PDE1_E2022WB 2022 חורף מועד ב

2022 חורף מועד ב’

שאלה 1

נפתור בשיטת האופייניים. נבנה את המערכת מד”ר:

את שתי המשוואות הראשונות קל לפתור לפי גורם אינטגרציה:

נציב במשוואה השלישית:

ולכן, משפחת הקווים האופייניים שלנו היא:

נרצה להציב את העקום התחלה שלנו. נבצע לו פרמטריזציה:

נבדוק עבורו את תנאי החיתוך:

נציב בקווים האופייניים, ב- . משתי המשוואות הראשונות:

במשוואה האחרונה:

נציב בחזרה כדי לקבל המשטח שלנו:

נבטא את בעזרת ונציב במשוואה השלישית כדי לקבל את הפתרון שלנו בביטויים של :

אנו יודעים ש- , ולכן נבחר בסימן של :

המקדמים של המשוואה גזירים ברציפות בסביבת עקום ההתחלה, גזיר ברציפות, ומתקיים תנאי החיתוך. לפיכך, ממשפט קיום ויחידות למד”ח קוואזילינארית, הפתרון יחיד בסביבת עקום ההתחלה.

שאלה 2

פתרון כללי למשוואת הגלים נתון ע”י:

במקרה שלנו , ולכן:

נציב תנאי התחלה:

נרצה למצוא ביטוי מפורש עבור . לכן, נהפוך את המשוואות הנתונות לצורה השקולה הבאה:

מהמשוואה הראשונה:

מהמשוואה השנייה:

נציב את הביטוי שקיבלנו עבור :

נשים לב גם ש:

נציב בחזרה בפתרון הכללי:

שאלה 3

סעיף א’

נציע פתרון מהצורה:

נציב במשוואה, בבעיה ההומוגנית המתאימה:

קיבלנו בעיית שטורם-ליוביל עבור :

הפתרון של הבעיה נתון בשאלה:

נניח כי לכל קיים . לכן הפתרון הכללי יהיה מהצורה:

נציב במשוואה:

בעזרת השוואת מקדמים, קל לראות שכבר מקבלים את הביטוי בצד שמאל עבור :

עבור , קיבלנו מד”ר לא הומוגנית עם מקדמים קבועים:

הפתרון של החלק ההומוגני:

לכן:

נציע פתרון פרטי מהצורה (החלק הלא הומוגני הוא פולינום מסדר ):

נציבו במד”ר:

מהשוואת מקדמים נקבל ו-. לכן:

עבור , נקבל פתרון דומה, פשוט הפעם אין חלק הומוגני למד”ר:

עבור , המד”ר הוא פשוט , ולכן:

נציב בפתרון הכללי:

נציב את התנאי התחלה הראשון:

נפתח לטור פורייה:

נציב את התנאי התחלה השני:

השוואת מקדמים:

לכן , ועבור מתקיים .
נציב הכל בפתרון הכללי:

סעיף ב’

קל לראות כי קיים עבורו:

לכל בתחום הדרוש. לפיכך, לפי מבחן ההשוואה לטורים, הטור מתכנס, ולכן לפי תנאים לרציפות וגזירות הטור, הטור מתכנס לפונקציה רציפה.

סעיף ג’

נשים לב שבנקודות ו- לא מתקיימות תנאי תואמות:

אבל, מהתנאי שפה:

שאלה 4

סעיף א’

נשים לב כי זוהי בעיית דיריכלה במלבן. בנוסף, רציפה על השפה ומתאפסת בכל 4 הפינות. נוכל כאן לבחור את השני תנאים הראשונים כתנאי השפה לבעיית שטורם-ליוביל, ואת שני התנאים האחרונים כתנאי ההתחלה שלנו.
נציע פתרון מהצורה:

נציב במשוואה:

קיבלנו את הבעיית שטורם-ליוביל הבאה עבור :

נפתור אותה. ממד”ר עם מקדמים קבועים:

נפרק למקרים:

• אם : כאשר נציב את התנאי , נקבל . נציב את התנאי : ולכן גם . קיבלנו ש- שזהו הפתרון הטריוויאלי, ולכן לא הפתרון שאנו מחפשים.
• אם : מהצבת תנאי השפה נקבל שוב ש- ולכן לא הפתרון שאנו מחפשים.
• אם : נציב תנאי שפה: ולכן: והפתרון:

לסיכום:

נציב את הפתרון בהפרדת משתנים שלנו כדי למצוא את :

קיבלנו מד”ר עם מקדמים קבועים. הפ”א:

ולכן הפתרון:

נציב בפתרון הכללי:

נעביר להצגה עם משוואות היפרבוליות:

נציב את התנאי התחלה הראשון:

מהשוואת מקדמים:

ולכן ו- . נציב את התנאי התחלה השני:

מהשוואת מקדמים:

ולכן ו- . לכן הפתרון הוא:

סעיף ב’

מאחר ו- היא פונקציה הרמונית, לא קבועה, ורציפה על השפה, לפי משפט המקסימום, היא מקבלת את המינימום שלה על השפה בלבד. ניתן לראות מהתנאי שפה שמינימום זה הוא , בתנאי שפה .
על שפה זו, המינימום הזה מתקבל רק עבור , ולכן הנקודה היא .