודה מקיימת:

כאשר רדיוס העיגול.

סביבה כדורית

הגדרה:

סביבה כדורית של במישור, היא כדור פתוח שבו כל נקודה מקיימת:

כאשר רדיוס הכדור.

נקודה פנימית מעגלית

הגדרה:

יהי תחום במישור, והנקודה ב-. הנקודה נקראת פנימית ל- אם קיימת סביבה עיגולית שלה ברדיוס , המוכלת כולה ב-.

נקודה פנימית כדורית

הגדרה:

נקודה היא פנימית לתחום במרחב אם קיימת סביבה כדורית שלה ברדיוס המוכלת כולה ב-.

נקודת שפה

הגדרה:

הנקודה היא נקודת שפה של תחום אם לכל סביבה עיגולית שלה יש נקודות ב- ויש נקודות מחוץ ל-.

תחום פתוח

הגדרה:

תחום נקרא פתוח אם כל נקודותיו הן פנימיות.

הערות:

1. נקודת שפה לא חייב להיות מוכלת ב-.

תחום סגור

הגדרה:

תחום נקרא סגור אם הוא מכיל את כל נקודות השפה שלו.

הערות:

1. תחום יכול להיות לא פתוח ולא סגור.

תחום חסום

הגדרה:

1. התחום נקרא חסום במישור, אם קיים עיגול בעל רדיוס סופי המכילה אותו.
2. התחום נקרא חסום במרחב, אם קיים כדור בעל רדיוס סופי המכיל אותו.

הערות:

1. תחום יכוה להיות סגור אך לא חסום, למשל:

תחום קשיר

הגדרה:

תחום נקרא קשיר אם לכל שתי נקודות ב- קיימת עקומה רציפה המקשרת בין כאשר כל נקודות מוכלות ב-. פורמלית, קיימת:

דוגמאות:

1. התחום:

תחום זו מכיל את כל הנקודות ברביע הראשון והרביע השלישי, כולל ראשית הצירים.

תרגילים:

1. קבעו האם תחום ההגדרה של הפונקציה: פתוח, סגור, חסום, קשיר וכו’.
   פתרון: נסיק כי זהו תחום פתוח, לא סגור, חסום, לא קשיר, סימטרי ביחס לכל הצירים והראשית.
2. עבור הפונקציה: פתרון:
   המונה מוגדר לכל . המכנה יתאפס רק אם , כלומר נדרוש ש: נסיק כי זהו תחום לא פתוח, סגור, לא חסום, לא קשיר, סימטרי ביחס לראשית אך לא לצירים.
3. הפונקציה: פתרון:
   נדרוש: נסיק כי

פונקציה בשני משתנים

יהי . נתאים לכל תמונה:

נוכל לרשום זאת כוקטור:

ולמעשה, וקטור זה הוא משטח!

למשל, ניקח חרוט במרחב:

אם ניקח:

קיבלנו פרמטריזציה של המישור הריבועי! התאמה זו בין ל- היא פונקציה, שלפעמים נסמן .

הערות:

1. נעבור כעת לפונקציות סקלריות, , ולא וקטוריות, על מנת לא לסבך את ההגדרות בהמשך.

גבולות של פונקציה בשני משתנים

לכו למיטה, תבכו, ותנסו להיזכר בגבול של פונקציה.
עכשיו אפשר להמשיך.

גבול של פונקציה בשני משתנים

הגדרה:

תהי פונקציה המוגדרת בסביבה עיגולית נקובה של הנקודה . נאמר ש:

אם לכל , קיים , כך שלכל נקודה בתוך העיגול הפתוח הנקוב ברדיוס :

מתקיים:

יעני:

הערות:

1. הפונקציה לא בהכרח מוגדרת בנקודה .

לצערנו יש גם גבולות אינסופיים. למשל מתקיים:

אריתמטיקה של גבולות בשני משתנים לא כל כך משתנה, למשל אם , אזי מתקיים:

כמו כן, גם כל שאר משפטי הגבולות דומים.

שלילת גבול בעזרת עקומות

משפט:

יהי העקומות הרציפות הבאות:

כך ששתיהן נחתכות ב-:

אם:

ו-, אז הגבול הבא לא קיים:

דוגמאות:

1. הגבול:

נסמן :
נשים לב שכאשר , וגם , אז: .
כעת נוכל לחקור את הגבול כך:

רציפות פונקציה בשני משתנים

הגדרה:

תהי המוגדרת בסביבת , כולל. נאמר ש- רציפה ב- אם:

1. מתקיים:

רציפות בתחום

הגדרה:

נאמר ש- רציפה בתחום אם רציפה לכל נקודה ב-.

כמו ברציפות פונקציה במשתנה אחד, מתקיים כי סכום, הפרש, כפל, מנה והרכבה של פונקציות רציפות ב- נתון פונקציה רציפה ב-.

משפט ויירשטראס לתחום

ניזכר בויירשטראס במשתנה אחד. האנלוג בשני משתנים:

משפט:

אם פונקציה רציפה בתחום חסום וסגור, אז מקבלת את המקסימום והמינימום המוחלטים ב-.

משפט ערך הביניים

משפט:

תהי פונקציה רציפה בתחום קשיר, ותהי שתי נקודות ב- כך ש:

אזי, לכל ערך המקיים קיימת נקודה ב- כך ש:

דוגמאות:

1. הגבול:

ניעזר בהצבה של קואורדינטות קוטביות:

ננחש כי הגבול הוא אפס, ונציב את הקואורדינטות:

ולכן הגבול הוא .

תרגילים:

1. הגבול: פתרון:
   לפי כלל הסנדוויץ’: ולכן הגבול הוא .
2. הגבול: פתרון: אבל יצרנו בעיה! מתקיים: למעשה, גבול זה לא קיים - הוא לא מוגדר ב-, כלומר אין סביבה מנוקבת של הפונקציה שמוגדרת.
   ננסה בעזרת כלל הסנדוויץ’: נחשב את הגבול של הגורם המרכזי ע”י מעבר לקואורדינטות מעגליות: נציב בחזרה ב- ונקבל כי הגבול הוא גם לפי סנדוויץ’.
3. הראו כי הגבול הבא לא קיים: פתרון:
   נעבור להצגה פולארית: גבול זה לא קיים! לכאן אי אפשר להשתמש בקואורדינטות מעגליות. ננסה להוכיח בדרך שונה:
   עבור העקומה : אבל עבור העקומה : ולכן הגבול לא קיים.
4. הגבול: פתרון:
   נסמן . נקבל: נשים לב כי לפי זהות ידועה: אז לפי סנדוויץ’:

תרגילים:

1. נתונה הפונקציה: עבור אלו ערכי הגבול קיים בראשית?
   פתרון: כדי שנוכל להתקרב לנקודה מכל מסלול אפשר, נגדיר ש-.
2. הגבול: פתרון:
   נבדוק עקומים - : העקום : ולכן הגבול לא קיים.

תרגילים:

1. בדקו האם הפונקציה רציפה ב-: נבדוק עבור מסלול : לכן הפונקציה לא רציפה ב-.
2. האם הפונקציה: רציפה בכל ?
   פתרון:
   נתאר את הפונקציה כך: ופונקציה זו רציפה בכל כי היא של סכום רציפות ב-.