PDE1_E2023SA 2023 אביב מועד א

2023 אביב מועד א’

שאלה 1

נבצע הורדת סדר כך ש- . לכן המשוואה:

ולכן:

שאלה 2

נפתור בשיטת האופייניים. נבנה את המערכת מד”ר:

נפתור:

קיבלנו את משפחת הקווים האופייניים:

נבצע פרמטריזציה על העקום התחלה:

מתקיים תנאי החיתוך:

נציב אותו ב- של הקווים האופייניים:

לכן משטח הפתרון נתון ע”י:

נרצה לרשום את הפתרון בצורה מפורשת:

ולכן:

מקדמי המשוואה גזירים ברציפות בסביבת העקום התחלה, העקום התחלה חלק, והתנאי חיתוך מתקיים. לכן, לפי משפט קיום ויחידות למד”ח קוואזילינארית, הפתרון יחיד ואמיתי.

שאלה 3

סעיף א’

הדיסקרימיננטה בבעיה זו:

המשוואה תהיה היפרבולית כאשר . לכן:

כלומר, המשוואה תהיה היפרבולית בתחום .

סעיף ב’

כאשר , המשוואה היפרבולית, ולכן החלק העיקרי של צורתה הקנונית תהיה:

שאלה 4

סעיף א’

כדי שהתנאי שפה יתקיים, נרצה לבצע הרחבה אי זוגית על תנאי ההתחלה ו- , וגם על החלק האי הומוגני של הבעיה, . הפונקציות הנתונות בנוסחה הן הרחבות אי זוגיות אלו, כי צורת הפתרון היא של נוסחת דלמבר למשוואה אי הומוגנית. לפיכך:

סעיף ב’

נציע תיקון לבעיה, במטרה להפוך אותה להומוגנית:

לכן הבעיה עבור :

באותו אופן כמו מהסעיף הקודם, נרצה לבצע הרחבות אי זוגיות:

סעיף ג’

הפונקציות גזירות לפחות פעמיים ברציפות, ולכן לפי הנוסחה, הפתרון אמיתי.

שאלה 5

סעיף א’

נפתור בשיטת הפרדת משתנים. נציע פתרון מהצורה:

נציב במשוואה ההומוגנית המתאימה:

קיבלנו בעיית שטורם-ליוביל עבור :

זוהי מד”ר עם מקדמים קבועים. פ”א:

• עבור , הפתרון: נציב תנאי התחלה: נציב במשוואה הימנית ונקבל . לכן, הפתרון שלנו יהיה , כלומר, הפתרון הטריוויאלי.
• עבור , הפתרון: כאשר נציב תנאי התחלה נראה כי , ששוב ייתן לנו את הפתרו הטריוויאלי.
• עבור , הפתרון: נציב תנאי התחלה: לכן התנאי התחלה השני: ואז הפתרון: לסיכום: נציב בפתרון הכללי: נציב במשוואה: כדי לבצע השוואת מקדמים נפתח לטור פורייה את הביטוי השמאלי: נשווה מקדמים: זוהי מד”ר לא הומוגנית עם מקדמים קבועים. עבור החלק ההומוגני, הפ”א: לכן: נציע פתרון פרטי מהצורה . נציב במד”ר: לכן: נציב בפתרון הכללי: נציב תנאי התחלה. אנו יכולים למצוא את , אבל זה ישאיר את הפתרון הסופי מאוד מגעיל, וזה למה בפתרון הרשמי של המבחן עשו כמה פעלולים כדי לקבל פתרון יותר נחמד.
  השוואת מקדמים: לכן: לכן נוכל לרשום את בצורה הבאה: נוכל להוציא את הביטוי עבור מחוץ לסכימה, וכך להשאיר את הביטוי לסכימה כמו שהוא (בלי להפריד עבור וכו’):
  נקבל אז את הפתרון הבא:

סעיף ב’

קיים עבורו הביטוי בטור מקיים:

לכן, לפי מבחן ההשוואה לטורים, הטור מתכנס. לפי תנאים לרציפות וגזירות הטור, הטור מתכנס לפונקציה רציפה, ולכן רציפה.

סעיף ג’

יהיו פתרונות של הבעיה. לכן, הוא פתרון של הבעיה ההומוגנית. נגדיר את אינטגרל האנרגיה:

נשים לב שמתנאי ההתחלה (שהוא הומוגני עבור ), מתקיים . בנוסף, מאחר ו-, מתקיים . נגזור את האינטגרל:

ממשוואת הבעיה עבור , מתקיים ולכן:

אינטגרציה בחלקים:

מתנאי השפה מתקיים . לכן:

כלומר, תמיד יורד. לפיכך, . מאחר ו- רציף ואי שלילי, נסיק כי , ולכן .

שאלה 6

סעיף א’

נפעיל את זהות גרין:

בבעיה שלנו ולכן:

נציב בבעיה:

פתרון הבעיה נתון ע”י:

הבעיה נתונה בתוך עיגול, ונרצה שהפתרון שלנו יהיה אמיתי. לכן נאפס את המקדמים של הביטויים שבהם אין רציפות ב- :

נבצע החלפת משתנים . לכן, התנאי התחלה שלנו:

הנגזרת לפי של הפתרון הכללי:

נציב את התנאי התחלה:

מהשוואת מקדמים:

לכן הפתרון:

נרצה להעביר לקואורדינטות קרטזיות:

סעיף ב’

נציב את התנאי הנתון:

ולכן:

ניתן לראות מפתרון הסעיף הקודם שהפונקציה ההרמונית לא קבועה, ולכן לפי משפט המקסימום החזק והחלש, מקבלת את המקסימום שלה על השפה בלבד.
לכן, בקואורדינטות פולאריות:

נקבל את המקסימום עבור , ולכן:

והוא מתקבל ב- ו- . בקרטזיות,