CAL1_004 רציפות

הגדרת הרציפות

רציפות

הגדרה:

תהי פונקציה המוגדרת בסביבת הנקודה (כולל הנקודה עצמה). נאמר כי רציפה בנקודה אם הגבול קיים ושווה ל-. כלומר אם:

בלשון : רציפה בנקודה אם לכל קיים כך שכאשר אז .

בלשון סדרות: רציפה בנקודה אם לכל סדרה המקיימת מתקיים .

נאמר כי פונקציה רציפה מימין בנקודה אם .

נאמר כי פונקציה רציפה משמאל בנקודה אם .

נאמר כי פונקציה רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה פנימית של הקטע, ורציפה מימן או משמאל בנקודת הקצה של הקטע, אם אלה שייכים לקטע.

---

תכונות הרציפות

משפט:

1. אם רציפות בנקודה אז גם רציפה בנקודה .
2. אם רציפות בנקודה אז גם רציפה בנקודה .
3. אם רציפות בנקודה וגם אז גם רציפה בנקודה .
4. אם רציפות בנקודה וגם אז גם רציפה בנקודה .
5. אם רציפה בנקודה וגם רציפה בנקודה אז ההרכבה רציפה בנקודה .
6. אם פונקציה רציפה והפיכה בקטע , אזי רציפה בקטע .

מסקנה:

1. כל פונקציה אלמנטרית רציפה בתחום הגדרתה.
2. נניח כי פונקציה רציפה והפיכה בסביבת הנקודה ונניח כי . אז הגבול קיים במובן הרחב אם ורק אם הגבול קיים במובן הרחב, ובמקרה זה הגבולות שווים.

תרגיל:

1. האם הפונקציה רציפה ב-? נמצא לאלו ערכי הפונקציה רציפה ב-: נדרוש שהגבול ב- יהיה קיים ושווה ל-, אזי: כלומר רק עבור מתקיים כי רציפה ב-.

סיווג נק’ אי רציפות

הגדרה:

1. נאמר שלפונקציה יש אי-רציפות סליקה בנקודה אם הגבול קיים, אך אינו שווה ל- או ש- אינה מוגדרת ב-.
2. נאמר שלפונקציה יש אי-רציפות מסוג קפיצה (או אי-רציפות מסוג ראשון) בנקודה אם הגבולות החד צדדיים , קיימים אך אינם שווים.
3. נאמר שלפונקציה יש אי-רציפות עיקרית (או אי-רציפות מסוג שני) בנקודה אם לפחות אחד מגבולות החד-צדדיים , אינו קיים (כלומר לפחות אחד מהגבולות החד-צדדיים הוא אינסופי או לא קיים במובן הרחב).

הערות:

בהינתן פונקציה ונקודה , השאלה של סיווג הנקודה הוא בעצם סיווג של המצבים של הגבולות החד-צדדיים בנקודה , ושל הערכים של הפונקציה בנקודה (אם הפונקציה מוגדרת בנקודה). כלומר:

• הנקודה היא נקודת רציפות כאשר הגבולות החד-צדדיים קיימים ושווים לערך בנקודה.
• הנקודה היא נקודת אי-רציפות סליקה כאשר הגבולות החד-צדדיים קיימים ושווים, אך לא שווים לערך בנקודה עצמה או שהפונקציה לא מוגדרת בנקודה.
• הנקודה היא נקודת אי-רציפות מסוג קפיצה כאשר הגבולות החד-צדדיים קיימים (סופיים) ושונים.
• הנקודה היא נקודת אי-רציפות עיקרית כאשר לפחות אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים.

תרגיל:

1. מצאו וסווגו את נקודות האי רציפות של בקטע : נשים לב שבכל בתחום רציפה כמנה של רציפות עם מכנה שונה מ-.
   נבדוק רציפות עבור נקודות חשודות אלו:
   עבור : נשים לב כי לפי הזהות , והגבול המיוחד : אזי נמשיך את : אבל מתקיים ולכן היא נקודת אי רציפות סליקה.
   עבור : נפרק לגבולות חד-צדדיים: אזי, אם נפרק את לגבולות חד-צדדיים: לכן זוהי נקודת אי רציפות מסוג קפיצה.
   עבור : נפרק למקרים: ולכן מדובר בנקודת אי רציפות עיקרית.

משפטי רציפות

משפט ערך הביניים

משפט:

תהי פונקציה רציפה בקטע .
יהי מספר ממש בין (כלומר או ). אזי קיים עבורו .

מסקנה:

תהי פונקציה רציפה על קטע. אז התמונה של היא קטע.

אחד מהשימושים העיקריים של משפט ערך הביניים הוא הוכחת קיום פתרונות למשוואות. הסגנון של בעיות מסוג זה הוא כזה: נתון קטע ואנו מחפשים פתרונות למשוואה כאשר רציפות בקטע. במצב זה נסתכל על המשוואה .

בשביל להוכיח כי קיים פתרון, מספיק להראות כי רציפה, שזה ברור כי זהו הפרש של פונקציות רציפות, ובנוסף נרמה למצוא שתי נקודות בקטע (אולי קצוות הקטע, אם אלו בקטע, אבל אולי נקודות אחרות בקטע) עבורן או .

בכל מקרה, משפט ערך הביניים מבטיח קיום פתרון כאשר . את התנאי על אפשר לרשום שאומר כי ל- סימנים הפוכים.

משפט ויירשטראס

משפט:

אם רציפה בקטע חסום וסגור אז יש לה מינימום ומקסימום.