NUM1_E2021WB 2021 חורף מועד ב

2021 חורף מועד ב

תרגיל 1

נתונה הפונקציה הבאה:

נרצה למצוא את נקודות האקסטרמום של הפונקציה הזו בעזרת שיטת ניוטון רפסון.

1. נסחו את המשוואות הלא לינאריות ש- מקיימות ע”י דרישה שהנגזרות החלקיות מתאפסות.
2. רשמו את המשוואות האיטרטיביות.
3. בצעו איטרציה אחת עבור תנאי ההתחלה .

סעיף א’

עלינו לדרוש שהנגזרות החלקיות יתאפסו:

נסדר טיפה ונקבל:

סעיף ב’

ע”פ שיטת ניוטון למערכת משוואות, נמצא את וקטור הכיוון ע”י פתירת מערכת המשוואות:

ונשתמש בו כדי לקדם את האיטרציה שלנו:

במקרה שלנו, , וגם:

נוכל כעת למצוא את היעקוביאן:

לסיכום, נמצא את ע”י פתרון המערכת:

ולאחר מכן נציב בחזרה בקידום האיטרציה שלנו:

סעיף ג’

נתחיל עם הניחוש . נמצא את :

נשתמש בשיטת האלימינציה של גאוס כדי לפתור את המערכת משוואות:

קיבלנו ש:

נוסיף לאיטרציה:

תרגיל 2

נתונה השיטה האיטרטיבית לפתרון מערכת המשוואות :

כאשר הם פרמטרים, היא מטריצת היחידה ו- היא מטריצה אלכסונית שאיבריה הם האלכסון של .

1. מצאו את הערך של כדי ששיטה זו תתאים לפתרון המשוואה הנתונה. איזו שיטה מתקבלת עבור ?
2. רשמו את משוואות האיטרציה לרכיב של הוקטור (רישום אינדקסי).
3. נתון שהערכים העצמיים (ע”ע) של הם חיוביים וממשיים. הע”ע הכי גדול הוא והע”ע הכי קטן הוא . עבור אילו ערכים של יש התכנסות?
4. חשבו את הערך של עבורו ההתכנסות הכי מהירה, ואת קצב ההתכנסות.

פתרון נמצא בשיעורי בית.

תרגיל 3

נתונה המשוואה הבאה עם תנאי ההתחלה:

1. בצעו הורדת סדר ורשמו את המשוואות המתקבלות.
2. בצעו צעד אחד בשיטת אויילר עם צעד זמן .
3. בצעו צעד אחד בשיטת אויילר המתוקנת עם צעד זמן .
4. עבור שיטת אויילר מצאו את צעד הזמן הגדול ביותר עבורו המערכת יציבה. רמז: רשמו את המשוואות בצורה מטריצית.

סעיף א’

נסמן:

נציב במשוואה:

נסכם במערכת משוואות:

סעיף ב’

לפי שיטת אויילר (למערכת מד”ר):

במקרה שלנו:

בנוסף:

נבצע צעד אחד, כאשר . נסיק כי , ונציב בשיטה:

סעיף ג’

לפי שיטת אויילר המתוקנת (למערכת מד”ר):

נבצע צעד אחד, כאשר נציב את אותם הנתונים כמו בסעיף הקודם:

נציב בנוסחה ל-:

סעיף ד’

אחי, זה לא בחומר שלנו.

תרגיל 4

1. פתחו שיטת אינטגרציה שמדויקת לכל פולינום מסדר מהצורה:
2. העריכו את האינטגרל בעזרת שיטה זו.
3. חשבו את השגיאה עבור שיטה זו, תחת ההנחה ש- קטן.
4. חלקו את הקטע לשני חלקים, חזרו על החישוב בכל קטע, ובצעו אקסטרפולציית ריצ’רדסון כדי לשפר את הדיוק. חשבו את השגיאה עבור אקסטרפולציית ריצ’רדסון.

סעיף א’

נמצא את המקדמים ע”י קירוב של האינטגרנד ע”י פולינום, כאשר נבצע זאת ע”י אינטרפולציית לגרנג’:

עבור הבעיה שלנו:

נחשב את הפולימוני לגרנג’:

נציב באינטגרל:

נסיק כי:

נסכם:

סעיף ב’

נשים לב כי במקרה הנתון:

נציב בנוסחה שקיבלנו:

נקבל כי:

סעיף ג’

נפתח לטור טיילור את בתוך האינטגרציה (סביב ):

באותו אופן, עבור הקירוב שלנו:

נציב בהגדרת השגיאה , כאשר נשים לב שנוכל לשלב את הביטויים עם בעזרת משפט ערך הביניים:

נסיק כי:

כאשר .

סעיף ד’

נסמן את הקירוב הקודם שלנו ב-:

מצאנו כבר כי השגיאה שלו:

נחלק את הקטע ל- ו-, ונשתמש באותו הקירוב כדי לחשב את האינטגרל בקטעים אלו:

נוכל למצוא כי השגיאה של קירוב זה מאוד דומה לשגיאה של הקירוב הקודם, רק הפעם נצטרך גם להכפיל אותה פי כי אנו מבצעים את הקירוב פעמיים:

בעצם מה שקיבלנו כאן זו שיטה מוכללת של השיטה שחישבנו בסעיף קודם. השגיאה של שיטה זו היא מסדר , לא ! זה מאוד מבלבל עם הסימונים שיש לנו כאן בתרגיל, אבל זה יותר מובן כאשר מביטים בשגיאה של שיטה מרוכבת - אצלנו הביטוי הוא , ולכן לא מתפקד כחלק מסדר השגיאה.
ע”י אקסטרפולציית ריצ’רדסון נוכל לקבל:

כאשר הצבנו כי הוא נקבע ע”י סדר השגיאה של השיטה המוכללת.
האקטרפולצייה מקזזת את השגיאה מסדר ומשאירה את השגיאה מסדר , אז נציב רק את הביטוי השני של השגיאות כדי לחשב את השגיאה:

ולכן: