2022 אביב מועד א’
שאלה 1
נפתור בשיטת האופייניים. נבנה את המערכת מד”ר:
ממשוואות
נציב ב-
קיבלנו את משפחת הקווים האופייניים:
נבצע פרמטריזציה לעקום התחלה:
הוא מקיים את תנאי החיתוך:
נציב אותו ב-
נציב במשוואה השנייה:
ולכן משטח הפתרון שלנו:
נבטא את
נציב במשוואה השלישית כדי לקבל תשובה מפורשת:
שאלה 2
סעיף א’
נגדיר את חילוף המשתנים
לפי כלל השרשרת:
נציב במשוואה:
נבצע אינטגרציה פעמיים כדי לקבל:
ולכן:
סעיף ב’
נציב את התנאי שפה:
נבצע אינטגרציה על המשוואה עבור
נציב בביטוי עבור
נציב בפתרון הכללי:
ולכן:
כדי שהפתרון יהיה אמיתי,
שאלה 3
סעיף א’
קל לראות ש-
סעיף ב’
קל לראות ש-
נסכם ש-
שאלה 4
סעיף א’
נפתור בשיטת הפרדת משתנים:
נציב בבעיה ההומוגנית:
קיבלנו בעייית שטורם-ליוביל עבור
הפתרון:
נניח שקיימים
נפתח את
נציב את הפיתוח בחזרה במשוואה שפיתחנו עבור
זוהי מד”ר לא הומוגנית עם מקדמים קבועים. נתחיל עם החלק ההומוגני. הפ”א:
ולכן:
נציע פתרון פרטי
ולכן:
ולכן הפתרון הכללי:
נציב את התנאי התחלה הראשון:
מהשוואת מקדמים ניתן לראות שעבור
התנאי התחלה השני:
מהשוואת מקדמים:
ולכן:
נשים לב ש-
לכן הפתרון הכללי:
סעיף ב’
ניתן לראות כי קיים
לפיכך, לפי מבחן ההשוואה לטורים, הטור מתכנס. לכן לפי תנאים לרציפות וגזירות הטור, הטור מתכנס לפונקציה רציפה.
שאלה 5
סעיף א’
כעת הבעיה שלנו:
ניתן לראות ש-
נבצע החלפת משתנים פולארית על התנאי שפה:
לכן, נדרש רק למצוא מקסימום על הפונקציה:
נגזור:
נאפס:
מבין כל הנקודות החשודות,
הערך המקסימלי:
סעיף ב’
לפי עיקרון הממוצע לפונקציות הרמוניות מאחר ו-
ולכן:
סעיף ג’
יהיו
סעיף ד’
יהי
נשים לב שכאשר
לכל