פנגייה

SLD2_008 מאמצי גזירה בכפיפה

מבוא

בפרק הקודם עסקנו בקשר בין לעומסים . נרצה כעת למצוא את מאמצי הגזירה . מאחר ו- ו-, נוכל לחשב אותם מתוך שיקולי ש”מ:

אנו נביט בחתכים דקי דופן:

כאשר:

אנו נעסוק בחתכים כאלו כי הם מאוד נפוצים, וגם כי הם יותר קלים לחקירה.

מאמצי גזירה בחתכים דקי דופן

נביט בחתך דק דופן, ונגלה למה חתכים דקי דופן כל כך קלים לחקירה:

הפאה העליונה היא לרוב פאה חופשייה, כלומר אין עליה מאמצי גזירה. בקורה כזאתי הפאה העליונה לא תהיה חופשייה רק במקרים מאוד ספצפיים, כמו למשל קורה הנמצאת תחת זרם של מים לאורך הקורה. לכן, נוכל לומר כי בנקודות החיצוניות . גם הפאה ממתחת לאותה פאה עליונה לא חווה גזירה. לפיכך, נוכל לומר באופן די מוצלח שלכל הנקודות על החתך מתקיים .

נשים לב שזהו לא מקרה מיוחד לחתך הזה, אלא נכון לכל חתך דק דופן, למשל:

לפיכך:

מסקנה:

בקורות דקות דופן, כיוון הגזירה בחתך מקביל למשיק ל”קונטור” של החתך.

כעת נוכל להתחיל בפיתוח שלנו לביטוי למאמץ הגזירה, כשאנו מבינים שקיים רק אחד ממנו, , ואותו נסמן ב-.
נבצע דג”ח על חתך דק דופן, כאשר נציין בדג”ח רק עומסים שתורמים ל-. נשים לב כי לאורך החתך מאמץ הגזירה עשוי להשתנות, ולכן נבצע חתך על החתך:

הערות על הדג"ח:

  1. בשרטוט אמנם זה נראה כאילו , אבל הכוונה היא בחתך באורך אינפיטסימלי , ולכן מתמטית, אנו נתייחס כאילו .
  2. הפאה הימנית, העליונה והתחתונה הן פאות חיצוניות. אין עומס חיצוני בכיוון הגזירה על הפאות האלה, ולכן אין עליהעומסים בכיוון .
  3. אנו יודעים גם שגודל משתנה לאורך הקורה, ולכן יש הפרש המסומן ב- בין שני צדי החתך.
  4. בחרנו באופן שרירותי שהכיוון החיובי של מקביל ל-.
  5. אנו עוסקים בחתך העליון בשרטוט. כלומר החלק התחתון הוא נטו להמחשה לאיפה עשינו את החתך בקורה, אבל כמובן לא נתייחס אליו כחלק מהדג”ח.

נחשב כעת את שקול הכוחות בכיוון :

כאשר הוא שטח הפאה הימנית. אנו לא מסמנים אותו ב- כי אנו עדיין מתייחסים ל- בתור שטח כלל החתך:

נרצה למצוא את . נוכל להכניס את לתוך האינטגרל:

כאשר סימנו:

נזכור מפרק קודם כי:

נגזור אז לפי :

עבור המקרה הסטנדרטי והנפוץ של עומס פנימי נורמלי אחיד לאורך קורה, מתקיים . ניזכר גם בקשרים הדיפרנציאליים בקורות ונסיק כי מתקיים גם:

נציב ונקבל:

נציב בחזרה בביטוי שקיבלנו ל-:

נשים לב כי אין לנו ביטויים באינטגרל שתלויים ב-, חוץ מ- עצמם. לכן, נסמן:

ונוכל כעת לרשום את בצורה הבאה:

במערכת ראשית (לפי כל החתך ), , ולכן:

הערה:

נזכור שכאשר פיתחנו את הנוסחה ל-, הנחנו כי אנו במערכת צירים הממוקמת במרכז הכובד של החתך, ולא של ! לכן נחשב את לפי מרכז כובד זה.

ראינו כי מתקיים:

ולעומת זאת:

מבחינת סדרי גודל, אם אנו מסתכלים על היחס בינהם, נראה כי:

מאחר ואנו דנים בקורות שממדיהן הוא , נסיק כי מאמצי הגזירה המתפתחים בקורות תמירות (קורות שאורכן גדול בהרבה מרוחבן) תחת כפיפה משופעת קטנים בהרבה מהמאמצים הנורמליים.

מרכז הכובד של התת גוף

נרצה להרחיב טיפה על המשמעות של הרכיבים של .
החתך שלנו:

נשים לב כי הנוסחה ל- היא בעצם המונה של מיקום מרכז הכובד של החתך , ביחס לראשית הצירים שמרכזה במרכז הכובד של :

כאשר הוא מיקום מרכז הכובד של .

נרצה לראות איך משתנה לאורך החתך.
נניח שאין כוח שקול בכיוון , כלומר שקיים רק ו-. במקרה זה:

בנקודה , החתך שאנו מבצעים הוא ממש על קצה החתך הכללי, כך ש- . לפיכך, , ונסיק כי . כלומר אין מאמצי גזירה בקצוות, שזה לא מפתיע כי אנו מניחים שאנחנו תחת עומסים סטנדרטיים, כך שאין כוחות גזירה בכיוון הקורה.

בנקודה , ה- הוא השטח המתואר באיור. ניתן לראות (בערך) שהמרכז כובד של הגיאומטריה נמצא בצד השלילי של . נסיק כי בנקודה זו גדל מאשר בקצה, וגודלו חיובי:

כלומר, כיוון הוא באותו כיוון שבחרנו כאשר פיתחנו את הנוסחה שלו.
אם נמשיך באותו אופן עבור כל נקודה על החתך, נקבל שמאמץ הגזירה הכי גדול באמצע החתך, ואפסי בקצוות:

נשים לב גם כי נוכל גם לחשב את עבור החתך ההפוך ולקבל משהו מעניין. נסמן את החתך ההפוך ב- (כפי שמוצג בדג”ח הראשון), ואת ה- שלו ב-. אזי:

כאשר השוויון האחרון נובע מכך שמערכת הצירים שלנו נמצאת במרכז הכובד של החתך. נסיק מכך ש:

דוגמה:

נדרש לחשב את פילוג מאמץ הגזירה בחתך הבא:

מאחר ואין גזירה , מתקיים:

נזניח את הביטוי בסוגריים כי הוא בסדר גודל של פי יותר קטן מהביטוי מחוץ לסוגריים, ונקבל רק את:

נותר לנו לחשב את . נחלק למקטעים:

במקטע הימני העליון, כאשר נשים לב שראשית הצירים שלנו נמצאת באמצע החתך הכללי :

באותו אופן, במקטע השמאלי העליון:

נקבל את אותם ביטויים עבור המקטעים התחתונים. נוכל כעת לחשב את כתלות במרחקו מהקצוות. ייצוג שלו נמצא בסוף הדוגמה על הדג”ח, כולל ערכו המקסימלי באמצע הפאה העליונה.
עבור המקטע האמצעי, ה- של מקטע זה יהיה הסכום של ה- של המלבן העליון וה- של המלבן האמצעי:

נסיק כי הביטוי שלנו ל- במקטע האמצעי הוא:

נשים לב כי לגזירה בצמתים יש רציפות. זה לא במקרה. החצים המתארים את כיוון מאמצי הגזירה ידועים בשם זרימת הגזירה (shear flow). אפשר להתייחס לחתך כאל תעלות, ואל זרימת הגזירה כאל זרימת נוזל. כמות הזרימה הנכנסת לצומת, שווה לזרימה היוצאת מהצומת.

הערה:

אם ה- לא היה פועל בצורה אנכית, אלא גם ב- וגם ב-, אז שלנו היה נראה כך:

ואז היינו מחשבים את פעם לפי ופעם לפי וסוכמים את התוצאה.

תרגיל:
נתון החתך הבא:

  1. מצאו את פילוג מאמצי הגזירה בחתך. תזכורת:
  2. מהו טנזור המאמצים בנקודה ?

פתרון:

  1. נבצע חתך באמצע החתך. נביט בשני החתכים שנוצרו לנו, שמפעילים כוחות אחד על השני:

    אנו יודעים כי פועל בכיוון ה”קונטור” של החתך. בנוסף, מאחר ומאמצים אלו הם אותם המאמצים בחתכים מנוגדים, אז מתקיים . ניתן גם לראות זאת משימור זרימת הגזירה:

    בנוסף, מסימטריה (נשים לב שהחתך שלנו על ציר סימטריה, וכיוון העומס החיצוני מתלכד עם ציר זה), מתקיים . נסיק כי:

    כלומר מצאנו שפה חופשית. נבצע חתך בשפה חופשית זו, כדי שסוף סוף נוכל להשתמש בנוסחה למאמץ גזירה בכפיפה:

    לפי הנוסחה, מאחר ומערכת הצירים שלנו מתלכדת עם צירי הסימטריה של החתך, אנו במערכת ראשית של טנזור האינרציה, ונוכל להשתמש בנוסחה הפשוטה:

    נחשב את :

    ולכן:

  2. נמצא כי טנזור המאמץ:

תרגיל:
נתון חתך דק דופן , המועמס בכוח גזירה :

מצא את פילוג מאמצי הגזירה בחתך. נזכור כי:

פתרון:
נשים לב שאמנם הוא ציר סימטריה, אבל כבר לא. בנוסף, הפתח למטה הוא שפה חופשית.
נחשב פעם עבור ופעם עבור ואז נסכום אותם לפי סופרפוזיציה.

  1. השפעת :
    נסמן נקודות:

    בנקודה זוהי שפה חופשית. לכן .
    בקטע הדק דופן :

    כאשר רץ לנו בין ל-.
    נרצה לחשב את מאמץ הגזירה. אז ה-:

    ולכן בנקודה :

    נציב בנוסחה הפשוטה ל- (כי מערכת הצירים שלנו היא מערכת ראשית):

    נעבור לקטע הדופן , כאשר לא נשכח עדיין לשרטט את הקטע הקודם, כדי שנוכל להמשיך לעבוד עם שפה חופשית בקצה.

    נשים לב כי כאן הוא לא אותו ה- מהמקטע הקודם.
    נחשב את , כאשר לא נשכח מהתוספת של ה- מהמקטע הקודם:

    נוכל כעת לחשב את :

    באותו אופן בקטע נקבל כי:

    ולכן המאמץ:

    נשרטט את הפילוג כתוצאה מ-, ומטעמי סימטריה נקבל כי:

  2. עבור לא היה זמן בתרגול.