PHY1_004 תנועה הרמונית ומערכות ייחוס

משפחות של מד”ר נפוצות בקורס

נוסחה:

1. מד”ר מהצורה:

פתרונה:

כאשר נקבע לפי תנאי התחלה.
2. מד”ר מהצורה:

פתרונה:

3. מד”ר מהצורה:

זוהי משוואה הרמונית. פתרונה יכל להיות כל אחד מ:

כאשר או נקבעים מתוך תנאי ההתחלה.

תנועה הרמונית

נביט בדוגמה הבאה:

מסה מחוברת לקפיץ אופקי בעל קבוע קבוע קפיץ . המשטח חלק.
אם נמתח את הקפיץ, אז קיים כוח שרוצה להחזיר אותו למצב שיווי המשקל. זוהי עובדה ניסיונית שעבור הרבה קפיצים הכוח הזה פרופורציוני למרחק הזזת הקפיץ משיווי המשקל. לדוגמא, אם מאריכים את הקפיץ פי שלוש, הכוח המחזיר יהיה גדול פי שלוש. כאשר יש קשר ליניארי בין הכוח למקום, מכנים קשר זה כחוק הוק.

נסמן ב- את מיקום הגוף כאשר הקפיץ רפוי. לפי חוק הוק:

לפי החוק השני של ניוטון:

קיבלנו מד”ר:

נפתור:

למשוואה כזו יש 3 אופציות שקולות לכתיבת הפתרון. נדגים עבור שאכן מדובר בפתרון. נציב במשוואה ונוודא שמתקבל פסוק אמת לכל .

נציב במשוואה :

ואכן קיבלנו את הדרישה ש-, כאשר היא למעשה מהירות זוויתית. נוכל בעזרת הנוסחה הבאה למצוא את זמן המחזור ():

נוסחה:

נשים לב כי הוא למעשה משרעת האמפלידוטה, ו- היא פאזת התנועה.

נאמר כי:

הגדרה:

כל מערכת המתוארת ע”י:

מבצעת תנועה הרמונית פשוטה.

נניח שנתון שברגע הגוף היה בנקודה ומהירותו הייתה .

נבחר:

נציב בפתרון המד”ר:

ומכאן קל למצוא את ו-.

דוגמאות:

1. מסה קטנה מחוברת לחוט. אורך החוט . המסה מבצעת תנודות בזוויות קטנות סביב האנך. מהו זמן המחזור של התנודה?
   
   פתרון:
   לפי החוק השני של ניוטון, בכיוון המשיקי:

בקירוב זוויות קטנות, , ולכן:

נשים לב כי קיבלנו מד”ר דומה לדוגמה עם המסה המחוברת לקפיץ. נסיק שמדובר בתנועה הרמונית, ולכן נוכל לומר כי:

מערכות ייחוס

דמיינו את עצמכם בתוך קופסא סגורה, בלי דרך לראות או להרגיש את העולם בחוץ. האם אתם יכולים לדעת אם הקופסא נעה במהירות קבועה ביחס לכדור הארץ? מה לגבי אם הקופסא מאיצה? במקרה שהקופסא מאיצה או נעה במהירות קבועה, איך חוקי הפיסיקה ישתנו בתוך הקופסא? האם חוקי ניוטון עדיין תקפים?

נדמיין את מכונית א’ נוסעת במהירות 30 קמ”ש על כביש ישר. עבור מכונית הנוסעת באותה מהירות בנתיב ליד, מכונית א’ נראית במנוחה. (למעשה, זה המצב שקורה כאשר שני אנשים יושבים אחד ליד השני במכונית). מכאן אנו רואים שהמהירות שאנו מודדים תלויה במערכת היחוס שלנו. עוד אנו רואים שוב שבחירת מערכת היחוס היא שרירותית.

מערכת היחוס היא האובייקט אליו אנו מחברים את מערכת הצירים שלנו. בחיי היום יום, האובייקט הזה הוא כדור הארץ. לדוגמא, המהירות שרשומה על דוח מהירות מתארת את העתק שמכונית עברה ביחדת זמן עבור מערכת צירים שקבועה ביחס לכביש. המהירות ביחס לשוטר שמדד את המהירות תהיה שונה אם השוטר היה זז בזמן מדידת המהירות.

נשאל את עצמנו האם חוקי הפיסיקה זהים בכל מערכות היחוס? בנוסף, איך ניתן לעבור ממערכת יחוס אחת לשנייה? יש מספר אפשרויות לקבוע מערכות יחוס אחת ביחס לשניה:

1. הזזה מקבילה: הצירים מקבילים, אך ראשית הצירים נמצאת בנקודות שונות.
2. סיבוב מישורי: ראשית הצירים משותפת ויש ציר משותף שמתלכד (למשל ציר ) אך הצירים במישור המאונך לציר זה מסובבים.
3. סיבוב מרחבי: ראשית הצירים משותפת אך כל שלושת הצירים מסובבים זה ביחס לזה.
4. הזזה + סיבוב.

לא נתעסק במערכות ייחוס המסובבות אחת ביחס לשניה. לשם פשטות, נניח שהצירים של מערכות היחוס השונות מקבילים זה לזה.

קשרים בין מדידות במערכות ייחוס שונות

נדמיין ששוטר חונה ליד כביש מהיר בראשית מערכת הייחוס ומודד את מהירות המכונית .

נטלי, שנמצאת בראשית מערכת היחוס , נוסעת במהירות קבועה לאורך אותו כביש מהיר ומתבוננת במכונית . מהאיור אנו רואים שאם הם ימדדו את מיקום המכונית באותו זמן הם יגלו ש:

כאשר הגדרנו את להיות המיקום של מכונית ביחס למערכת הצירים (בצורה דומה עבור ) ואת להיות המקום של מערכת יחוס ביחס ל . מכיוון שהתנועה היא לאורך קו ישר אנו מוותרים על סימני הוקטורים.

המשוואה מתארת שמקום המכונית ביחס לשוטר זהה למקום המכונית ביחס לנטלי בתוספת המרחק בין השוטר לנטלי. כדי לגלות את הקשר בין המהירויות שהם מדדו, נגזור את הביטוי עבור המיקום.

תוצאה זו היא אינטואיטיבית. היא אומרת שהמהירות של המכונית ביחס למערכת יחוס היא המהירות ביחס למערכת בתוספת המהירות של מערכת ביחס ל-. באותו אופן נמצא כי האנלוג עבור תאוצה גם נכון, וכמו כן כאשר נרחיב את הבעיה לתלת מימד:

טרנספורמציית גלילאו

נחזור למקרה החד-ממדי. תדמיינו איש בתוך קופסא סגורה ללא חלונות. הקופסא נעה במהירות קבועה. כפי שהזכרנו, בני אדם אינם רגישים למהירות אבסולוטית, אלא לתאוצה. בנוסף, עבור קופסא הנעה במהירות קבועה, התאוצה של גופים כפי שנצפית בתוך הקופסא זהה לתאוצה הנצפית מחוץ לקופסא. מכאן שחוקי ניוטון נכונים בתוך הקופסא.

ממסקנות אלה אנו רואים שאין אף ניסוי שהאיש יכול לעשות שיקבע אם הוא במנוחה או זז במהירות קבועה ביחס לאדמה מחוץ לקופסא. אנו נקרא למערכת ייחוס הנעה במהירות קבועה (כלומר ללא תאוצה) מערכת ייחוס אינרציאלית.
מכאן אנו רואים שאין אף ניסוי שהאיש יכול לעשות שיקבע אם הוא במנוחה או זז במהירות קבועה ביחס למערכת אינרציאלית אחרת. רק אם יש חלון והאיש יכול להשוות את תנועתו למערכת אינרציאלית אחרת הוא ידע אם יש תנועה יחסית בין המערכות. כלומר, אפילו במקרה זה הוא לא ידע אם הוא או המערכת השנייה נעות. זה מוביל אותנו לעיקרון האינוואריאנטיות (Galilean invariance) של גליליי:

משפט:

חוקי הפיסיקה הם זהים בכל מערכות ייחוס הנעות במהירות קבועה (ללא תאוצה) אחת ביחס לשנייה.

נחזור לקשרים שראינו בין מקום, מהירות ותאוצה הנמדדים במערכות ייחוס שונות. נסתכל על המקרה הפרטי שבו בזמן ראשי הצירים מתלכדים ומערכת הצירים נעה במהירות יחסית קבועה בכיוון החיובי של ציר ביחס למערכת .

במקרה זה, לדוגמא, המרחק בין ראשי הצירים הוא . בנוסף, מכיוון שהמהירות היחסית היא לאורך ציר x בלבד, צופים בשתי מערכות הייחוס ימדדו את אותם ערכים עבור מקום, מהירות ותאוצה בכיוונים ו-. לפי התוצאות שמצאנו בדיון על המעבר בין מערכות הייחוס נקבל:

משפט:

קשרים אלה נקראים טרנספורמציית גלילאו. שימו לב שמכיוון שהתנועה היחסית היא בכיוון ציר בלבד, מדידות המקום, המהירות והתאוצה בצירים ו- אינם מושפעים. מכיוון שהתאוצה הנמדדת בשתי מערכות הייחוס האינרציאליות זהה, נקבל:

כלומר, גופים במערכות אינרציאליות שונות ימדדו את אותו כוח (גודל וכיוון).

תיקון החוק השני של ניוטון במערכות לא אינרציאליות

במערכת אינרציאלית החוק השני של ניוטון אומר ש , כאשר היא התאוצה הנמדדת במערכת אינרציאלית. במערכת לא אינרציאלית, כמו כדור הארץ המסתובב, משוואה זו אינה עובדת. הסיבה היא שהתאוצה, , של מערכת היחוס המאיצה לא נכללת.
נגדיר את להיות תאוצת הגוף במערכת לא אינרציאלית. כפי שראינו מהקשרים בין מערכות ייחוס מאיצות בתחילת השיעור נקבל ש- היא התאוצה הנמדדת במערכת האינרציאלית. לפי תוצאה זו, התיקון לחוק השני של ניוטון במערכת לא אינרציאלית היא:

מסקנה: כשאנו עושים ניסוים במערכת לא אינרציאלית, חשוב להוסיף את תאוצת מערכת הייחוס .