NUM1_E2020WB 2020 חורף מועד ב

2020 חורף מועד ב’

תרגיל 1

סעיף א’

עלינו למצוא קירוב עבור עם שגיאה מסדר , כאשר הוא המרווח בין הנקודות .
נפתח טור טיילור עבור הערכים הבאים, סביב הנקודה :

אם נחסיר את המשוואה הראשונה מהשנייה נקבל:

אם נכפיל את המשוואה השנייה פי ונחסר אותה מהשלישית נקבל:

סעיף ב’

נרצה לאפס את השגיאות מסדר בשתי הקירובים הקודמים. נכפיל את הראשון פי ונסכום אותו עם השני:

לא נוכל להגיע לדיוק יותר טוב מ- כי יש לנו רק נקודות לדגום מתוכן.

סעיף ג’

פולינום האינטרפולציה יהיה מהצורה:

הנגזרת של הפולינום:

נרצה למצוא את ערך הנגזרת בנקודה .
נבנה את הפולינומי לגרנג’:

נגזור אותן:

נציב :

נשער את השגיאה של האינטרפולציה לפי השגיאה באינטרפולציה פולינומית:

כאשר . מאחר והנקודות במרחקים שווים אחד מהשני:

נסיק כי השגיאה היא מסדר גודל . השגיאה של הנגזרת היא פשוט נגזרת של השגיאה באינטרפולציה, ולכן היא תהיה מאותו סדר - .

תרגיל 2

סעיף א’

נבחר את ה- נקודות הבאות:

כאשר ו- . בנוסף, נסמן .
נשים לב כי משיטת ההפרשים המרכזיים מתקיים:

נציב במשוואה:

מתנאי השפה הנתונים, נקבל כי:

סעיף ב’

נכתוב את המערכת משוואות:

עבור כל :

נציב את התנאי שפה:

בכתיב מטריצי:

סעיף ג’

כעת התנאי שפה שלנו הם:

נפתח טיפה את התנאי שפה השני לפי שיטת הפרשים סופיים לאחור (עם שגיאה של ).

נציב בחזרה במשוואות ונקבל:

בכתיב מטריצי:

תרגיל 3

סעיף א’

לפי פירוק LU:

נרשום את הפירוק:

נעבור איבר איבר לפי השיטה, כאשר נתחיל מה- החיצונית.

ה- האמצעית:

האיבר האחרון:

לסיכום:

סעיף ב’

אח שלי. דף נוסחאות.

סעיף ג’

נשים לב שמטריצה היא לא מטריצה כללית אלא מטריצה תלת אלכסונית. לכן, יש לה בערך איברים. אנו מבצעים פעולה אחת עבור על איבר במטריצה, אז נסיק שאנו מבצעים פעולות, שזוהי סיבוכיות .

תרגיל 4

סעיף א’

נשתמש בניוטון-קוטס משקלי, כאשר המשקל שלנו הוא , ואנו רוצים לקרב את האינטגרל בעזרת הצורה:

נבצע אינטגרציה על בסיס הפולינומים :

קיבלנו את מערכת המשוואות:

המשוואה הראשונה:

נציב במשוואה השנייה:

בחזרה בביטוי עבור :

נסכם:

נציב :

סעיף ב’

כעת נרצה לא רק למצוא את , אלא גם את . לכן נרצה 4 משוואות, שנקבל מאינטגרציה על בסיס הפולינומים :

קיבלנו את מערכת המשוואות:

סעיף ג’

מסעיף א’:

במקרה של :

נעריך את השגיאה ע”י פיתוח טיילור של סביב . עבור האינטגרל המקורי:

אותו הדבר עבור הקרוב שלנו:

נוכל כעת לרשום ביטוי לשגיאה:

כאשר .
במקרה של , הנגזרת השנייה שלה היא גם . זוהי פונקציה יורדת ולכן תקבל מקסימום ב- ומינימום ב- .
במקרה של , נקבל שהחסמים של השגיאה הם:

לסיכום: