2022 אביב מועד ב’
שאלה 1
נפתור בשיטת האופייניים. נבנה את המד”ר:
נתחיל משתי המשוואות האחרונות:
נציב בראשונה:
קיבלנו את משפחת הקווים האופייניים:
פרמטריזציה של העקום התחלה:
הוא מקיים את תנאי החיתוך:
נציב אותו ב-
ולכן הפתרון שלנו:
נרצה לבטא אותו במפורש ע”י
נציב ב-
ממשפט קיום ויחידות למד”ח קוואזילינארית, מאחר והמקדמים גזירים ברציפות בסביבת העקום התחלה, העקום התחלה עצמו חלק, ומתקיים תנאי החיתוך, הפתרון שקיבלנו הוא יחיד.
שאלה 2
נבצע את חילוף המשתנים
נגזור:
נציב במשוואה:
שאלה 3
זוהי משוואת גלים אי הומוגנית בתחום חצי אינסופי. נשים לב שבפתרון המוצע לבעיה אין אינטגרל כפול על החלק האי הומוגני של המשוואה. נסיק שהגיעו למשוואה הזו לאחר המרה של הבעיה הנתונה לבעיה הומוגנית. נציע
לכן הבעיה החדשה שלנו:
נרצה לבצע הרחבה זוגית או אי זוגית לתנאי התחלה כך שנוכל להשתמש בנוסחת דלמבר. כדי לקיים את התנאי שפה האחרון, נראה כי אנו צריכים לבצע הרחבה זוגית, כי אז
כדי שהפתרון הנתון יהיה גזיר שלוש פעמים, צריך להתקיים
ולכן הפתרון יהיה גזיר שלוש פעמים ברציפות פרט לישרים
שאלה 4
סעיף א’
נשתמש בשיטת הפרדת משתנים. נציע את הפתרון:
נציב במשוואה:
קיבלנו בעיית שטורם-ליוביל עבור
זהו מד”ר עם מקדמים קבועים. הפ”א:
- אם
, הפתרון: נציב את התנאי שפה: לכן , וקיבלנו את הפתרון הטריוויאלי, שאנו לא מעוניינים בו. - אם
, הפתרון: נציב את התנאי שפה ונקבל שוב . - אם
, הפתרון: נציב את התנאי שפה: נציב ב- : נסכם: נציב בחזרה בביטוי עבור : לאחר גורם אינטגרציה: הפתרון הכללי: נציב את התנאי התחלה: נפתח את לטור טיילור כדי למצוא את המקדמים: לכן הפתרון הכללי:
סעיף ב’
יהיו
מתנאי ההתחלה
מהמשוואה מתקיים
מאינטגרציה בחלקים של אינטגרל מסוים:
קיבלנו ש-
שאלה 5
משיטת הפרדת משתנים נקבל את הבעית שטורם-ליוביל הבאה עבור
הפתרון:
מהצבת הפרדת המשתנים במשוואה נקבל גם:
עבור
עבור
נכתוב בהצגת משוואות היפרבוליות:
נציב בפתרון הכללי:
נציב את התנאי התחלה הראשון:
מהשוואת מקדמים,
נגזור אותו:
כעת נוכל להציב את התנאי התחלה השני:
מהשוואת מקדמים:
לכן: