PDE1_E2022WA 2022 חורף מועד א

2022 חורף מועד א’

שאלה 1

נפתור בשיטת האופייניים. נבנה את המערכת מד”ר:

ממשוואה ו-:

נוכל כעת למצוא את ו-:

קיבלנו את הקווים האופייניים:

נרצה להציב את תנאי ההתחלה. נבצע עליו פרמטריזציה:

נציב בקווים האופייניים, ב-. עבור המשוואה הראשונה:

במשוואה השלישית:

במשוואה השנייה:

לכן:

מהמשוואה הראשונה והשנייה:

נציב בחזרה במשוואה השנייה:

קיבלנו את הפתרון:

נבדוק אם הוא יחיד.
בסביבת עקום ההתחלה, גזירים ברציפות. בנוסף, העקום חלק. נדרש רק לבדוק אם היעקוביאן מתאפס:

לפיכך, לפי משפט קיום ויחידות למד”ח קוואזילינארית, הפתרון יחיד.

שאלה 2

חילוף המשתנים:

לפי החלפת משתנים, נגדיר פונקציה חדשה:

הקשר ההפוך:

לפי כלל השרשרת:

נציב במשוואה:

כדי לפתור אותה, נבצע אינטגרציה פעמיים:

לפי גורם אינטגרציה:

נחזור למשתנים המקוריים:

או אפשר גם:

שאלה 3

סעיף א’

נרצה לאפס את תנאי השפה, לפי משוואות עם תנאי שפה אי הומוגניים. נבחר מהצורה הנתונה . עבור , נדרוש המשוואה תהיה הומוגנית:

לפיכך:

נשים לב כי בחירה זו גם אכן מאפסת את התנאי שפה האחרון:

ושאר התנאים נשארים זהים:

סעיף ב’

נרצה למצוא את קודם. נניח כי הפתרון מהצורה , ולכן כאשר נציבו במשוואה נקבל:

עבור ה-, קיבלנו את הבעית שטורם-ליוביל:

בעזרת פתרון הבעיה הנתונה נסיק כי:

נציב בחזרה בצורת במשוואה שקיבלנו:

זהו מד”ר עם מד”ר עם מקדמים קבועים:

ולכן:

נציב בחזרה בצורת הפתרון שלנו:

נציב את התנאי התחלה שלנו כדי למצוא את ו-. תנאי התחלה הראשון:

נפתח לטור פורייה:

הערה:

אינטגרלים כאלה כנראה צריך לדעת לשרוק במבחן, כי אפשר להיתקע עליהם שעות.

נחשב את האינטגרל במונה ובמכנה:

נפתור את שני האינטגרלים בעזרת אינטגרציה בחלקים של אינטגרל מסוים. עבור האינטגרל הראשון (אני משתמש כאן בסימונים , שאין להם שום קשר ל- של הבעיה הנתונה):

לכן:

עבור האינטגרל השני:

ולכן:

למרות שעדיין לא סיימנו לפתור את האינטגרל, נמשיך לאינטגרל במכנה:

נציב את כל מה שאנו יודעים בביטוי עבור :

שוב, אינטגרציה בחלקים:

ולכן:

וואו זה לא היה כיף.
נציב את התנאי התחלה השני:

לא נצטרך לפרק לטור פורייה. ניתן לראות כי:

לפיכך, קיבלנו ש- הוא:

מאחר ו- :

סעיף ג’

נראה כי הטור בביטוי ל- מתכנס. נשים לב שניתן לחסום אותו ע”י:

לכן, לפי מבחן ההשוואה הגבולי לטורים, מאחר ו- מתכנס, גם הטור שלנו מתכנס. לפיכך, לפי תנאים לרציפות וגזירות הטור, הטור שלנו מתכנס לפונקציה רציפה.

סעיף ד’

נשים לב שהבעיה עבור היא משוואת גלים עם . הנקודה הנתונה נמצאת בתוך תחום התלות. כלומר, הערך שלה תלוי רק ע”י תנאי ההתחלה, והוא נתון ע”י נוסחת דלמבר.

תחום התלות של הבעיה עבור .

נוסחת דלמבר (ההומוגנית) עבור המקרה שלנו נתון ע”י:

בנקודה הנתונה:

נחזור ל-:

ולכן:

שאלה 4

מזהות גרין, נמצא כי התנאי ההכרחי לקיום הפתרון:

נשים לב כי השפה כוללת גם את הטבעת החיצונית וגם את הפנימית, כך שנצטרך לפרק את האינטגרל:

כאשר . נשים לב כי אנו עוברים לקואורדינטות פולאריות:

נציב בחזרה בבעיה:

הפתרון הכללי שלה (עם החלפת משתנים ) נתון ע”י הנוסחה:

הנגזרת שלו לפי :

נרצה להציב תנאי התחלה, שעבור הם:

נתחיל מהצבת התנאי התחלה השני:

נקבל שוויון רק כאשר ו- . לפיכך, הפתרון הכללי יהיה מהצורה:

ללא הגבלת הכלליות, אנו יכולים לבחור . כלומר, נוכל לרשום את הפתרון הכללי בצורה השקולה:

מהצבת תנאי ההתחלה הראשון:

ניתן לראות שנקבל את הביטוי בצד שמאל כאשר :

נסיק כי הפתרון הכללי הוא מהצורה:

נבצע את החלפת המשתנים ההפוכה:

לכן: