ALG1_009 טרנספורמציות לינאריות

טרנספורמציות לינאריות

טרנספורמציה לינארית

הגדרה:

תהי טרנספורמציה כש ו- 2 מרחבים וקטוריים, מעל אותו שדה.
אם מקיימת את 2 הדרישות הבאות, אז נקראת טרנספורמציה לינארית.

• לכל מתקיים .
• לכל ו- מתקיים .
  לחילופין, ניתן להגדיר כלהלן:

תוצאה:
אם ט”ל, אז

סימון: ט”ל שמוגדרת ע”י מטריצה מסומנת לעיתים ב-.

הערות:

1. טרנספורמציה היא פונקציה.
2. טרנספורמציה מהצורה כלומר נקראת טרנספורמציית האפס והיא ט”ל.

דוגמאות:

1. אם היא טרנספורמציית הגזירה ( מרחב של פונקציות גזירות),
   אזי:

2. יהי מ”ו מימדי, מעל שדה , ו- בסיס סדור שלו. אזי היא ט”ל כי ו-.
3. תהי , ונגדיר כלהלן:

אזי היא ט”ל כי:

4. יהיה מרחב וקטורי מעל השדה , ויהי מספר כלשהו, קבוע. נגדיר: כך ש-. אזי היא ט”ל.

תרגילים:

1. הראה שאם אז .
   פתרון:
   לפי הנתון, מתקיים לכל : ולכן לפי משפט מתקיים .
2. האם הטרנספורמציה הבאה היא לינארית? פתרון:
   כן. כי: וגם:

תמונה וגרעין של טרנספורמציה

הגדרה:

יהי ט”ל. נגדיר:

1. התמונה של זהו אוסף כל הוקטורים ב- שיש להם מקור ב-:

1. הגרעין של זהו אוסף כל הווקטורים ב- שתמונתם היא :

הגרעין והתמונה הם ת”מ

מסקנה:

תהי ט”ל מעל השדה . אזי:

1. הגרעין הוא ת”מ של .
2. התמונה היא ת”מ של .

הוכחה ל-1:
ראשית ולכן די להראות:

1. וקטור האפס נמצא בו, אחרת לא היה ט”ל: .
2. סגירות בחיבור. נניח . לכן מתקיים: אזי: ולכן .
3. סגירות לכפל בסקלר. נניח . אזי, מאותם סיבות: ולכן .
   

הוכחה ל-2:
ראשית ולכן די להראות:

1. וקטור האפס נמצא בו: .
2. סגירות בחיבור. נניח . כלומר קיימים כך ש: אזי: כי המקור הוא .
3. סגירות לכפל בסקלר. יהי כלומר קיים , כך ש-.
   לכן: כי מקור של .
   

דוגמאות:

1. יהי כך ש- היא טרנספורמצית הגזירה. מצא בסיס ומימד ל- ו-.

• עבור : מבוקשים כל ה- כך ש-.

בסיס: .
מימד:

• עבור : ע”י גזירה, נגיע לכל .
  בסיס:
  מימד:

תמונות של קבוצה פורשת גם כן פורשת את התמונה

טענה:

תמונות של קבוצה פורשת של , פורשות את התמונה. כלומר אם פורשת את אז:

הוכחה:
יהי ונניח כש-. אז:

משפט המימדים השני

משפט:

נניח ט”ל, אזי:

הוכחה:
נניח ש- ו-. כיוון ש- ת”מ של , אז . נוכיח כי .
יהי בסיס לגרעין. נשלים אותו לבסיס של כל :

נתבונן בקבוצה ונראה ש- בסיס ל-.
ואז נוכל להסיק כי:

• לפי הטענה, הקבוצה פורשת את כל . אבל כי בסיס לגרעין.
  לכן פורשת את כל .
• הקבוצה בת”ל כי: וקטורים אלו בת”ל כיוון שהם בסיס ל-. לכן: ולכן בת”ל.

דוגמאות:

1. תהי כך ש:

מצא בסיס ומימד של ו-.

• נדרוש:

ולכן לעומת . כלומר:

בסיס:
נבחר החופשי ולכן . לכן בסיס הוא .

• לפי הטענה, נפרשת ע”י:

לפי משפט המימדים השני:

לכן די לבחור כל זוג וקטורים לא פרופורציונליים מהפורשים:

תרגילים:

1. מצאו ט”ל כך ש: פתרון:
   נדרוש: התנאי השני מתקיים כי תמונות איברי בסיס פורשים את התמונה.
   התנאי הראשון מתקיים, מכיוון ש: אז גם: כלומר
   אבל זהו שוויון משיקולי מימד.

ט”ל שמוגדרת על בסיס, מוגדרת היטב

משפט:

יהיו ו- מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה ונניח בסיס של , ו- תת-קבוצה כלשהי של .
אזי קיימת טרנספורמציה לינארית אחת ויחידה, כך ש:

כלומר ט”ל מוגדרת על איברי בסיס של מוגדרת היטב.

דוגמאות:

1. בנה ט”ל , כך ש:

ראשית, נשים לב ש- מוגדרת על בסיס.

• נרשום וקטור כללי ב- כקומבינציה לינארית של הבסיס הנתון:

אזי:

• נפעיל על אגפי השלב הראשון:

תרגילים:

1. תהי כך ש: האם היא ט”ל?
   פתרון:
   נבדוק: אבל: ולכן לא ט”ל.
2. תהי כאשר: האם היא ט”ל?
   פתרון:
   לא! כיוון ש: למשל: אבל:
3. מצאו את הגרעין של:
   • הט”ל: פתרון:
     יהי . אזי: נקח טרנספוז:

מימד תמונת ט”ל שמוגדרת ע”י מטריצה, שווה לדרגתה

נתבונן שוב בט”ל המוגדרת ע”י כלהלן:

• נמצא את : לפי הטענה שלנו, נפרשת ע”י:

כלומר בט”ל שמוגדרת ע”י מטריצה :

ולכן לפי משפט:

לסיכום:

מסקנה:

תהי המוגדרת ע”י מטריצה. אזי:

דוגמאות:

1. מצא ט”ל , כך שתמונתה נפרשת ע”י:

• שיטה ראשונה:
  בעזרת מטריצה :

(בעמודה השלישית היינו יכולים להכניס כל צ”ל של ).
אז קיבלנו:

נשים לב שיכלנו לבחור את באינסוף אפשרויות, אך מרגע שקבענו את הט”ל יחידה. (סה”כ יש אינסוף ט”ל שעונות לדרישה).

• שיטה שנייה:
  לפי טענה, נדרוש:

(כאשר באילוץ השלישי היינו יכולים לבחור כל צ”ל של ).
שוב, קיבלנו כי יש אינסוף אפשרויות לשיבוץ תמונות לאיברי הבסיס/הקבוצה הפורשת שבחרתי, שמתאימות לנתונים. וברגע שהגדרנו על איברי בסיס, לפי משפט, מוגדרת היטב.
נרשום וקטור כללי ב- כצ”ל של איברי הבסיס הנתון:

ולכן:

מרגע שקבענו את התמונות של איברי בסיס שבחרנו, הט”ל היא אחת ויחידה (לפי משפט שנלמד בהמשך).

שוויון מרחבים בט”ל שמוגדרת ע”י מטריצה

משפט:

תהי המוגדרת ע”י מטריצה :

אזי:
1.

מימד הגרעין של מטריצה לינארית שמוגדרת ע”י מטריצה שווה למספר דרגות החופש שלה

מסקנה:

ממשפט זה, ומשפט הממדים השני וגם ממשפט נובע כי:

שאלה

נניח ט”ל, כך ש: . מה ניתן להסיק על ?
תשובה:

אז מתי ?
כש- על! כי צריך ש:

ט”ל היא על אמ”ם מימד התמונה שלה שווה למימד הטווח

מסקנה:

הט”ל היא על אמ”ם:

סינגולריות

הגדרה:

ט”ל נקראת סינגולרית אם לא רק עובר ל-. כלומר:

בהשאלה, מטריצה ריבועית לא הפיכה נקראת סינגולרית (כי אז ל- יש פתרון ).
ט”ל נקראת לא סינגולרית אם רק , תמונתו :

באותו אופן, מטריצה ריבועית הפיכה נקראת לא סינגולרית כי אז ל- יש רק את הפתרון הטריוויאלי .

תנאי החח”ע של ט”ל

מסקנה:

הט”ל היא חח”ע אמ”ם:

• הטרנספורמציה לא סינגולרית
• מתקיים
• מתקיים

הוכחה:

• כיוון ראשון :
  נניח ש- חח”ע וכידוע בט”ל . אז רק בגרעין (כי חח”ע).
• כיוון שני :
  נניח לא סינגולרית, וכן נניח . אזי:

פעולות על ט”ל

הגדרה:

נניח ט”ל, ט”ל. מגדירים:
1.

ניתן להראות שתוצאות פעולות אלו גם כן ט”ל.

דוגמאות:

1. יהי כך ש: . בנוסף, יהי כך ש: .
   מצא:

• את :

• את :

לא מוגדר.

• את :

קיבלנו שעבור הנ”ל .
2. שימוש באלגברה לינארית עבור משוואות דיפרנציאליות רגילות:
נתונה המשוואה הדיפרנציאלית:

נגדיר כטרנספורמציית הגזירה (שהיא ט”ל). נדרוש:

מבוקשות כל הפונקציות כך שתמונתן תחת היא אפס. כלומר מחפשים את , שזהו, כידוע, מ”ו.
די למצאו בסיס למרחב הגרעין (כל הפתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית יהיו הפרישה של גרעין זה).
ידוע ש (נלמד בקורס אחר מדוע).
לכן די לנו לנחש 2 פתרונות בת”ל:

ולכן כל פתרונות המשוואות הדיפרנציאליות יהיו:

אופרטור לינארי

אופרטור לינארי

הגדרה:

ט”ל נקראת אופרטור לינארי.

אופרטור הפיך

הגדרה:

אומרים שאופרטור לינארי הוא הפיך, אם קיים אופרטור כך ש:

גם האופרטור ההפוך הוא לינארי

מסקנה:

אם אופרטור לינארי הפיך, אז גם לינארי.

הוכחה:
נניח . אזי:

ואז:

נניח כעת ש: , אזי:

ואז:

אופרטור לינארי הפיך הוא על הוא חח”ע

טענה:

יהי אופרטור לינארי, אזי הפיך אמ”ם חח”ע.
או - הפיך אמ”ם על.

הוכחה:

• כיוון ראשון :
  אם הפיך, אז גם חח”ע וגם על, בפרט הוא חח”ע.
• כיוון שני :
  יהי אופרטור לינארי חח”ע. אזי (לפי מסקנה:): באופרטור לינארי הוא גם מרחב הטווח, וקיבלנו כי ממדיהם שווים, ולכן על.
  סה”כ קיבלנו ש: חח”ע על.
  לכן, הפיך.

דוגמאות:

1. תהי כך ש:

האם הפיך? אם כן מצא את .
די לבדוק האם חח”ע.

לכן חח”ע ולכן לפי הטענה היא הפיכה.
נמצא את :
מבוקש כך ש:

עלינו לבטא את באמצעות .
נפתור:

מצאנו כי:

מטריצה מייצגת

הגדרה:

יהי אופרטור לינארי ויהי בסיס סדור של .
נתבונן בתמונות הבאות:

אזי המטריצה המייצגת של לפי הבסיס הסדור שתסומן מוגדרת כלהלן:

מכפלת וקטור קואורדינטות במטריצה המייצגת המתאימה שווה לתמונת הוקטור באותם קואורדינטות

משפט:

דוגמאות:

1. יהי טרנספורמציית הגזירה.

• מצא את .
  פתרון:
  נדרוש:

ולכן:

• בדוק כי מתקיים המשפט.
  פתרון:

אזי:

ואכן:

2. יהי אופרטור לינארי כך ש:

• מצא את כאשר
  פתרון:
  נדרוש:

אזי:

• בדוק את הנוסחא:

פתרון:

ואכן:

3. יהי אופרטור לינארי כך ש- מ”ו מעל , כש:

יהי בסיס של .

• מצאו את
  פתרון:
  נדרוש:

בדוגמאות הקודמות לא היה לנו פרמטרים בדרישה מהסיבה הפשוטה שהבסיס שהיה נתון לנו היה הבסיס הטריוויאלי, אבל כעת יש לנו בסיס יותר מסובך, ולכן כדי “לגלות” את המקדמים נצטרך לפתור בעיה כללית:

נשווה מקדמים:

נקבל:

כלומר, מצאנו שעבור וקטור כללי , וקטור הקואורדינטות שלו יהיה:

אם נציב בפתרון הכללי הזה את דרישותנו מ-, נקבל:

ולכן:

• בדוק שמתקיים:

פתרון:

ואמנם:

הערות:

1. בדוגמה 2, נשים לב כי:

כי וכך:

2. במטריצה המייצגת לפי הבסיס הסטנדרטי של בסדר זה בשורה של המטריצה, יופיעו מקדמי המשתנים של רכיב בתמונה של .

דוגמאות:

1. יהי , :

לפי הבסיס הסטנדרטי:

כלומר, בעמודה הראשונה תהיה

וכך בכל שורה עד שנקבל:

ואכן מתקיים המשפט:

תרגילים:

1. נתונה :
   • מצא מטריצה מייצגת לפי בסיס סטנדרטי.
     פתרון: ולכן:
     • מצאו מטריצה מייצגת לפי הבסיס:
     פתרון: נחשב את : כלומר לפתור ממ”ל.
     סמכו עלי, יוצא: נחשב גם את ו-. מפה להילה לא היה כוח לחשב כי זה אותו הדבר.
2. נתון :
   
   כאשר:
   
   חשבו את .
   פתרון:
   לפי המשפט:
   
   נחשב את לפי :
   
   ולכן:
   
   כלומר קיבלנו כי הוא בעצם , כאשר הם הוקטורים שמרכיבים את הבסיס :
   

ההתאמה בין ט”ל למטריצות המייצגות שלהן

משפט:

יהי מ”ו מעל השדה ונתבונן בכל האופרטורים הלינאריים . נתאים לכל את כש- בסיס סדור כלשהו וקבוע.

אזי התאמה זו היא פונקציה כי יש אלגוריתם ברור למציאת מטריצה מייצגת לכל אופרטור והיא יחידה’ כי קואוrדינטות (לפי בסיס) נקבעות באופן יחיד. לכן, עמודות נקבעות נקבעות באופן יחיד.
יתרה מזאת: התאמה זו היא חח”ע ועל. (כי בהינתן מטריצה מייצגת ב-, אז יש לה אופרטור מקור . והוא יחיד (חח”ע). כזכור, משפט).

כמו כן, מתקיימים הקשרים הבאים:

ההתאמה בין פעולות על ט”ל ופעולות על מטריצות מייצגות

משפט:

אם אופרטורים לינארים ו-, אז:
1.

לכן מעתה, כל טענה על אופרטורים לינאריים, יש לה את האנלוגית שלה במטריצות, וניתן להעביר את פתרון הבעיה, לפתרון בעולם המטריצות.

דוגמאות:

1. נדגים את הוכחת 3 על מ”ו דו-מימדי.
   נתונים האופרטורים כש , ויהי בסיס כלשהו וקבוע של .
   בפרט ידוע ש:

ולכן:

אזי:

וגם:

ולכן:

וגם:

ולכן:

מ-3 נובע:

המטריצה המייצגת ההופכית שווה למטריצה המייצגת של האופרטור ההופכי

תזכורת: מטריצה הפיכה

מסקנה:

אם הפיך, אז:

הסבר:

ולכן, לפי משפט:

כלומר ל- יש הופכי והוא:

תרגילים:

1. נתון , א”ל כאשר , .
   הוכיחו כי קיים בסיס של כך ש-: פתרון:
   כל בסיס יהיה מהצורה הזאת: נדרוש ש: ולכן: כעת עלינו למצוא שמקיימים ו-.
   נתון ש-, לכן קיים כך ש-. נסמן: נתון ולכן . כלומר: אזי אכן מקיים: נשים לב כי מצאנו שמקיימים את התנאים אבל הם לא בהכרח בסיס, הם פשוט יודעים לייצג את כך ש-.
   נראה כי בסיס - מספיק להראות כי הם בת”ל. אם, בשלילה, , אז: וזאת סתירה. לכן בסיס.

מטריצת מעבר

מטריצת מעבר

הגדרה:

נניח ו- 2 בסיסים של מ”ו (מעל שדה). נניח ש:

אזי מטריצת המעבר מהבסיס לבסיס מוגדרת כלהלן:

הערות:

1. מטריצה כזו תמיד הפיכה כי בעמודותיה מופיעות הקואורדינטות של שהיא בת”ל.
2. המטריצה תהיה מטריצת המעבר מהבסיס לבסיס .
3. מתקיים:

כי עבור כללי:

דוגמאות:

1. יהי מעל כאשר ו-. אזי:

ולכן:

2. עם אותם נתונים כמו בדוגמה הקודמת, מצא את -מטריצת המעבר מ- ל- וודא שאכן:

פתרון:
מצאנו באחת מן הדוגמאות הקודמות כי:

ולכן:

ואכן מתקיים:

הקשר בין מטריצה מייצגת ומטריצת מעבר

משפט:

יהי אופרטור לינארי כש- מ”ו מעל השדה , ויהיו ו- 2 בסיסים סדורים של . אזי:

כש- היא מטריצת המעבר מהבסיס לבסיס .

דוגמאות:

1. בדוגמה הקודמת, כש הוא הצמדה:

בדוק את המשפט.
פתרון:
נמצא את :

נמצא את :

ולכן:

מצאנו כבר את מקודם:

ואכן מתקיים:

הוכחה:
נוכיח לפי מסקנה:
כלומר נבדוק את השוויון :

דוגמאות:

1. נניח , , . אזי מטריצת המעבר מ- ל-:

וההפוכה:

דמיון מטריצות

הגדרה:

נניח . אומרים ש- דומה ל-, אם קיימת מטריצה הפיכה , כך ש:

תכונות הדמיון

מסקנה:

1. רפלקסיביות: כל מטריצה , דומה לעצמה.
   [!quote]- תגובה

2. סימטריות: אם דומה ל-, אז גם דומה ל-.
3. טרנזיטיביות: אם קיימת דומה ל- וגם דומה ל-, אז גם דומה ל-.

הוכחה:

1. קיימת הפיכה, כל ש: נבחר . ואמנם:
2. קיימת הפיכה כך ש: נכפיל ב- מימין ו- משמאל:
3. נתון שקיימת הפיכה כך ש: וכן קיימת הפיכה, כך ש: נציב את ב-: ו- אכן הפיכה כמכפלת הפיכות.
   

דמיון מטריצות שקול לייצוג אופרטור ע”י שני בסיסים

טענה:

תהיינה . אזי ו- דומות אמ”ם הן מייצגות אותו אופרטור לפי 2 בסיסים ו-.

הוכחה:

• כיוון ראשון :
  אם הן מייצגות אותו לינארי לפי 2 בסיסים, אז הן דומות, לפי המשפט.
• כיוון שני :
• נניח ש- ודומות. כלומר קיימת הפיכה כך ש: נראה שאם היא המטריצה המייצגת של אופרטור מסוים, לפי בסיס , אז הדומה לה, מייצגת את אותו , לפי בבסיס .
  נתונה: נבחר מ”ו שמימדו ונבחר לו בסיס וניצור אופרטור עליו נדרוש: אזי: טרנספורמציה זו מוגדרת על בסיס ולכן קיים ויחיד.
  נתונה . נדרוש שזו מטריצה המעבר מהסיס שבחרנו לבסיס חדש : כלומר: נסכם: כאשר ב- השתמשנו במשפט.
  כלומר, אם מייצגת אופרטור לפי בסיס , אז הדומה לה מקיימת .
  כלומר המטריצה הדומה ל-, מייצגת את אותו לפי בסיס .

שמורות הדמיון

שמורה שך דמיון היא תכונה שנשמרת בין כל 2 מטריצות דומות.

שמורת הדטרמיננטה

טענה:

אם דומות, אז .

הוכחה:

שמורת העקבה

טענה:

אם ו- דומות, אז יש להן אותה עקבה:

הוכחה:
מתקיים:

ראשית, נראה שלכל 2 מטריצות ריבועיות ו-:

לפי הגדרת העקבה:

וגם:

אבל:

ולכן:

כעת, נוכיח את הטענה:

שמורת הדרגה

טענה:

אם ו- דומות, אז .

הוכחה:
השתמש במשפט:

הערות:

1. שלושת השמורות מהוות תנאים הכרחיים אך לא מספיקים לדמיון.

תרגילים:

1. ראינו כאשר: ומצאנו כי: מצאו את .
   פתרון: מפה זה כפל מטריצות והרי זה כל תינוק יודע.
   דרך אגב אם יש לכם בעיה עם העובדה שלפעמים אני כותב ולפעמים , אז יש עמוד מאוד יפה באמצע הרחבה בין אולמן לבית הסטודנט. נראה לי זה יעניין אותו.
2. האם המטריצות הבאות דומות:
   • עבור: פתרון:
     לא, כיוון שהדטרמיננטה שלהם שונה.
     • עבור:
     פתרון:
     אמנם כל השמורות מתקיימות, אבל הן עדיין לא דומות. נראה בהמשך דרך להוכיח.
3. הוכיחו כי אם מטריצה סקלרית ו- דומה ל-, אז .
   פתרון:
   נתון לנו כי קיים כך ש: