PHY1_010 תורת היחסות הפרטית

תורת היחסות הפרטית

נביט במערכת שכוללת רכבת הנעה במהירות קבועה ביחס לרציף. על הרציף עומד אדם אחד וברכבת ישב אדם אחר.

ברגע שהם חולפים זה ליד לזה, השעונים שלהם מסונכרנים. היגיון הבריא אומר שבכל רגע בהמשך, השעונים שלהם יראו את אותו זמן. כלומר, שקיים זמן אבסולוטי ליקום. תוצאה זו נכונה בתוך טווח השגיאה של ניסויים במהירויות קטנות משמעותית מ- . אלברט איינשטיין הראה שתוצאה אינטואיטיבית זו אינה נכונה עבור מהירויות המתקרבות למהירות האור.

תורת היחסות הפרטית דנה בתרגום של מיקום וזמן מאורעות בין מערכות ייחוס הנעות במהירות קבועה אחת ביחס לשנייה. (מערכות אינרציאליות). מכיוון שתורה זו דנה רק במערכות ייחוס שאינן מאיצות, מוסיפים לה את התיאור תורת היחסות הפרטית. ב-1917 איינשטיין פרסם את תורת היחסות הכללית הכוללת אפקטים של תאוצה.

עקרונות תורת היחסות

תורת היחסות הפרטית בנויה על שני עקרונות:

1. חוקי הפיזיקה זהים בכל מערכת ייחוס אינרציאלית. כלומר, אין מערכת ייחוס אינרציאלית אחת עדיפה על מערכת אחרת. גם גליליאו הניח שחוקי המכניקה הם זהים בכל מערכת ייחוס אינרציאלית. איינשטיין הכללי רעיון זה לכלול אלקטרומגנטיות ואופטיקה. שימו לב שהחוק אינו אומר שהמדידות של גדים פיזיקליים שווים בכל מערכת ייחוס. מדידית המהירות, לדוגמה, משתנה במערכות ייחוס שונות. ההנחה היא שהחוק שמקשר בין הגדלים הנמדדים זהים.
2. מהירות האור היא קבועה בכל הכיוונים ובכל מערכות הייחוס. דרך אחרת להציג עקרון זה הוא שקיים בטבע מהירות מקסימלית אותה לא ניתן לעבור. נסמן את המהירות הזאת באות . העיקרון אומר שמהירות זו היא אותו דבר בכל הכיוונים ובכל מערכות הייחוס האינרציאליות. כל גוף חסר מסה נע במהירות . לדוגמה, אור נע במהירות זו, ולכן נהוג לקרוא למהירות זו מהירות האור. אם יתגלו חלקיקים חסרי מסה נוספים, גם הם ינועו במהירות האור. לעומת זאת, כל חלקיק שיש לו מסה לא יצליח להגיע למהירות זאת, לא משנה עד כמה ננסה להאיץ אותו.

שני העקרונות נבדקו ניסיונית במשך עשרת שנים ולא נמצא שום סטייה.
שימו לב למוזרות שנמצאת בעקרון השני. נחשוב לדגומה על בעיה חד ממדית של ילד נוסע בתוך רכבת. אם היחד יזרוק כדור טניס במהירות ביחס לרכבת, אז אדם על הרציף יראה את הכדור נע במהירות , כאשר היא מהירות הרכבת. בניגוד לכדור הטניס, אם הילד ברכבת יפעיל לייזר, אז מהירות האור שהילד ימדוד ברכבת זהה למהירות האור שימדוד האדם על הרציף.

מהירות האור

דוגמה לניסוד שבדק שלא ניתן להאיץ גוף מעבר למהירות האור נעשה ב-1964 על ידי ברטוצי. בניסוי זה הוא האיץ אלקטרונים ומדד את האנרגיה הקינטית שלהם. הוא מצא שככל שמאיצים אלקטורן האנרגיה הקינטית שלו גדלה, אבל המהירות שלו לא עוברת את מהירות האור. אלקטרונים הואצו עד כדי , למרות זוהי מהירות קרובה מאוד למהירות האור, היא עדיין לא עברה אותה.

מהירות האור נמדדה להיות:

משפט:

התארכות זמן

בתורת היחסות הפרטית אנו נרצה לתאר איך מאורעות במערכת ייחוס אינרציאלית אחת מתורגמות למערכת ייחוס אינרציאלית אחרת.

נתחיל בדוגמה שתוביל למושג של התארכות זמן. נדמיין שני אנשים, אחד על רכבת שנעה במהירות ביחס לרציץ ואחד עומד על הרציף. האדם על הרכבת יושב בנוחות ולידו יש שעון אור.

בשעון אור, יש שתי מראות המופרדות במרחק . כל פרק זמן בו האור חוזר לנקודה ממנה יצא נקרא יחידת זמן אחת.
ברגע מסוים הרכבת עוברת ליד האדם ברציף. הנוסע ברכבת מודד שיחידת זמן אחת של שעון האור שלידו היא:

פרק זמן זה נקרא הזמן העצמי והוא מתאר שתי מאורעות שהתרחשו באותו מקום מבחינת האדם ברכבת: היציאה של קרן האור מהמראה התחתונה והחזרה שלה אליה.

נסמן את המאורעות בטבלה:

מאורע	מערכת ייחוס הקבועה ברציף	מערכת ייחוס הנעה עם הרכבת
קרן האור יוצאת מהמראה התחתונה של שעון האור הנמצא על הרכבת.		$$
\begin{gather}x’{1}=x \t’{1}=t\end{gather}

\Delta t=\frac{2L}{c}

L=\sqrt{ \left( \frac{1}{2}v\Delta t \right)^{2}+D^{2} }

\begin{gather}
\left( \dfrac{c\Delta t}{2} \right)^{2}=\left( \frac{1}{2}v\Delta t \right)^{2}+D^{2} \[1ex]
\dfrac{c^{2}-v^{2}}{4}\Delta t^{2}=D^{2} \[1ex]
\Delta t^{2}=\frac{4D^{2}}{c^{2}\left( 1-\frac{v^{2}}{c^{2}} \right)}=\dfrac{\Delta {t}_{0}^{2}}{\left( 1-\frac{v^{2}}{c^{2}} \right)}
\end{gather}

\Delta t=\dfrac{\Delta {t}_{0}}{\sqrt{ 1-\frac{v^{2}}{c^{2}} }}

\text{Moving clocks run slow}

\Delta=\gamma\Delta {t}_{0}

\begin{gather}
c^{2}t^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\[2ex]
c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=0
\end{gather}

(\Delta S)^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=0=c^{2}t’^{2}-x’^{2}-y’^{2}-z’^{2}=0

t’{2}-t’{1}=\Delta t’=\gamma\left( {t}{2}-\frac{\beta}{c}{x}{2} \right)-\gamma\left( {t}{1}-\dfrac{\beta}{c}{x}{1} \right)=\gamma({t}{2}-{t}{1})=\gamma\Delta {t}_{0}

{L}{0}={x}{2}-{x}{1}=\gamma(x’{2}+vt’{2})-\gamma(x’{1}+vt’{1})=\gamma(x’{2}-x’_{1})=\gamma L’

\begin{gather}
{L}{0}=\gamma L’ \
L’=\frac{{L}{0}}{\gamma}<{L}_{0}
\end{gather}

\Delta t’=\gamma\left( \Delta t- \dfrac{v\Delta x}{c^{2}} \right)

\Delta t’=\gamma\left( -\dfrac{v\Delta x}{c^{2}} \right)

\begin{gather}
\bar{u}{x}=\frac{\Delta x}{\Delta t} \[2ex]
\bar{u}{y}=\frac{\Delta y}{\Delta t}
\end{gather}

\begin{gather}
\Delta t’=\gamma\left( \Delta-\frac{v}{c^{2}}\Delta x \right) \
\Delta x’=\gamma(\Delta x-v\Delta t) \[1ex]
\Delta y’=\Delta y
\end{gather}

u_{x’}= \dfrac{\Delta x’}{\Delta t’}=\dfrac{\gamma(\Delta x-v\Delta t)}{\gamma\left( \Delta t-\dfrac{v}{c^{2}}\Delta x \right)}=\dfrac{\dfrac{\Delta x}{\Delta t}-v}{1-\dfrac{v}{c^{2}}\dfrac{\Delta x}{\Delta t}}=\dfrac{u_{x}-v}{1-\dfrac{v}{c^{2}}u_{x}}\xrightarrow[\Delta t \to 0]{} \dfrac{u_{x}-v}{1-\dfrac{v}{c^{2}}u_{x}}

\begin{aligned}
u_{y’}&=\dfrac{\Delta y’}{\Delta t’}= \dfrac{\Delta y}{\gamma\left( \Delta t- \dfrac{v}{c^{2}}\Delta x \right)}= \dfrac{\dfrac{\Delta y}{\Delta t}}{\gamma\left( 1-\dfrac{v}{c^{2}} \dfrac{\Delta x}{\Delta t} \right)}=\dfrac{\sqrt{ 1-\left( \dfrac{v}{c} \right)^{2} }u_{y}}{1-\dfrac{v}{c^{2}} u_{x}} \[2ex]
&\xrightarrow[\Delta t\to 0]{} \dfrac{\sqrt{ 1-\left( \dfrac{v}{c} \right)^{2} }u_{y}}{1-\dfrac{v}{c^{2}}u_{x}}
\end{aligned}

\begin{gather}
u_{x’}=u_{x}-v \
u_{y’}=u_{y}
\end{gather}

\vec{p}=m \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}{t}{0}}=m \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}{t}{0}}=m \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\gamma=\gamma m\vec{v}= \dfrac{m\vec{v}}{\sqrt{ 1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}} }}

\begin{gather}
\Delta t=\gamma \Delta {t}{0} \
\implies \dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}{t}{0}}=\gamma
\end{gather}

\vec{p}=\gamma m\vec{v}\to m\vec{v}

\begin{aligned}
\Delta E_{k}=W&=\int F , \mathrm{d}x = \int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \dfrac{mv}{\sqrt{ 1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}} }} , \mathrm{d}x \int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \dfrac{mv}{\sqrt{ 1- \dfrac{v^{2}}{c^{2}} }} \right) v, \mathrm{d}t \
&=\int \left[ \frac{\dfrac{mv}{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}+ \dfrac{mv^{3}c^{-2}}{\sqrt{ \left( 1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}} \right)^{3} }} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \right] , \mathrm{d}t \
&=\int \dfrac{mv}{\sqrt{ \left( 1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}} \right)^{3} }} \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} , \mathrm{d}t \
&=\int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \dfrac{mc^{2}}{\sqrt{ 1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}} }} , \mathrm{d}t \
&=\dfrac{mc^{2}}{\sqrt{ 1-\dfrac{v_{B}^{2}}{c^{2}} }}-\dfrac{mc^{2}}{\sqrt{ 1-\dfrac{v_{A}^{2}}{c^{2}} }}
\end{aligned}

E_{k}=\frac{mc^{2}}{\sqrt{ 1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}} }}-mc^{2}=mc^{2}(\gamma-1)

\gamma=\frac{1}{\sqrt{ 1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}} }}\cong 1+\dfrac{v^{2}}{2c^{2}}

E_{k}=mc^{2}(\gamma-1)=mc^{2}\left( 1+\frac{v^{2}}{2c^{2}}-1 \right)= \frac{1}{2}mv^{2}

\begin{gather}
E_{k}=mc^{2}(\gamma-1) \
\gamma mc^{2}=mc^{2}+E_{k}
\end{gather}

\boxed {
E=\gamma mc^{2}
}

\begin{gather}
\gamma= \dfrac{1}{\sqrt{ 1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}} }} \[1ex]
1-\frac{v^{2}}{c^{2}}=\frac{1}{\gamma ^{2}} \[1ex]
\frac{v^{2}}{c^{2}}=1-\frac{1}{\gamma ^{2}}=\frac{\gamma ^{2}-1}{\gamma ^{2}} \[1ex]
v=c \dfrac{\sqrt{ \gamma ^{2} -1}}{\gamma}
\end{gather}

p=\sqrt{ \gamma ^{2}-1 },, mc

E^{2}-p^{2}c^{2}=\gamma ^{2}m^{2}c^{4}-\gamma ^{2}m^{2}v^{2}c^{2}=\gamma ^{2}m^{2}c^{4}\left( 1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}} \right)=\gamma ^{2}m^{2}c^{4} \frac{1}{\gamma ^{2}}=m^{2}c^{4}

E^{2}-p^{2}c^{2}=E’^{2}-p’^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}

E^{2}-p^{2}c^{2}=E’{\text{com}}{}^{2}-p’{\text{com}}{}^{2}c^{2}=E’_{\text{com}}{}^{2}=m^{2}c^{4}

cp=\sqrt{ E^{2}-m^{2}c^{4} }

p=\frac{E}{c}

p=\gamma mv,, \quad E=\gamma mc^{2}

\begin{gather}
\gamma mv=\dfrac{\gamma mc^{2}}{c} \
v=c
\end{gather}