SLD2_E2023WA 2023 חורף מועד א

שאלה 1

נתונים:

סעיף 1

בנקודה , נתון לנו שטנזור המאמצים:

טנזור המאמצים תמיד סימטרי, כך שגם . בנוסף, נתון שמצב העיבורים הוא מישורי, כך ש- . לפיכך, מקשרי מאמץ עיבור:

וגם:

ולכן:

מקשרי מאמץ עיבור:

לפיכך:

מנוסחאות מאמץ נורמלי מקסימלי, נוכל גם למצוא את הכיוונים הראשיים של טנזור העיבור ב- (ה- כאן היא לא אותה ה- המוגדרת בשאלה, היא סתם יוצאת ככה):

לכן הכיוונים הראשיים של טנזור העיבור הם:

סעיף 2

מצאנו כבר בסעיף קודם:

סעיף 3

בנקודה , מערכת הצירים הגלילית נמצאת ב- יחסית למערכת צירים הנוכחית. כלומר, ב-:

לכן טנזור הסיבוב:

נמצא את :

ולכן:

סעיף 4

לפי שינוי נפח יחסי:

נציב את הערך :

סעיף 5

ללא מידע על ההזזות עצמן, אנו יודעים רק לחשב את מחצית הקטנת הזווית בין סיבים ניצבים (), אבל לא את שיעור הסיבוב עצמו של סיב חומרי ().

סעיף 6

ממשוואות שיווי משקל על שדה ההזזה:

נמצא את לפי הקשרים בין המודולים ויחס פואסון:

מקדם למה נתון ע”י:

נציב בחזרה במשוואה:

נציב :

סעיף 7

התנאי שפה שאין עומס הפועל על הפאה התחתונה ניתן להצגה ע”י הדרישה שכאשר , לא פועלים עומסים על המישור . כלומר, ש- , ולכן:

עבור הפאה העליונה, :

יש לנו ארבע משוואות עם ארבעה נעלמים. פתרון זריז ע”י הצבה או הדטרמיננטה של המערכת ההומוגנית הזאת יניב שהפתרון היחיד הוא הפתרון הטריוויאלי.

לפיכך:

סעיף 8

נשרטט דג”ח:

חתך מעגלי על החתך צד של הטריז.

ניתן לראות מהפתרון לסעיף הקודם שהמאמצים היחידים שמתפתחים הם בכיוון ’ ולכן לא שרטטנו מאמצים פנימיים באף כיוון אחר. המשוואות הנתונות הן משוואות שיווי משקל בכל אחד מהצירים הקרטזיים. נבנה גם משוואות שיווי משקל במערכת צירים זו, כאשר נתייחס רק למשוואה עבור , כי רק בה יש את המקדם שאנו רוצים למצוא, :

כאשר האינטגרל הוא סך המאמצים בקצה המעגלי של החתך, בכיוון .
נציב את הביטוי עבור :

כבר ניתן לחלץ את הביטוי שאנו רוצי לחשב - המקדם של :

מהאינטגרלי עזר:

לפיכך:

שאלה 2

נתונים:

סעיף 9

דג”ח חיצוני זריז על הבעיה נרצה למצוא את התגובה ב-:

דג”ח חיצוני על הבעיה הנתונה.

משוואות שיווי משקל, כאשר נשים לב שאנו יכולים להחליף את העומס המפורש בכוח שגודלו ופועל במרחק מ-:

לכן החתך שלנו ב- ייראה מהצורה הבאה:

חתך חיובי על חלק מהקורה.

ממשוואות שיווי משקל:

לפיכך:

סעיף 10

הקטע נמצא בצד השלילי של , ובצד החיובי של , בדיוק באותו אופן ומרחק כמו ש- נמצא בצד השלילי ובצד החיובי של . לפיכך, , וגם .

סעיף 11

נביט במקטע :

מקטע .

אורך המקטע הוא , ורוחבו .
בראשית הצירים המשורטטת אנו במערכת ראשית של המקטע, כי לפחות שניים מצירי הסימטריה מתלכדים עם הצירים. לפיכך:

לאחר סיבוב ב-:

לאחר שטיינר למערכת צירים הנוכחית ():

נקבל:

סעיף 12

באמצע הקורה כבר נתון כי:

הקורה שלנו נמצאת תחת כפיפה משופעת, כך שהמאמץ שלה בחתך תלוי ב- לפי:

כאשר נוסחה זו נכונה עבור מערכת ראשית. נציב את ה- שלנו:

המאמץ המקסימלי יתקבל עבור הכי גדול. מהחתך ניתן לראות שה- המקסימלי הוא . נציב:

סעיף 13

לפי קריטריון פון מיזס, המאמץ האקוויוולנטי לכשל נתון ע”י:

לפיכך, המאמץ האקוויוולנטי המקסימלי יתקבל בנקודה עם המאמץ הנורמלי הגדול ביותר. מבין כל הנקודות עם המאמץ הנורמלי הגבוה ביותר, יתקבל מאמץ אקוויוולנטי מקסימלי עם המאמץ הגזירה הגדול ביותר (המאמץ הנורמלי הרבה יותר דומיננטי ממאמץ הגזירה).

לכן המאמץ הנדרש יתקבל סמוך לנקודה . לפי זרימת הגזירה, מאמץ הגזירה ב- יותר גובה ממאמץ הגזירה ב- או . לפיכך, המאמץ הנדרש יתקבל על .

סעיף 14

במערכת ראשית, רכיב הגזירה בחתך נתון ע”י:

במקרה שלנו , ובמקטע רכיב הגזירה שלנו הוא . לכן:

כדי לחשב את נשרטט חתך:

חתך על .

לפיכך:

נציב בחזרה בביטוי עבור :

סעיף 15

מסעיף קודם קל לראות שעבור מקסימלי נקבל מאמץ גזירה מקסימלי. את ה- המקסימלי נקבל באמצע החתך, על הציר , כי ברגע שעברנו אותו, רכיב מרכז הכובד () מתחיל לתרום באופן שלילי לגודל .

חצי חתך הרלוונטי לסעיף. נשים לב ש- עובר באמצע החתך - מתלכד עם ציר , ולכן אנו יכולים לבצע גם שם חתך ולהתייחס לכך כשפה חופשית.

עבור :

עבור :

עבור החלק האלכסוני:

עבור חצי מהחלק הארוך האמצעי:

עבור החלק הקצר שיוצא מהחלק הארוך:

נסכום:

ולכן:

סעיף 16

כעת המאמץ יהיה נתון ע”י:

נגזור לפי , כאשר כעת נשים לב ש- הוא פונקציה של :

מקשרים דיפרנציאליים, אנו יודעים ש- . בסעיף 9 כבר מצאנו ש:

נציב בביטוי ל-:

נאפס את ביטוי זה כדי למצוא נק’ חשודות למקסימום:

קל לראות מהצבת ביטוי זה בחזרה ב- שאכן קיבלנו מקסימום. לפיכך, ה- הנדרש:

סעיף 17

כבר מצאנו ש:

מקשרים דיפרנציאליים לשקיעה אנו יודעים ש:

לכן:

התנאי שפה שלנו הם שאין מומנטים בקצוות ואין שקיעות בקצוות:

בקצה :

נוכל כעת למצוא את :

לכן:

סעיף 18

דג”ח על הבעיה החדשה, כאשר הזיז מפעיל את הכוח על המבנה.

נתון לי כי כעת השקיעה היא . מסופרפוזיציה, השקיעה הזאת מתקבלת ע”י:

מסעיף קודם אנו יודעים ש:

את נוכל למצוא מטבלת שקיעות מקרה :

נציב בביטוי שלנו עבור :

סעיף 19

הפונקציה מתארת את סיבוב הסיב. הוא לא יכול להיות לא רציף כי זה מעיד על שבר.
הפונקציה פרופורציונלית למומנט הפנימי, והוא רציף כי אין מומנט טהור שמופעל על הקורה באף נקודה.

הפונקציה פרופורציונלית לכוח הגזירה הפנימי, והוא באמת לא רציף כי באמצע הקורה מופעל כוח ע”י הזיז, שמקפיץ את הגודל שלו ב-.

שאלה 3

סעיף 20

נטו עניין של היגיון, מתעלמים מהשפעת הקורות ו- על הנקודות כי השפעתן זניח בתיאור הסכימטי (וגם סימטרי).

סעיף 21

נמצא את התגובות:

דג”ח חיצוני. קל לראות שהתגובה האנכית ב- היא אפסית.

שיווי משקל מומנטים סביב :

משיווי משקל כוחות בציר , קל לראות אז שגם:

נרצה לפעול בשיטת אנרגיה לפתרון הבעיה. לפיכך, נצטרך למצוא את המומנטים הפנימיים לאורך כל המבנה. נסתפק במציאת המומנטים הפנימיים בחצי המבנה, כי הוא סימטרי.

חתכים חיוביים למציאת מומנט פנימי. שאר הכוחות הפנימיים לא מעניינים אותנו כי הם לא יוצרים אנרגיה אלסטית משמעותית.

ממשוואות שיווי משקל, עבור הדג”ח השמאלי:

עבור הדג”ח הימני:

לכן, האנרגיה האלסטית האגורה בכל הקורה (נזכור שצריך להכפיל פי ) נתונה ע”י:

לפי משפט השני של קסטיליאנו:

סעיף 22

נשים לב כי כעת הבעיה שלנו לא מסוימת סטטית.

דג”ח חיצוני של הבעיה החדשה. סימנו את התגובה ב- ב-.

נתייחס ל- ככוח חיצוני ידוע.
שיווי משקל מומנטים סביב :

משיווי משקל כוחות בציר , קל לראות אז שגם:

מאותו הדג”ח מסעיף קודם אנו יכולים לראות ש:

מאחר והמבנה כבר לא סימטרי, המומנטים עבור הצד שני ייראו כך:

נגזור כל אחד מהם לפי :

לפי המשפט השני של קסטיליאנו, מאחר ואין תזוזה אופקית בנקודה , יתקיים:

כאשר נשים לב ש- כעת נראה שונה:

נגזור ונציב במשפט:

כאשר הוא מספר קבוע. קיבלנו כי: