PHY1_007 אנרגיה פוטנציאלית ושימור אנרגיה

אנרגיה פוטנציאלית

אנרגיה פוטנציאלית חד-ממדית

נתחיל מדוגמה:
נתון גוף בעל מסה בשדה גרביטציוני. מכיוון שזו בעיה חד ממדית, נשמיט את הכתיב הוקטורי. נקבע את כיוון ציר ואת ראשיתו כפי שמשורטט באיור. במקרה שהגוף נע בקרבת כדור הארץ, האנרגיה פוטנציאלית גרביטציונית בכל נקודה היא .

מכיוון שהעבודה תלויה רק בנקודת ההתחלה והסוף של המסלול שעבר הגוף, כוח הגרביטציה הוא כוח משמר. בנוסף, אנו רואים שהעבודה שעשה הגרביטציה פרופורציונית לשינוי האנרגיה הפוטנציאלית.

נצייר גרף של האנרגיה הפוטנציאלית כפונקציה של גובה הגוף. כפי שנראה, גרף זה הוא כלי יעיל בהבנת בעיות בפיסיקה. במקרה של אנרגיה פוטנציאלית גרביטציונית בקרבת כדור הארץ, הגרף ליניארי. אם הגוף מתחיל בנקודה ונע לנקודה גבוהה יותר , כוח הגרביטציה עושה עבודה שלילית (כי כיוונו נגד התנועה), אך נשים לב שהאנרגיה הפוטנציאלית הגרביטציונית גדלה עם . אם הגוף נע בין ל- נמוך יותר, אז כוח הגרביטציה עושה עבודה חיובית והאנרגיה הפוטנציאלית יורדת.

נעבור נעבור מגרביטציה לקפיץ. נדון במסה המחוברת לקפיץ. כפי שראינו בכוח משמר, האנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ נתונה כ-.
נהוג להגדיר את האפס של האנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ במרחק המנוחה . בחירה אחרת תסבך את המערכת בלי סיבה.

נצייר גרף של האנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ כפונקציה של אורך המתיחה.

מכיוון ש-, גרף זה הוא פרבולה. עוד אנו רואים שמשני צידי ציר ה- הכוח שמפעיל הקפיץ, , הוא כלפי הראשית. מצב כזה קורה כשהכוח הוא מחזיר. גם בדוגמא זו אנו רואים שכיוון הכוח מנוגד לכיוון הגדילה של האנרגיה הפוטנציאלית.

באופן כללי, אם נשחרר גוף בנקודה כלשהי ממנוחה, הגוף ינוע במורד האנרגיה הפוטנציאלית. מדוגמאות אלו אנו רואים שאם אנו יודעים את הכוח המשמר הפועל על המערכת, במקרה זה כוח הקפיץ ובמקרה הקודם כוח הגרביטציה, אנחנו מסוגלים לחשב את האנרגיה הפוטנציאלית. גם הדרך ההפוכה אפשרית, כלומר אם אנו יודעים את האנרגיה הפוטנציאלית אפשר למצוא בעזרתה את הכוח.

נתחיל במקרה של הקפיץ: . אם נגזור לפי המקום נקבל:

כאשר השוויון האחרון מתקבל משום שכוח הקפיץ הוא . כדי להדגיש שמדובר ברכיב הכוח בכיוון , נכתוב תוצאה זאת כך:

סימן המינוס אומר שהכוח מצביע נגד כיוון גדילת הפוטנציאל, כפי שדיברנו עד כה. אז עבור קפיץ, ניתן למצוא את הכוח מהאנרגיה הפוטנציאלית באמצעות גזירה והוספת סימן מינוס.

עבור גרביטציה בקרבת כדור הארץ, . מכאן נקבל שהכוח הגרביטציוני הוא:

ניתן להוכיח שעבור כוח משמר, ניתן להגדיר עבורו פונקציית אנרגיה פוטנציאלית (פונקציה שתלויה רק במקום) המקיימת את התנאי . מכאן שאם יודעים את האנרגיה הפוטנציאלית כפונקציה של המרחב, אנו יודעים את הכוח. תנאי זה אכן גורר שהעבודה של כוח משמר לא תלויה במסלול:

נסיק כי:

משפט:

עבור כוח משמר (ורק עבור כוח משמר) ניתן להגדיר פונקציית פוטנציאל כך ש:

אנרגיה פוטנציאלית תלת מימדית

במקרה התלת ממדי, אם אנו יודעים את האנרגיה הפוטנציאלית כפונקציה של הקואורדינטות , אז ניתן למצוא את הכוח , כפונקציה של הקואורדינטות. לא משנה אם מדובר בקפיץ או בגרביטציה, זה נכון לכל אנרגיה פוטנציאלית. נקבל את הקשר הבא בין ערכי הוקטור לנגזרות החלקיות של :

כאשר:

קיבלנו למעשה שוקטור הכוח הוא הגרדיאנט של פונקציית הפוטנציאל:

משפט:

לכל כוח משמר (ורק לכח משמר) קיימת פונקציית פוטנציאל כך ש:

כאשר עדיין מתקיים:

נקודות שיווי משקל

נניח כעת שאנו דנים בגוף הנע בתוך הפוטנציאל החד-ממדי שמופיע באיור למטה. בפוטנציאל זה יש נקודות בהן . אלה נקודות האקסטרמום של העקומה. מכיוון שהנגזרת של הפוטנציאל היא , הכוח בנקודות אלה הוא . כלומר, בנקודות האקסטרמום, אין כוח הפועל על הגוף. אם נניח גוף במנוחה בנקודות אלו, הוא לא יזוז.

יש הבדל גדול בין נקודות המקסימום לנקודות המינימום של פונקציית הפוטנציאל. אם נניח גוף בנקודת המקסימום, כל סטייה קטנה ממקום זה תגרום לגוף להרגיש כוח ולזוז במורד האנרגיה הפוטנציאלית. בנקודות המינימום, לעומת זאת, סטיות קטנות יגרמו לגוף לחזור לכיוון נקודת המינימום של האנרגיה הפוטנציאלית, כי הכוח תמיד פועל נגד כיוון עליית הפוטנציאל.

אנו קוראים לנקודות המינימום של האנרגיה הפוטנציאלית נקודות שיווי משקל יציב. עבור נקודות אלו מתקיימים שני התנאים:

אנו קוראים לנקודות המקסימום נקודות שיווי משקל לא יציב. עבור נקודות אלו מתקיימים שני התנאים:

אם הנגזרת השנייה שווה לאפס, , וזוהי נקודת פיתול, אנו מקבלים שיווי משקל רופף. במצב זה, הזזה קטנה של הגוף תגרום לו לנוע אל עבר מורד הפוטנציאל (ראו איור למטה). כמובן שאם האנרגיה הפוטנציאלית היא קבועה לכל אז לא פועל כוח כלל במערכת. במקרה זה הגוף ישאר במנוחה גם לאחר הזזה קטנה. מקרה טריוויאלי זה נקרא שיווי משקל אדיש. מקרים אלו משורטטים באיור הבא:

שיווי משקל יציב:

שיווי משקל לא יציב:

שיווי משקל רופף:

שיווי משקל אדיש:

נקודות מפנה

עבור מקרים שבהם פועלים על גוף רק כוחות משמרים, האנרגיה מכנית קבועה. מכיוון שהאנרגיה הקינטית לעולם לא שלילית, תמיד חייב להתקיים שהאנרגיה הפוטנציאלית תהיה קטנה מהאנרגיה הכוללת:

מכאן שהגוף לא יגיע לעולם למקום בו האנרגיה הפוטנציאלית גדולה מהאנרגיה הכללית.

בדוגמא שלנו, הגוף לא יכול להימצא במקומות איפה שהאנרגיה הפוטנציאלית גדולה מסך האנרגיה ההתחלתית, . ההפרש בין האנרגיה הכוללת לפוטנציאלית היא האנרגיה הקינטית, . בנקודות בהן כל האנרגיה היא פוטנציאלית, הגוף נעצר ונע במורד הפוטנציאל. אלה הן נקודות מפנה.

נמחיש זאת ע”י קפיץ:
ראינו כי מסת הקפיץ עושה תנודות הרמוניות המתאורות ע”י משוואת התנועה:

פתרון משוואה זו:

כעת ניתן לשאול, עבור זמן אקראי , מה האנרגיה המכנית הכללית במערכת?

אכן האנרגיה המכנית היא קבועה ללא תלות בזמן או במקום הגוף. במהלך התנודות, האנרגיה הקינטית הופכת לפוטנציאלית (ולהפך) בדיוק באופן על מנת ששימור אנרגיה תתקיים. בנוסף, אנו רואים שהאנרגיה המכנית שווה לאנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ כאשר המסה נמצאת ב-. תוצאה זו הגיונית משום שבנקודה זו למסה אין אנרגיה קינטית ואכן כל האנרגיה היא פוטנציאלית של הקפיץ.

• עבור :
  הגוף במנוחה רגעית וכל האנרגיה היא פוטנציאלית.
• עבור :
  הקפיץ רפוי וכל האנרגיה היא קינטית. בנקודה זו מהירות הגוף מקסימלית.
• עבור .
  כאן האנרגיה היא שילוב של אנרגיה קינטית ופוטנציאלית.

עבודת כוחות לא משמרים

ממשפט העבודה אנרגיה, העבודה הנעשית על ידי שקול הכוחות במערכת שווה לשינוי באנרגיה הקינטית. נדגיש ששקול הכוחות כולל בתוכו גם את הכוחות המשמרים וגם את הכוחות הלא משמרים.

נחלק את העבודה של שקול הכוחות לסכום של עבודת הכוחות המשמרים ולעבודת הכוחות הלא משמרים. מכאן ש:

העבודה של הכוחות המשמרים היא:

נציב את זה בביטוי של משפט העבודה אנרגיה ונקבל:

משפט:

כלומר, השינוי באנרגיה המכנית הכוללת שווה לעבודה של הכוחות הלא משמרים (אם כל הכוחות בבעיה משמרים, אין שינוי באנרגיה המכנית הכוללת).