THE1_003 אנליזת נפח בקרה

שימור המסה של נפח בקרה

נוסחה לקצב שינוי במסה

נביט בנפח בקרה עם מסה שנכנסת ב- ויוצאת ב- (inlet ו-exit, לפעמים נקראים גם ה-ports):

משפט:

חוק שימור המסה על הנפח בקרה שקובע כי:

נסמן את כמות המסה בתוך הנפח בקרה בזמן מסוים ע”י . את חוק שימור המסה נוכל לרשום כך:

כאשר הוא קצב השינוי במסה (לפי זמן) בתוך הנפח בקרה, ו- הם השינויים הרגעיים בקצב זרימת המסה בכניסה וביציאה.

הוכחה:
לכל תכונה אקסטנסיבית כמו מסה ואנרגיה, ניתן לבנות עבור נפח בקרה ע”י טרנספורמציה של מערכת סגורה מתאימה. ניקח זאת בחשבון עבור מסה, כאשר מסה במערכת סגורה היא קבועה.

באיור אנו רואים את אותה המערכת פעמיים, בעלת מסה קבועה שנמצאת באזורים שונים בזמן ולאחר מכן ב-.

בזמן , המסה היא הסכום:

כאשר היא המסה בתוך הנפח בקרה, ו- היא המסה באזור הקטן המסומן .

בטווח הזמן כל המסה באזור עוברת לנפח בקרה, ואלו חלק מהמסה בנפח בקרה, שנסמן ב-, יוצאת לאזור .
לאורך כל התהליך, כלל המסה קבועה. כלומר:

נסדר טיפה:

משוואה זו קובעת שהשינוי במסה של נפח בקרה בזמן שווה לכמות המסה שנכנסת פחות כמות המסה שיוצאת.

אם נחלק את משוואה זו ב-, נקבל:

ככל ש- שואף לאפס, אנחנו מקבלים את השינוי הרגעי של המסה:

---

אם ישנם מספר מקומות בהם יש יציאה וכניסה של חומר, אז נסכום את השינויים שלהם, ונקבל:

חישוב קצב שינוי המסה

אנו יכולים להיעזר בתכונות מערכת כדי לחשב את קצב שינוי המסה () שנכנס או יוצא מנפח בקרה. נניח וכמות מסה נכנסת עם מהירות דרך אזור אינפיטסימלי בטווח זמן :

נפרק את לרכיב נורמלי () ומשיק למישור שמכיל את . הנפח של המסה שעוברת את בטווח הזמן מתואר באיור כגליל, עם נפח ששווה למכפלה של והגובה .

למה הגובה הוא ?

זה נובע מנוסחה מסוכבת בפיזיקה שקוראים לה זמן כפול מהירות שווה דרך.

נכפיל את הנפח הזה עם הצפיפות, ונקבל את המסה שעוברת את לאורך הזמן :

למה?

תזכורת לחישוב צפיפות.

נחלק את שני הצדדים של המשוואה ב-:

כאשר מבצעים אינטגרל על השטח דרכו המסה עוברת, אנחנו נקבל:

זרימה חד-ממדית

הגדרה:

כאשר מתקיימים התנאים הבאים:

• הזרימה נורמלית לפתח במיקומים בהם מסה נכנסת או יוצאת מנפח הבקרה.
• כלל התכונות האינטנסיביות, כולל מהירות וצפיפות, הם אחידים במיקום בכל כניסה או יציאה דרכם המסה זורמת.

נאמר כי הזרימה היא חד-ממדית.

כאשר הזרימה חד-ממדית, נקבל:

או, לפי נפח סגולי:

כאשר הוא המהירות ו- הוא נפח סגולי. מאוד מבלבל.

חוק ראשון בנפח בקרה

נוסחה לקצב שינוי באנרגיה

אנרגיה, כמו מסה, היא תכונה אקסטנסיבית, ולכן גם היא יכולה להיכנס ולצאת מנפח בקרה כתוצאה מממסה שעוברת את גבולות המערכת. מאחר וזהו ההבדל העיקרי היחיד בין מערכת סגורה ונפח בקרה, נוכל לבנות את הנוסחה לשינוי באנרגיה של נפח בקרה ע”י הנוסחה לשינוי אנרגיה של מערכת סגורה, כאשר אנו גם לוקחים בחשבון גם את האנרגיה שיוצאת ונכנסת ע”י המסה.

משפט:

חוק ראשון בנפח בקרה קובע:

כאשר ישנה כניסה ויציאה אחת, נוכל לרשום זאת בצורה הבאה:

כש- הוא האנרגיה של נפח הבקרה בזמן .
הביטויים ו- הם סך קצב השינוי של מעבר אנרגיה בעזרת חום ועבודה בהתאמה, דרך גבולות הנפח בקרה, בזמן .
שאר הביטויים הם קצב המעבר של אנרגיה פנימית, קינטית, ופוטנציאלית בפתחים.

הערה:

נשים לב שאם אין מסה שזורמת פנימה או החוצה, אנחנו פשוט נקבל את חוק ראשון לפי גזירה של זמן:

חישוב עבודה של נפח בקרה

מאחר ועבודה כל הזמן מתבצעת ע”י או על נפח בקרה בו מסה זורמת דרך פתח מסויים, נהוג לפרק אותה לשני רכיבים: אחד הוא העבודה של לחץ הנוזל, והאחר, המסומן ב-, מכיל את כל שאר תופעות העבודה, כמו עבודות שינוי נפח, עבודות ציר, עבודת חשמל וכו’.

נביט בעבודה ביציאה בה מסה זורמת החוצה. אנו יכולים לחשב את קצב שינוי העבודה ע”י מכפלה של הכוח והמהירות בנקודת הפעלת הכוח:

כאשר הוא הלחץ של הנוזל, הוא שטח החתך דרכו הנוזל יוצא, ו- היא המהירות של הנוזל.

באותו אופן נוכל לרשום עבור העבודה בכניסה .
ניקח כל זאת בחשבון ונסכם כי:

כאשר, לפי המוסכומת לסימון העבודה, בפתח הכניסה העבודה שלילית כי אנרגיה נכנסת לנפח בקרה. ביציאה ישנו סימן חיובי כי אנרגיה יוצאת מהנפח בקרה.

בעזרת הנוסחה מזרימה חד-ממדית ():

זרימה חד-ממדית בחוק ראשון

נציב את הנוסחה האחרונה שפיתחנו בבנוסחה לקצב שינוי באנרגיה (כלומר, אנחנו מניחים שהזרימה היא חד-ממדית):

הוספנו את הסימון ל- כדי להדגיש שזהו קצב המעבר חום דרך הגבול לתוך הנפח בקרה.

נוכל לרשום את המשוואה בצורה שונה אם נציב את הגדרת האנתלפיה:

אם ישנם מספר כניסות ויציאות:

אנתלפיית סטגנציה

הגדרה:

את הביטוי שרשום בסוגריים אנו נוהגים לסמן ב- ואנו קוראים לו אנתלפיית סטגנציה:

נוכל לרשום את הנוסחה הקודמת בקיצור:

נפחי בקרה בתהליך מתמיד

הגדרה:

נפח בקרה בתהליך מתמיד הוא נפח בקרה שתכונות המסה בגבולותיו לא משתנות עם הזמן. בנוסף, קצב זרימת המסה וקצב שינוי האנרגיה גם כן לא משתנים.

לא יכל להיות הצטברות של מסה בתוך הנפח בקרה, כך ש-, ואז לפי הנוסחה לקצב שינוי במסה:

מעבר לכך, בתהליך מתמיד מתקיים גם , ולכן לפי הנוסחה לקצב שינוי אנרגיה:

אם נציב אנתלפיית סטגנציה:

סוגי נפח בקרה

נביט בסוגי נפחי בקרה שונים בעלי תהליכים מתמידים.

נחיר ומאט

נחיר (Nozzle) הוא מעבר זרם בעל שטחי חתך משתנים, כל שמהירות הגז או הנוזל גדלה עם כיוון הזרימה. במאט (Diffuser), הגז או הנוזל מאט בכיוון הזרימה.

העבודה היחידה שיכולה להתבצע בנפחי בקרה אלו הוא עבודת הזרימה, ולכן . בנוסף, מעברי חום עם הסביבה אמנם מתרחשים, אבל הם זניחים לעומת האנתלפיה והאנרגיה הקינטית. השינוי באנרגיה הפוטנציאלית מהכניסה ליציאה לרוב גם כן זניח. לכן משוואת האנרגיה עבורם:

טורבינה

טורבינה היא מכשיר בו הספק נוצר כתוצאה מזרימה של גז או נוזל דרך מספר להבים המחוברות למוט מסתובב.

מבחינת אנרגיה, סך האנרגיה הקינטית של המסה שעוברת דרך גבולות המערכת קטנה מספיק כדי שנוכל להזניח אותה. באותו אופן עבור האנרגיה הפוטנציאלית. לכן נקבל:

נוכל לרשום זאת גם בצורה סגולית:

כאשר ו-.

הערה:

נזכור שמשמעות ה- הוא סך העבודות חוץ מעבודת המסה שזורמת ביציאה או בכניסה. כלומר, אם אנו עובדים לפי הסימונים שהוגדרו בסוגי עבודה:

מדחס ומשאבה

מדחסים ומשאבות הם מכשירים בהם עבודה מתבצעת על החומר הזורם דרכם כדי לשנות את מצבו - לרוב כדי להגדיל את הלחץ שלו או הגובה שלו. עבור גז, קוראים למכשיר מדחס, ואלו עבור נוזל אנו קוראים למכשיר משאבה.

למדחס, משוואת קצב שינויי המסה והאנרגיה מצטמצמת בתהליך מתמיד, כמו בטורבינות:

מעבר חום עם הסביבה הוא לרוב תוצר לוואי שניתן להזניח. נקבל:

בצורה סגולית:

מצערת

הצערה הינו תהליך זרימה אדיאבטי תמידי שלחץ מופחת בו. מצערת (Throttle) הינה מכשיר שמבצע הצערה. לדוגמה:

במצערות, העבודה היחידה שמתבצעת היא עבודת הזרימה בכניסה וביציאה. בנוסף, זהו תהליך אדיאבטי כך שמתבטל ערך ה-, והשינוי באנרגיה פוטנציאלית זניח. לכן:

למרות שהמהירויות יחסית די גבוהות באזור המצומצם במצערת, מדידות שמתבצעות טיפה לפני ואחרי המצערת מראות שאין שינוי גדול באנרגיה הקינטית. לכן נוכל גם אותה להזניח:

מחליף חום

מחליף חום הוא מערכת שנועדה להעברת חום בין מקור חום כלשהו לנוזל, או ההפך.

מחליפי חום נפוצים.

כפי שניתן לראות בדוגמאות, מחליפי חום עלולים להכיל מספר כניסות ויציאות. עבור נפח בקרה העוטף את המחליף חום, העבודה היחידה שמתבצעת היא עבודת הזרימה בכניסות ויציאות, ולכן מתבטל בחוק ראשון. בנוסף, האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית של הזרמים זניחים בכניסות והיציאות. לכן בתהליך מתמיד:

למרות שמתרחשים כמויות גדולות של מעברי אנרגיה בתוך המחליף חום, האינטראקציית חום של המחליף עצמו עם הסביבה עלולה להיות (במקרים מסוימים) זניחה. לכן נוכל גם לבטל את :

במקרה הפרטי בו יש ארבעה פתחים, כך שיש שני זרמים מנוגדים בכיוונם שלא מתערבבים:

ולכן:

---

תרגיל:
לתא ערבוב (אדיאבטי וקשיח) נכנסים מים נוזלים בטמפרטורה ובלחץ וקיטור בטמפרטורה ולחץ . דרוש לקבל ביציאה נוזל רווי בלחץ . חשבו את היחס המשקלי בין ספיקת הנוזל הרווי ביציאה לספיקת הקיטור.

פתרון:
נבנה טבלה ונמלא אותה ע”י טבלת קיטור:

בטבלת קיטור אין לנו ערכים עבור לחצים נמוכים יותר מ- לנוזל דחוס. עבור לחצים נמוכים אלו אנחנו נוכל לבצע קירוב, בו אנחנו מניחים שנוזל דחוס מאוד דומה לנוזל רווי ב-:

לכן:

עבור שאר האנתלפיות, נוכל כבר למלא ישירות מהטבלאות קיטור:

לפי שימור מסה בנפחי בקרה בתהליך מתמיד:

מאחר ויש לנו שתי כניסות ויציאה אחת:

לפי חוק ראשון במצב מתמיד:

התהליך אדיאבטי, ולא מתקיימות עבודות כלשהן חוץ מעבודת הזרימה. לכן , ונוכל לרשום:

אנחנו יכולים להזניח את שינוי האנרגיה הקינטית ושינויי האנרגיה הפוטנציאלית, ולכן בכל מצב:

נציב את ב-:

נוכל להציב את הערכים מהטבלה כדי לקבל:

---

נפח בקרה בתהליך לא מתמיד

בתהליך לא מתמיד, למשל כאשר ממלאים מיכל, המצב של המערכת משתנה עם הזמן, וכבר לא נוכל לבצע את כל ההנחות שביצענו בנפחי בקרה בתהליך מתמיד.

במקרים אילו, לפי שימור המסה של נפח בקרה (לאחר אינטגרציה):

ונקבל כי:

במילים, משוואה זו אומרת משהו מאוד פשוט: השינוי בכמות החומר בתוך הנפח בקרה שווה להפרש בין כלל המסה שנכנסת לכלל המסה שיוצאת.

לפי חוק ראשון בנפח בקרה (שוב, נבצע אינטגרציה):

כאשר הוא כמות האנרגיה שעברה בחום לנפח בקרה, ו- היא כלל העבודה של נפח הבקרה (עבודות ציר, עבודת כבידה וכו’), חוץ מעבודת הזרימה שמתוארת בביטויים לאחר מכן.

עבור המקרה המיוחד בו המצבים בכניסות וביציאות קבועות עם הזמן, אז האנתלפיות סטגנציה שלהן, ו- קבועות, ולכן מתקיים:

נציב במשוואה שקיבלנו:

דוגמה:

נביט בנפח בקרה בעת מילוי עם כניסה אחת, שמסופקת אליו מסה דרך קו הספקה.

כאשר נתון קו הספקה, אנו מניחים שהאנתלפית סטגנציה שלה קבועה עם הזמן, ושווה לאנתלפית סטגנציה של המסה שנכנסת לנפח בקרה, , ולכן נוכל לרשום (לפי הנוסחה האחרונה שרשמנו):

---

תרגיל:
נתון מיכל צילינדרי מבודד ובו בוכנה מבודדת, כבדה וחסרת חיכוך בשיווי משקל המתואר באיור:

בחלק שמעל הבוכנה שנפחו , נמצא אוויר בלחץ ו-. בחלק התחתון, שנפחו , נמצא אוויר בלחץ ו-. ברגע מסוים השסתום נפתח ואאויר זורם לאט מקו האספקה (לחץ וטמפרטורה ) לתוך החלק התחתון של המיכל. התהליך נפסק כאשר מושג שיווי משקל.
חשבו את:

1. הלחץ והטמפרטורה הסופיים בחלק העליון, .
   פתרון:
   נבנה טבלה:

   במצב 2, מערכת הגיעה לשיווי משקל עם הקו הספקה, ולכן:

   מהשיווי משקל במצב , נוכל להסיק משקלול כוחות שהלחץ שהבוכנה מפעילה:

   מהשיווי משקל במצב , נמצא כי:

   ולכן:

   מערכת עוברת תהליך לא קוואזיסטטי, מאחר וישנו הפרש לחצים גדול (לא אינפיסטימלי) בתחילת התהליך באזור השסתום. לעומת זאת, מערכת כן עוברת תהליך קוואזיסטטי כי היא מרגישה עלייה איטית בלחץ מהבוכנה.
   בנוסף, נתון לנו שכלל המערכת מבודדת אדיאבטית. לכן נסיק כי עוברת תהליך פוליטרופי מסוג (נזכור כי של אוויר הוא ):

   נוכל גם לחשב את המסה:

   מאחר ו- היא מערכת סגורה אז גם מתקיים:

   ונוכל למצוא את הנפח:

   ולכן הטבלה שלנו:

2. העבודה שנעשתה בחלק התחתון, .
   פתרון:
   נפעיל חוק ראשון על מערכת שכוללת חלק עליון של צילינדר, כלומר - מערכת והבוכנה.
   לכן, העבודה של היא הפוכה לעבודה של מערכת זו:

   אז נחשב את העבודה של והבוכנה. המערכת עוברת תהליך פוליטרופי וקוואזיסטטי, ולכן:

   נציב:

3. מסת האוויר שזרמה מהקו.
   פתרון:
   משוואת גזים אידיאליים:

   לפי חוק ראשון בנפח בקרה:

   נבצע אינטגרל:

   מערכת היא מערכת פתוחה במצב לא מתמיד:

   נשים לב כי , אבל מאחר ואין עבודות ציר, אז .
   בנוסף, ישנו פתח אחד מקו הספקה, אז נוכל להניח כי . בנוסף זוהי מערכת פשוטה, אז :

   נציב קיבולי חום ו-, כאשר נקיח נקודת רפרנס :

   נציב :

4. הטמפרטורה הסופית בחלק התחתון.
   פתרון:
   המסה ב-:

   ולכן הטמפרטורה: