CAL1_005 נגזרות

הגדרת הנגזרת

נגזרת

הגדרה:

נאמר שפונקציה , המוגדרת בסביבה של הנקודה , היא גזירה בנקודה אם הגבול הבא קיים וסופי:

נסמן גבול זה ע”י ונקרא לו הנגזרת של בנקודה .

הערות:

1. הגדרה שקולה:

תרגילים:

1. חשבו לפי הגדרה את הנגזרת של בנקודה כללית.
2. חשבו לפי הגדרה את הנגזרת של בנקודה כללית.

נגזרות חד צדדיות

הגדרה:

נאמר שפונקציה המוגדרת בסביבה ימנית של נקודה , היא גזירה מימין בנקודה אם הגבול הבא קיים וסופי:

נאמר שפונקציה המוגדרת בסביבה שמאלית של נקודה , היא גזירה משמאל בנקודה אם הגבול הבא קיים וסופי:

פונקציה גזירה היא פונקציה רציפה

הגדרה:

אם פונקציה גזירה בנקודה אז היא רציפה בנקודה .

הערות:

1. אין זה נכון כי אם רציפה בנקודה אז גזירה בנקודה . למשל, בנקודה .
2. אם פונקציה גזירה בקטע, אין זה אומר בהכרח שהנגזרת שלה רציפה בקטע. נראה דוגמה לזה בהמשך.

הוכחה:

ולכן לפי הגדרת הרציפות, רציפה בנקודה .

נגזרות מידיות

נוסחת הישר המשיק

משפט:

תהי פונקציה גזירה בנקודה . אזי, הישר המשיק לה בנקודה הוא:

כללי גזירה

משפט:

יהי ו- פונקציות גזירות. אזי:
1.

כלל השרשרת

משפט:

תהי פונקציה גזירה בנקודה ותהי פונקציה גזירה בנקודה . אז גזירה ב- ונגזרתה נתונה ע”י הנוסחה:

תרגילים:

1. הוכח/הפרך: אם גזירה לכל אזי רציפה לכל .
   פתרון: הטענה שגויה. למשל: עבור , הנגזרת: כיוון ש- ול- אין גבול כאשר , אזי ל- אין גבול כאשר . לעומת זאת: הסבר ל-: אפס כפול חסומה.
   מצאנו כי , אבל הגבול לא קיים, ולכן לא רציפה ב-. מבחינה גרפית:

נגזרת פונקציה הפוכה

משפט:

תהי חח”ע ועל. אם אז גזירה בנקודה ומתקיים:

תרגילים:

1. גזרו לפי המשפט את בנקודה כללית. כלומר, קיבלנו
2. תהי חח”ע ועל. חשבו .
   מתקיים . לכן:

המשפטים היסודיים של החשבון הדיפרנציאלי

נקודות קיצון וקריטיות

הגדרה:

תהי פונקציה המוגדרת בקטע .

• נאמר כי היא נקודת מקסימום מקומי אם היא נקודה פנימית של הקטע ואם קיימת סביבה של כך שלכל בסביבה זו מתקיים .
• נאמר כי היא נקודת מינימום מקומי אם היא נקודה פנימית של הקטע ואם קיימת סביבה של כך שלכל בסביבה זו מתקיים .
• נאמר כי היא נקודת קיצון מקומי אם היא נקודת מקסימום מקומי או נקודת מינימום מקומי.
• תהי מוגדרת בקטע . הנקודות הקריטיות של הם כל הנקודות הפנימיות של בהן הנגזרת קיימת ושווה לאפס, או בהן הנגזרת אינה קיימת.

משפט פרמה

משפט:

תהי מוגדרת בקטע וגזירה בנקודה פנימית . אם נקודת קיצון מקומי של אזי .

הוכחה:
נניח כי היא נקודת מקסימום (עבור מינימום ההוכחה זהה). לפי הגדרת המקסימום המקומי, קיימת סביבה של כך ש:

בנוסף, נתון כי גזירה ב-, ולכן:

• מימין, נשים לב כי מתקיים ועדיין , ולכן: לפי תכונות הסדר של גבולות:
• משמאל, נשים לב כי מתקיים ועדיין ולכן: לפי תכונות הסדר של גבולות:

קיבלנו כי:

ולכן .

תרגילים:

1. עבור הפונקציה:
   1. האם מקבלת מינימום ומקסימום ב-? אם כן, מצאו את המינימום והמקסימום שלה.
      
      נבדוק רציפות של f בקטע . רציפה בכל נקודה מלבד (תפר), כפולינום.
      נבדוק רציפות ב-: קיבלנו כי , ולכן רציפה ב-, ובכלל, רציפה בכל .
      לפי ויירשטראס, מקבלת מינימום ומקסימום בקטע .
      נמצא את נקודות מינימום ומקסימום אלו. הנקודות החשודות שלנו הן :
      • הנקודה , כיוון שהיא נקודת קצה:
      f(-1)=(-1)^{2}+1=1+1=2
      • הנקודה , כיוון שהיא נקודת תפר:
      f(2)=2^{2}+1=5

ולכן:

1. האם גזירה ב-?
   
   נבדוק גזירות ב-. זוהי נקודת תפר לכן חייב לפתור זאת לפי הגדרה. נפרק לשני צדדים:

קיבלנו נגזרות חד צדדיות שונות ולכן לא גזירה ב-.

תרגיל:

1. יהי ויהי כך שלכל מתקיים: הוכיחו כי:

נשים לב, שלפי הנתון, קיימת סביבה כך שלכל נקודה בסביבה . עבור :

כלומר היא נקודת מינימום מקומי.
בנוסף, גזירה ב- (כסכום של אלמנטרית) ולכן לפי פרמה מתקיים .
אזי:

משפט רול

משפט:

תהי פונקציה הרציפה בקטע הסגור וגזירה בקטע הפתוח המקיימת . אז קיימת נקודה עבורה .

---

תרגיל:

1. כמה פתרונות יש למשוואה ?
   נגדיר . נבדוק כמה פעמים מתאפסת - זהו מספר הפתרונות של המשוואה.
   נראה ש- מתאפסת בדיוק פעמיים, ע”י כך שנראה:
   • ש- מתאפסת לכל היותר פעמיים.
     
     נשים לב כי נניח בשלילה כי מתאפסת 3 פעמים.
     לפי משפט רול מתאפסת לפחות פעמיים (בין כל 2 נקודות ש- מתאפסת).
     לכן לפי משפט רול, מתאפסת לפחות פעם אחת (בין 2 הנקודות שבהן מתאפסת). קיבלנו סתירה כיוון שראינו כי .
     לכן מתאפסת לכל היותר פעמיים.
     • ש- מתאפס לפחות פעמיים. הוכחה לפי ע”ב.

משפט לגראנז’

משפט:

נניח כי רציפה ב- וגזירה ב-.
אז קיימת עבורה

הוכחה:
נסמן להיות המיתר (הקו הישר) המחבר בין הנקודות ו-. לכן, , וגם .
נשים לב כי גזיר לכל ובפרט בקטע . אזי:

נסמן . רציפה בקטע כהפרש פונקציות רציפות, וגזירה ב- כהפרש פונקציות גזירות. נשים לב כי:

לכן, לפי רול, קיימת נקודה כך ש:

כלומר:

תרגילים:

1. הוכיחו שלכל מתקיים: נביט ב- בקטע כאשר .
   מתקיים רציפה ב-, גזירה ב-. לכן לפי משפט לגראנז’, כיוון ש-, קיימת כך ש: כעת נותר להוכיח שעבור : כיוון ש- יורדת ב-, וחיובית שם, עבור מתקיים: ולכן, בקטע , מתקיים:

הערות:

1. משפט רול מתקבל מלגראנז’ כי אם אז במסקנה מקבלים:

1. ניתן גם לרשום את את המשוואה הסופית כך:

ואז:

תרגילים:

1. הוכיחו כי אם אז: נסמן . נראה ש- גזירה או שווה לאפס לכל ורציפה ב-. לכן לפי לגראנז’ קבועה ב-. לאחר מכן נוכיח כי הקבוע הוא .
   • נראה ש- לכל :
     • נראה שהקבוע הוא :
       נציב :

תרגיל:

1. הראו כי לכל .
   • אם ברור.
   • אם :
     אז בקטע הפונקציה גזירה ולכן אפשרלהשתמש במשפט לגראנז’ שנותן כי יש כך ש:
     
     נוסיף ערך מוחלט:
     
     וכיוון שמתקיים :
     
     - אם :
     נוכיח בצורה דומה ונקבל אי שוויון שקול כיוון ש: .
     

מסקנות לגראנז’

משפט:

נניח כי רציפה בקטע וגזירה בנקודות הפנימיות של .

1. מתקיים כי לכל נקודה פנימית של אם”ם קבועה בקטע כולו.
2. מתקיים כי בכל נקודה פנימית של אם”ם עולה(/יורדת) בקטע .
3. אם לכל נקודה פנימית של אז עולה(/יורדת) ממש ב-.

הערות:

1. בסעיף 1 כבר ראינו כי אם קבועה בקטע אז לכל .
2. בסעיף 2 את הכיוון ההפוך אפשר לנסח בצורה כללית יותר:
   אם עולה בקטע וגזירה ב-, אז .
   הוכחה:
   אם אז . ולכן . כולמר:

מתקיים גם:

ולכן לפי תכונות הסדר של גבולות:

3. עבור סעיף 3, הכיוון ההפוך לא נכון, למשל, עולה ממש וגזירה: . אבל .

הוכחה:

נניח .

אז הקטע ולכן רציפה ב- וגזירה ב- ולכן, לפי משפט לגראנז’ קיימת . ובפרט, נקדוה פנימית של עבורה

1. בהנחות סעיף אחד מתקיים ולכן:

1. לפי הנחות סעיף 2:

1. לפי הנחות סעיף 3:

שימושים:

1. הוכחת זהויות מהצורה בקטע כאשר רציפות ב- וגזירות בנקודות הפנימיות של . נסמן: מתקיים כי רציפה וגזירה בנקודות הפנימיות של . נראה כי בכל נקודה פנימית, נציב כלשהו לתוך ונקבל .
   תרגיל:
   1. הראו כי בקטע .
      נסמן .
      אזי מתקיים: לכל ובפרט בקטע .
      לפי מסקנות לגראנז’, נובע כי פונקצייה קבועה בקטע . נציב ונקבל: ולכן לכל .
2. הוכחת אי שוויונים - נניח כי רוצים להוכיח כי בקטע כאשר רציפות ב- וגזירות בכל נקדוה פנימית של . נסתכל על .
   - נסמן .
   - מוצאים עבורה .
   נראה כי לכל כאשר נקודה פנימית ו- לכל כאשר נקודה פנימית, ואז נוכל להסיק לפי מסקנות לגראנז’, ש- עולה בקטע. לכן:
   לכל מתקיים , וגם
   לכל מתקיים .
   כלומר, לכל . ולכן:
   
   תרגיל:
   1. הראו כי לכל .
      נסמן שהיא גזירה בכל נקודה (הפרש של גזירות). גזירה בקטע , ומתקיים: בנוסף: ולכן עולה בקטע .
      ולכן, לכל מתקיים: בנוסף, גזירה ב- ו-, וגם: ולכן לפי מסקנות לרגנץ’, יורדת ב-.
      לסיכום, לכל ולכל מתקיים:

תרגילים:

1. הוכיחו כי אם אז: נגדיר .
   מתקיים: כאשר מתקיים כאשר .
   קיבלנו כי לכל . בנוסף, רציפה ב- כסכום, מנה והרכבה של פונקציות רציפות. לכן לפי מסקנות לגראנז’ קבוע ב-.
   נוכיח כי הקבוע הוא ע”י הצבת כלשהו כאשר , למשל : לכן הקבוע הוא .
   

מיון נקודות קריטיות

רעיון:

בהינתן נקודה קריטית, איך נסווג אותה כמינימום מקומי או מקסימום מקומי או שאינה קיצון מקומי?

מבחן הנגזרת הראשונה

משפט:

נניח כי מוגדרת בקטע וכי נקודה פנימית (כלומר אינה נקודת קצה של ). נניח בנוסף כי קיימת כך ש- רציפה בקטע וגזירה ב-.

1. אם לכל ו- לכל .
   אז היא נקודת מינימום(/מקסימום) מקומי.
2. אם לכל אז אינה נקודת קיצון מקומי.
3. אם לכל וגם לכל אז היא נקודת מינימום(/מקסימום) מוחלט.

דוגמאות:

1. נתון כי .
   ידוע כי:

ולכן נקודה קריטית.
כיוון ש רציפה ב- וגזירה בכל נקודה , אז מכיוון ש:

1. לכל , מתקיים
2. לכל , מתקיים
   לפי מבחן הנגזרת הראשונה נובע כי היא נקודת מינימום מוחלט.

הוכחה:

1. ידוע כי רציפה ב- וגזירה ב- ולכן, כיוון ש- לכל אז עולה ב- לפי מסקנות לגראנז’.
   באותו האופן מראים כי יורדת ב-. לכן:
   1. עבור מתקיים
   2. עבור מתקיים
      ולכן, לכל מתקיים , כלומר, , מינימום מקומי.

מבחן הנגזרת השנייה

משפט:

נניח כי גזירה פעמיים ב-, בפרט קיימת בסביבה של , וכי . אז:

1. אם אז נקודת מינימום מקומי.
2. אם אז נקודת מקסימום מקומי.
3. אם , אין מידע.

דוגמאות:

1. עבור הפונקציה מתקיים ולכן , אבל אין בנקודה זו מינימום או מקסימום:
   

הוכחה:

1. מתקיים: לפי תכונות הסדר של גבולות קיים כך שכאשר מתקיים: לכן:
   עבור מתקיים .
   עבור מתקיים .
   רציפה ב- כי גזירה שם, ולכן לפי מבחן הנגזרת הראשונה נובע כי היא נקודת מינימום מקומי.
   

כלל לופיטל

משפט:

נניח כי מוגדרת וגזירות בסביבה ימנית מנוקבת של . נניח בנוסף כי:

1. מתקיים בסביבה הימנית המנוקבת של .
2. מתקיים וגם .
3. מתקיים קיים.

אז קיים ושווה ל-.

הערות:

ניתן להכליל את הכלל לגבולות מהסוג .

דוגמאות:

1. הגבול:

ננסה להשתמש בלופיטל:
מתקיים .

גבול זה אינו קיים במובן הרחב (ניתן להוכיח לפי היינה כי המונה מתבדר). לכן לא ניתן להשתמש בלופיטל כי התנאים לא מתקיימים.
בכל זאת:

הערות:

1. אם

קיימים במובן הרחב, אבל שונים, אז בתנאים של לופיטל:

וגם:

ולכן:

ולכן הגבול:

אינו קיים במובן הרחב.

דוגמאות:

1. חשבו:

הכלל לא תורם.
2. אם :

3. אם :

4. אם :

5. עבור:

6. עבור

הערות:

1. אפשר להשתמש בלופיטל מספר פעמים.

תרגילים: חשבו את הגבולות הבאים:

1. הגבול:
2. הגבול:
3. הגבול: נתקענו.
4. הגבול: קיבלנו גבול לא קיים. נשים לב כי זה לא אומר כי הגבול המקורי לא קיים, פשוט פתרון לפי לופיטל לא עובד. לכן לא נוכל להסיק מכך שום דבר על הגבול המקורי.
5. הגבול: נשים לב כי אסור לנו להשתמש בלופיטל כאשר הגבול הוא לא מהצורה או !
6. הגבול:
7. הגבול: לאחר 20 פעמים “לופיטל”, כאשר בכל שלב מדובר ב, נקבל לבסוף קבוע כלשהו כך ש:
8. הגבול: ננסה בשיטה שונה: לאחר 9 פעמים לופיטל נקבל גבול מהצורה:
9. הגבול:
   • דרך א’:
     תזכורת: אם נסמן: ומתקיים: אז (גבול של הרכבה). לסיכום:
     • דרך ב’:
     ולכן אם: וגם כיוון ש: ולכן גם: נחזור לתרגיל:
10. הגבול:
    
    נגדיר פונקציה:
    
    נראה אם הגבול הבא קיים:
    
    קיבלנו ולכן לפי היינה לכל סדרה המקיימת מתקיים בפרט עבור אכן מתקיים ולכן:
    

קמירות וקעירות

קמירות וקעירות

הגדרה:

תהי מוגדרת בקטע . נאמר כי קמורה בקטע אם לכל מתקיים כי המיתר המחבר את נמצא מעל גרף הפונקציה.

תהי מוגדרת בקטע . נאמר כי קעורה בקטע אם לכל מתקיים כי המיתר המחבר את נמצא מתחת לגרף הפונקציה.

הערות:

1. לגבי סעיף 1, אם קמורה ב- (בלי הנחת גזירות) ואם נקודות בהן גזירה, אז .
2. לגבי סעיף 2, אם קמורה ב-, אז בכל נקודה בה קיים, מתקיים .

מציאת קעירות וקמירות

משפט:

1. תהי מוגדרת בקטע . קמורה קעורה.
2. תהי רציפה בקטע וגזירה בנקודות הפנימיות של . אז:
3. מתקיים כי קמורה(/קעורה) ב- עולה(/יורדת) בקטע שהוא הנקודות הפנימיות של .
4. מתקיים כי קמורה(/קעורה) ב- הישר המשיק מכל נקודה פנימית נמצא מתחת(/מעל) לגרף הפונקצייה.
5. אם בנוסף גזירה פעמיים בנקודות הפנימיות של , אז:
   קמורה(/קעורה) ב- בכל נקודה פנימית של .

דוגמאות:

1. למשל:
   מתקיים , וגם . אז:
2. בקטעים מהסוג קעורה כיוון ש-.
3. בקטעים מהסוג קמורה כיוון ש-.

נקודת פיתול

הגדרה:

תהי מוגדרת בקטע ותהי נקודה פנימית. נאמר כי היא נקודת פיתול אם נקודת רציפות של וגם קיים כך שבקטע הפונקציה קמורה ובקטע הפונקצייה קעורה, או הפוך.

קמירות או קעירות גוררת רציפות

משפט:

אם קמורה(/קעורה) בקטע , אז היא רציפה בכל נקודה פנימית של .

דוגמאות:

1. עבור הפונקציות: , .
   מתקיים:

ניתן להסיק כי בקטע . לכן, לפי מסקנות לגראנז’
הפונקציה יורדת ב- ועולה ב-. לכן, לפי משפט, קמור וקעור בקטעים אלו בהתאמה.
לפיכך, לפי הגדרה, היא נקודת פיתול.

עבור , ניתן לראות כי לכל ולכן קמורה ב-:

2. הפונקציה :
מתקיים:

מתקיים כאשר , וזה קורה בקטעים , ושם היא קמורה.
מתקיים בקטעים ושם היא קעורה.
הנקודות הן נקודות פיתול.

קיום נקודת פיתול גורר התאפסות של הנגזרת השנייה בנקודה

משפט:

אם נקודת פיתול של בה קיימת הנגזרת השנייה, אז .

הערות:

1. המועמודים לנקודות פיתול הן כל הנקודות הפנימיות של בהן יש רציפות, ו- קיים ושווה ל- או אינו קיים.

הוכחה:
מתקיים:

ולכן מוגדר בסביבה של . נקודת פיתול. אז קיים כך ש- קמורה ב- וקעורה ב-, או הפוך. אז:

• כיוון ש- קמורה ב- אז עולה ב-.
• כיוון ש- קעורה ב- אז יורדת ב-. זה לפי משפט קודם.
  אז:
• אז לכל מתקיים (כי עולה).
• אז לכל מתקיים (כי יורדת).
  ולכן נקודת מינימום מקומי עבור .
  כיוון ש- קיים, אז גזירה ב- ו- מינימום מקומי עבור , ולכן לפי פרמה .
  בכיוון ההפוך היינו מקבלים כי נקודת מקסימום מקומי של , ועדיין, לפי פרמה היינו מקבלים .
  

אלגוריתם: מציאת נקודת פיתול

תהי מוגדרת בקטע ותהי נקודה פנימית בה רציפה.

1. אם גזירה פעמיים בסביבה מנוקבת של :
   • אם לכל בסביבה המנוקבת הנ”ל וגם לכל בסביבה המנוקבת הנ”ל, אז היא נקודת פיתול.
   • אם לכל בסביבה המנוקבת הנ”ל וגם לכל בסביבה המנוקבת הנ”ל, אז היא נקודת פיתול.
2. אם גזירה בסביבה מנוקבת של :
   • אם עולה בסביבה ימנית מנוקבת של , וגם יורדת בסביבה שמאלית מנוקבת של , אז נקודת פיתול.
   • אם יורדת בסביבה ימנית מנוקבת של , וגם עולה בסביבה שמאלית מנוקבת של , אז נקודת פיתול.
   3. אם גזירה פעמיים בסביבה מנוקבת של , וגם או בסביבה מנוקבת של , אז אינה נקודת פיתול.

אסימפטוטה אנכית

הגדרה:

• תהי מוגדרת בסביבה ימנית מנוקבת של . נאמר כי הישר הוא אסימפטוטה אנכית מימין אם הוא אינסופי.
• תהי מוגדרת בסביבה שמאלית מנוקבת של . נאמר כי הישר הוא אסימפטוטה אנכית משמאל אם הוא אינסופי.
  תהי מוגדרת בסביבה מנוקבת של . נאמר כי היא אסימפטוטה אנכית אם היא אסימפטוטה אנכית מימין או משמאל (או שניהם).

דוגמאות:

1. הפונקציה :

אזי הישר הוא אסימפטוטה מימין ומשמאל.

2. הפונקציה :

אזי הישר אסימפטוטה אנכית. יותר מדויק, הוא אסימפטוטה אנכית מימין.

3. הפונקציה :
הגבולות , לא קיימים. לכן אינו אסימפטוטה אנכית.

אסמיפטוטה משופעת

הגדרה:

• תהי מוגדרת בקרן . נאמר כי אסימפטוטה משופעת ב- אם:

• תהי מוגדרת בקרן . נאמר כי אסימפטוטה משופעת ב- אם:

דוגמאות:

1. הפונקציה:

אזי אסימפטוטה משופעת ב-:

הפונקציה חותכת את האסימפטוטה פעמים.

מסקנות על הגבול של פונקציה מקיום אסימפטוטה משופעת

מסקנה:

הישר אסימפטוטה משופעת עבור ב- מתקיים:

הוכחה:

וגם: